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孙建斌 《中学数学教学参考》1999,(11)
定理 设a,b,c为非负实数,记P=∑a3=a3+b3+c3,Q=∏a=abc,R=∑bc(b+c)=a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2,则 2P≥P+3Q≥R≥6Q.①证明:第一个不等式显然;由abc≥(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c),展开、整理,即得P+3Q≥R;应用几何—算术均值不等式即得R≥6Q.有大量不等式与①等价,如∑a2(b+c-a)≤3abc,∑a(a-b)(a-c)≥0,∑a(a-b-c)2≥3abc(a,b,c为三角形三边)都等价于P+3Q≥R,通过变形… 相似文献
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不等式a2+b2≥2ab是我们最熟悉的基本不等式,它有许多变式:(1)a2+b2≥12(a+b)2;(2)(a+b)2≥4ab;(3)1a+1b≥4a+b(a>0,b>0);(4)ab+ba≥2(ab>0);(5)a2b≥2a-b(a≥0,b>0);(6)a3b≥2a2-ab≥32a2-12b2(a≥0,b>0).以上6个不等式当且仅当a=b时取等号.这6个变式的证明都较简单,下面通过举例仅介绍变式(5)、(6)的应用.例1 已知a>1,b>1,c>1,求证:a2b-1+b2c-1+c2a-1≥… 相似文献
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李毅 《中学数学教学参考》1996,(12)
利用均值不等式求函数极小值问题的探索西安教育学院李毅我们知道,利用均值不等式a+b+c≥33abc求函数的极值,必须满足三个条件:(1)a,b,c∈R+;(2)a·b·c=P(定值)(或a+b+c=S(定值));(3)当且仅当a=b=c时,函数有极小... 相似文献
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与最值相关问题的解法(下) 总被引:1,自引:0,他引:1
王扬 《中学数学教学参考》1999,(12)
一、内容概述这是上期的继续,并给出解决此类问题的另外一些方法,如数形结合法、解析法、复数法、不等式法、待定系数法等.二、基础知识1.基本不等式:a2+b2≥2ab,a3+b3+c3≥3abc.(a,b,c∈R+)2.三角形边长之关系:a+b>c(a,b,c为三角形三边之长)3.复数模的不等式:|z1|+|z2|+|z3|≥|z1+z2+z3|.等号成立的条件是z1=λ1z2=λ2z3(λ1λ2>0,λ1,λ2∈R)4.费尔马点的性质.(见例10)三、综合应用(六)数形结合法关于数式问题,若能构造… 相似文献
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王启龙 《中学数学教学参考》1998,(4)
一道不等式题的多种证法甘肃省静宁一中王启龙题目:已知a,b∈R,且a+b+1=0.求证(a-2)2+(b-3)2≥18.证明一:综合法∵若x,y∈R,则有x2+y2≥(x+y)22.当且仅当x=y时取“=”.又∵a+b+1=0,∴(a-2)2+(b-... 相似文献
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梁增康 《中学数学教学参考》1999,(10)
题目:已知实数a、b满足a2+ab+b2=1,求a2-ab+b2的取值范围.(1998年湖北黄冈市初中数学竞赛题)解:令k=a2-ab+b2,由于a2+ab+b2=1,当ab=0(a、b不能同时为零)时,不妨设a=0,则b2=1,易得k=1.当ab≠0时,不失一般性,不妨设|a|≤|b|.作等腰△ABC,使底边AB=2|a|,高CD=|b|.设AC=BC=c,△ABC的面积为S,∠ACB=α,则0°<α2≤45°,0°<α≤90°,0<sinα≤1,|ab|=S=12·c2sinα.(1)若ab… 相似文献
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题目分解因式:(a+b)(a+b-2ab)+(ab-1)(ab+l).(1994年武汉市初二数学竞赛试题)解法1──整体法视a+b、ab各为一个整体,将多项式进行整理,得原式=(a+b)2-2ab(a+b)+(ab)2-1=[(a+b)-ab]2-1=(a+b-ab+1)(a+b-ab-1)=(ab-a-b-1)(ab-a-b+1).解法2──主元法视a为主元,将多项式进行整理,得原式=(b2-2b+1)a2-2b(b—1)a+b2-1=[(b—1)a]2-2b(b—1)a十b2-1=[(b-1… 相似文献
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不等式a2+b2≥2ab的一个推广及应用魏家忠(阜阳教育学院236016)若a,b∈R,则a2+b2≥2ab当且仅当a=b时等号成立.这是高中课本中一个最基本的不等式,它具有这样的特点:左边两项系数之和恰为各项的指数,又是右边项的系数,而右边每个字母... 相似文献
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王扬 《中学数学教学参考》1998,(7)
若干平面几何命题向立体几何的移植(续)陕西省西安中学王扬问题5平面几何周长为定值l的直角三角形何时面积最大?最大值是多少?解:设直角三角形的两直角边及斜边分别为a、b、c,则l=a+b+c=a+b+a2+b2≥2ab+2ab=(2+2)ab=(2+2... 相似文献
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“消元——配方法”巧证一类非齐次不等式 总被引:1,自引:1,他引:0
对于在条件x+y+z=k下的一类三元非齐次条件不等式,其证明方法甚多,但都颇具难度,不易掌握.本文提出“消元—配方法”,即通过消元:x+y=k-z;xy≤14(x+y)2=14(k-z)2,将原不等式化归为只含一个元素z的一元三次不等式,然后利用配方法、比较法统一地予以巧证.该方法规律性强,便于掌握,对证明这类非齐次条件不等式十分有效.现举例说明.1 证仅含xy+yz+zx,xyz及常数项的不等式例1 已知a,b,c皆非负实数,且a+b+c=1,试证:ab+bc+ca-94abc≤14.(《数学… 相似文献
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高中代数课本下册(必修)中,第15页的第11题:求证:(a+b2)2≤a2+b22.这道习题的求解并不困难.事实上,由基本不等式a2+b2≥2ab,得2(a2+b2)≥a2+2ab+b2,∴a2+b22≥a2+2ab+b24,即得(a+b2)2≤a2... 相似文献
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1 问题提出《数学通报》1995年第8期问题969题:已知a、b、c∈R+,且a+b+c=1,求证:3-3<1-3a2+1-3b2+1-3c2≤6.已见多文对这类问题上界不等式的解法进行探讨〔1〕~〔4〕,但对其下界却少有研究.我们自然要问:其下界的求解方法可否优化?为便于说明,不妨摘抄原文如下:图1对于函数y=1-3x2,它的图像是椭圆3x2+y2=1(x>0,y≥0)在第一象限的部分,是凸的.过A(0,1)、B33,0的直线方程为y=1-3x.对于0<x≤33,有1-3x2>1-3x.∴u=… 相似文献
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高考数学试题中渗透参数思想,是注重考查学生能力的一个标志,这一思想方法不仅在中学数学中经常应用,而且对研究和解决问题具有普遍意义.本文着重探讨一下合理引参处理问题的优越性.1 优化解题过程合理地引入参数,往往可以优化解题过程、减少运算量.例1 设|a|<1,|b|<1,|c|<1,求证:a+b+c+abc1+ab+bc+ca<1.证明 令x=a+b+c+abc1+ab+bc+ca,则原不等式等价于|x|<1-1<x<1(x+1)(x-1)<0.∵ x+1=(a+1)(b+1)(c+1)1+a… 相似文献
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引导学生开展“一题多解,一题多证”的训练和探究,必将有助于激发学生学习数学的兴趣和热情,启迪他们的创新思维,培养数学综合能力,进而提高他们的数学素质. 本文以一道脍炙人口的条件不等式赛题为例,从九个方面研究其证明的策略和技巧. 题(前苏联奥尔德荣尼基市第三届数学竞赛题)设 a,b,c∈R+,且 a+b+c=1,求证;a2+b2+c2≥1/31 代入法 证1 注意恒等式 3(a2十b2十c2)=(a+b+c)2+(a-b)2十(b c)’+(c a)’将已知a+b+c二l代人得 3(a’+b‘+c’)二1:… 相似文献