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1.
文 [1 ]提出了猜想 :∏ ａ2ｍ2 ｂ+ｍ2 ｃ≥ 82 7 ①笔者经研究发现 ,上述不等式不成立 ,可修正为 :命题 1 设ｍａ、ｍｂ、ｍｃ 分别为△ＡＢＣ的三条中线长 ,则∏ ａ2ｍｂ2 +ｍｃ2 ≤ 82 7 (∏表示循环积 ,下同 )②证明 由ｍａ=12 2ｂ2 +2ｃ2 -ａ2 ,有ｍａ2 =14 (2ｂ2 +2ｃ2 -ａ2 )等 ,得ｍｂ2 +ｍｃ2 =14 (ｂ2 +ｃ2 +4ａ2 ) =14 (Ｔ2 +3ａ2 ) ,这里Ｔ2 =ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ,则②式等价于∏ 4ａ2Ｔ2 +3ａ2 ≤ 82 7 ∏ (Ｔ2 +3ａ2 )≥ 2 7× 8ａ2 ｂ2 ｃ2 4Ｔ6 +9(ａ2 ｂ2 +ｂ2 ｃ2 +ｃ2 ａ2 )Ｔ2 ≥ 2 7× 7ａ2 ｂ2 ｃ2③由于Ｔ6 =(ａ2 +ｂ… 相似文献
2.
蒋祝权 《中学数学教学参考》2001,(5)
定理 1 设ｍａ、ｍｂ、ｍｃ 分别是△ＡＢＣ的边ａ、ｂ、ｃ上的中线 ,ｍｃ≤ｍａ,ｍｃ≤ｍｂ,则当 5ｍ2 ｃ 小于、等于或大于ｍ2 ａ ｍ2 ｂ 时 ,△ＡＢＣ分别为钝角、直角或锐角三角形 证明 :由三角形的中线公式ｍａ =12· 2ｂ2 2ｃ2 -ａ2 ,… ,可解出ａ2 =19[8(ｍ2 ｂ ｍ2 ｃ)-4ｍ2 ａ],… .于是知ｍｃ≤ｍａ,ｍｃ≤ｍｂ 等价于ｃ≥ａ ,ｃ≥ｂ ,于是△ＡＢＣ为Ｒｔ△ ,即ｃ2 =ａ2 ｂ2 ,等价于8(ｍ2 ａ ｍ2 ｂ) -4ｍ2 ｃ9=8(ｍ2 ｂ ｍ2 ｃ) -4ｍ2 ａ9 8(ｍ2 ｃ ｍ2 ａ) -4ｍ2 ｂ9.化简 ,即得 5ｍ2 ｃ=ｍ2 ａ ｍ2 ｂ.可完全类似地证明△… 相似文献
3.
用函数方法证明不等式 ,常常能够方便地给出证明 .用函数方法证明不等式的关键是结合不等式的结构特征构造适当的函数 ,以便于利用这一函数的有关性质证明所给的不等式 .例 1 若ａ >ｂ>0 ,ｍ >0 .求证 :ａｂ >ａ +ｍｂ+ｍ.证明 令 ｆ(ｘ) =ａ+ｘｂ +ｘ.由ａ>ｂ可设ａ =ｂ+ｃ(ｃ >0 ) ,则ｆ(ｘ) =ｂ+ｘ +ｃｂ +ｘ =1+ｃｂ +ｘ.当ｘ∈ (0 ,+∞ )时 ,ｆ(ｘ)为减函数 .∵ ｍ >0 ,∴ ｆ(ｍ) <ｆ(0 ) .即 ａｂ >ａ+ｍｂ+ｍ.注 用函数方法证明不等式 ,往往要利用所构造函数的单调性 .例 2 设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ .证明 :ａ2 +ａｃ+ｃ2 +3ｂ(ａ+ｂ+… 相似文献
4.
巧用P＋3Q≥R证明三角形不等式 总被引：4，自引：4，他引：0
数学素质教育的核心问题是培养学生的数学创新能力 .笔者注意在不等式证明的教学和兴趣小组辅导中引进创新方法 :Ｐ -Ｑ -Ｒ法 ,巧用定理 :Ｐ 3Ｑ≥Ｒ证明一类三角形不等式 ,收到了较好的效果 ,现介绍给读者 .定理 △ＡＢＣ的三边为ａ、ｂ、ｃ ,并记Ｐ =ａ3 ｂ3 ｃ3 , Ｑ =ａｂｃ,Ｒ =ａ2 ｂ ａｂ2 ｂ2 ｃ ｂｃ2 ｃ2 ａ ｃａ2 ,则 Ｐ 3Ｑ ≥Ｒ . 证明 考虑到三角形两边之和大于第三边 ,有(ａ -ｂ) 2 (ａ ｂ -ｃ)=ａ3 ｂ3 -ａ2 ｂ -ａｂ2 -ｂ2 ｃ-ｃａ2 2ａｂｃ≥ 0 ,(ｂ-ｃ) 2 (ｂ ｃ -ａ)=ｂ3 ｃ3 -ｂ2… 相似文献
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平均不等式 :若ａ、ｂ、ｃ均为正数 ,则ａ +ｂ+ｃ≥ 33 ａｂｃ,当且仅当ａ =ｂ=ｃ时 ,取“ =”号 .教材上已给出一种证明方法 ,笔者再给出如下一种简捷证法 ,供读者学习时参考 .证明 由ａ、ｂ、ｃ均为正数 ,得ａ+ｂ +ｃ+3 ａｂｃ=(ａ+ｂ) +(ｃ+3 ａｂｃ)≥ 2ａｂ +2ｃ· 3 ａｂｃ=2 (ａｂ+ｃ 3 ａｂｃ)≥ 4ａｂ·ｃ 3 ａｂｃ=4 4 ａｂｃ 3 ａｂｃ=44 3 ａ4ｂ4ｃ4=4 3 ａｂｃ .∴ａ +ｂ+ｃ≥ 33 ａｂｃ.以上证明中等号成立 ,当且仅当ａ =ｂ,且ｃ =3 ａｂｃ,ａｂ =ｃ 3 ａｂｃ ,即巧证平均不等式@徐有林$云南省巧家县第一中学!654600… 相似文献
6.
《中学数学教学参考》1999,(11)
杨学枝的一个不等式猜想１９９９年７月２２～２６日,在风光秀丽的江苏省吴县市召开了首屈“全国不等式研究学术会议”．会议期间,杨学枝提出如下：猜想 设ａ,ｂ,ｃ为锐角△ＡＢＣ的三边,ａ≥ｂ,ｃ,ｍａ、ｍｂ、ｍｃ分别为三边上的中线,则２ａ－ｂ－ｃ≥ｍｂ＋ｍｃ－２ｍａ．这是一个多么简洁、优美的不等式,它深刻地揭示了锐角三角形的边与中线间的关系．因此引起了与会代表的浓厚兴趣．由于用中线公式代入将化为三元高次多项式不等式,几何方法则很难“拉上”边与中线间的可用关系,均难于处理．因此,虽然经杨路教授用计算机检… 相似文献
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文[1] 介绍了涉及三角形高线的不等式 :ｒ(5Ｒ-ｒ)Ｒ2 ≤ ｈ2 ａｂｃ ｈ2 ｂｃａ ｈ2 ｃａｂ ≤ (Ｒ ｒ) 2Ｒ2 ①文[2 ] 在①的基础上 ,建立的如下不等式 :ｂｃｈ2 ａ ｃａｈ2 ｂ ａｂｈ2 ｃ≥ 4②文[3 ] 建立了比②更强的如下不等式 :ｂｃｔ2 ａ ｃａｔ2 ｂ ａｂｔ2 ｃ≥ 4③ 本文提出如下涉及ｈａ,ｈｂ,ｈｃ 的不等式链 : ｂｃｒ2 ａ≥ 2Ｒｒ = ｂｃｈ2 ａ≥ Ｒｒ 2= ｂｃｔ2 ａ≥ ｂｃｒｂｒｃ ≥4, ｂｃｍ2 ａ④而这一不等式④只须巧用三角形中诸元素的代数变换体系ｆ(ｒａ,ｒｂ,ｒｃ) =ｆ(ｘ,ｙ,ｚ)简证之 .1 三角形诸元素… 相似文献
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成功的解题 ,常常体现在 :善于发现规律 ,巧于利用规律 .这是一类常见的条件不等式证明问题 :题设条件是ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,且ａ ｂ ｃ=1.本文试图揭示其证题规律 ,并巧用其规律 .定理 设ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,且ａ ｂ ｃ =1,则ａ2 ｂ2 ｃ2 ≥ 13≥ａｂ ｂｃ ｃａ ;①1ａ 1ｂ 1ｃ ≥ 9;②1ａ2 1ｂ2 1ｃ2 ≥ 1ａｂ 1ｂｃ 1ｃａ ≥ 2 7;③ａｂｃ ｂｃａ ｃａｂ ≥ 1;④ａｂｃ ｂｃａ ｃａｂ ≥ 9;⑤ａｂｃ≤ 12 7,或 1ａｂｃ≥ 2 7;⑥ａｂｃ 1ａｂｃ≥ 2 712 7;⑦ａ ｂ ｃ≤ 3;⑧ａｂ ｂｃ ｃａ≤ 1. ⑨ (当且仅当ａ=… 相似文献
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两个猜想 总被引：1，自引：0，他引：1
贾功青 《中学数学教学参考》2002,(7)
受有关文章的启发 ,我曾获得一个关于三角形边和中线的不等式 :ｆ(ｍ) =∑ ａ2ｍｂ2 ｍｃ2 ≥ 2 .由于ｍａ≥ｔａ≥ｈａ 等等 ,想到不等式链ｆ(ｈ)≥ｆ(ｔ)≥ｆ(ｍ)≥ 2(其中 ,ｔａ 等为角平分线 ,ｈａ 等为高 ) ,进而 ,又可以猜想 :( 1 )Π ａ2(ｔｂ2 ｔｃ2 ) ≥ 82 7;( 2 ) 相似文献
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《中学数学教学参考》2 0 0 2年第 8斯 ｐ .2 7上有这样两个不等式 :若ａ ,ｂ∈Ｒ ,ａ ｂ =1,则43 ≤ 1ａ 1 1ｂ 1<32 ,32 <1ａ2 1 1ｂ2 1≤ 85 .经过类比、猜测、证明 ,笔者得到两个新的结果 ,兹介绍如下 .定理 1 若ａ ,ｂ∈Ｒ ,ａ ｂ=1,则32 <1ａ3 1 1ｂ3 1≤ 169.证明 显然 1ａ3 1 1ｂ3 1≥ 1ａ2 1 1ｂ2 1>32又因为 16ａ3 ｂ3 5≥ 16ａ3 ｂ3 12 18ａｂ≥ 3316ａ3 ｂ3 · 14 · 14 18ａｂ=2 1ａｂ ,所以 2 7(1-ａｂ) ≤ 16(ａ3 ｂ3 2 - 3ａｂ) ,所以 3 (1-ａｂ)ａ3 ｂ3 2 - 3ａｂ≤ 169,所以 1ａ3 1 1ｂ3 1≤ 169.所… 相似文献
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高级中学课本《代数》下册 (必修 )第 12页例 7:已知ａ,ｂ ,ｍ∈Ｒ+ ,且ａ <ｂ,求证 : ａ +ｍｂ+ｍ >ａｂ . (1)该题初看平淡无奇 ,学完分析法之后常会置之不理 .但它及引伸、变形的用处十分广泛 ,许多高考试题都是以它为背景 ,使得它已成为高考命题的生长点 . 1.条件不变 ,还可以有ａｂ <ａ +ｍｂ +ｍ <1;(2 )ｂ +ｍａ+ｍ <ｂａ . (3) 2 .改变条件 :若ａ ,ｂ,ｍ ∈Ｒ+ ,且ｍ <ａ <ｂ,则有ａ-ｍｂ-ｍ <ａｂ <ａ+ｍｂ+ｍ. (4)上述四个结论 ,有着神奇的功能 ,广泛的应用 .下面仅以高考题为例来说明 .例 1 (1989年广东高考理科题… 相似文献
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包含△ＡＢＣ的三边ａ ,ｂ ,ｃ的三角形不等式 ,形式各异 ,多姿多采 ,而传统证明方法却只能因题制宜 ,灵活多变 ,无一定法 ,颇具难度 .本文介绍一种统一的新证法 :“Ｐ-Ｑ -Ｒ”法 .定理 设ａ ,ｂ ,ｃ为△ＡＢＣ的三边 ,记Ｐ =ａ3 ｂ3 ｃ3= ａ3,Ｑ =ａｂｃ= ａ ,Ｒ =ａ2 ｂ ａｂ2 ｂ2 ｃ ｂｃ2 ｃ2 ａ ｃａ2 = ａ2 (ｂ ｃ) = ｂｃ(ｂ ｃ) ,则 2Ｐ ≥Ｐ 3Ｑ ≥Ｒ≥ 12 (Ｐ 9Ｑ)≥ 6Ｑ ,Ｐ 3Ｑ ≥Ｒ >Ｐ 2Ｑ .当且仅当正三角形时各等号成立 ; 、 分别为循环和、循环积 )证明 (ⅰ )依平均值不等式 ,立得Ｐ =ａ3 ｂ3 ｃ3≥ 3ａｂｃ=… 相似文献
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例 1 已知ｘ ,ｙ ,ｚ>0 ,证明 :ｚ2 -ｘ2ｘ + ｙ + ｘ2 -ｙ2ｙ +ｚ + ｙ2 -ｚ2ｚ +ｘ ≥ 0 .证明 设ｘ+ ｙ =ａ ,ｙ +ｚ=ｂ ,ｚ +ｘ=ｃ ,则ｚ-ｘ =ｂ-ａ ,ｘ -ｙ =ｃ-ｂ ,ｙ-ｚ=ａ -ｃ,ａ ,ｂ ,ｃ>0 .于是原式等价于ｂｃａ + ｃａｂ + ａｂｃ ≥ａ +ｂ+ｃ .由ｂｃａ + ｃａｂ ≥ 2ｃ等得证 .例 2 在 ＡＢＣ中 ,ａ +ｂ +ｃ=2ｓ ,ａ ,ｂ,ｃ为三边 ,则ａｂｃ≥ 8(ｓ-ａ) (ｓ -ｂ) (ｓ-ｃ) .证明 设ｓ -ａ =α ,ｓ-ｂ =β ,ｓ-ｃ =γ ,则α ,β ,γ >0 ,α+ β =ｃ,β +γ=ａ ,α +γ=ｂ.于是原式等价于(α + β) (β+γ) (γ +α)≥ 8αβ… 相似文献
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结论 若ａ+ｂ +ｃ=0 ,则ｂ2 ≥ 4ａｃ.证明 ∵ａ +ｂ+ｃ =0 ,即ｂ=- (ａ+ｃ) ,∴ｂ2- 4ａｃ=[- (ａ+ｃ) ]2 - 4ａｃ=(ａ -ｃ) 2 ≥ 0 ,故ｂ2 ≥4ａｃ.活用这一结论可以方便、准确地求解已知等式求取值范围或不等关系类型的问题 .下面举例说明 .例 1 (1991年“曙光杯”初中数学竞赛题 )已知三个实数ａ ,ｂ,ｃ满足 ａ +ｂ+ｃ =0 ,ａｂｃ =1,求证 :ａ、ｂ、ｃ中至少有一个大于 32 .证明 由题设条件可知ａ ,ｂ,ｃ中有一个正数 ,两个负数 ,不妨设ｃ>0 .∵ａ+ｂ +ｃ=0 ,∴ｃ2 ≥ 4ａｂ.而ａｂｃ=1,则有ｃ3 ≥ 4ａｂｃ =4 ,∴ｃ≥ 34>32 78=32… 相似文献
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证明不等式,就是要证明给定不等式对于其定义域中一切数都能成立,即要证明它是一个绝对不等式,证明不等式的关键,在于抓住“条件”与“求证”之间的内在联系和结构特征,联系有关的基础知识,进行适当的变换。证明不等式的主要依据是不等式的性质,以及一些熟知的基本不等式,如ａ2 ｂ2≥2ａｂ(并且仅当ａ=ｂ时,等式成立)。ｂａ ａｂ≥2(ａ,ｂ同号,当且仅当ａ=ｂ时等式成立)。ａ ｂ2≥ａｂ(ａ,ｂ∈Ｒ 同号,当且仅当ａ=ｂ时等式成立)。ｔｇα ｃｔｇα≥2ｓｉｎα ｃｏｓα≥1 (0≤α≤π2)不等的证明方法多种多样,下面例举几种常见思考方法,… 相似文献
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本文给出关于三元ａ ,ｂ,ｃ轮换对称的一类不等式及其应用 .1 几个命题命题 1 设ａ、ｂ、ｃ为正实数 ,ｋ为常数 ,ｋ≥ 2 ,则(1) ａａ+ｋｃ+ｂｂ+ｋａ+ｃｃ+ｋｂ ≥ 31+ｋ;(Ａ)(2 ) ａｋａ+ｂ+ｂｋｂ+ｃ+ｃｋｃ+ａ ≤ 31+ｋ. (Ｂ)证明 (1)由柯西不等式得(Ａ)式左边 =ａ2ａ(ａ +ｋｃ) +ｂ2ｂ(ｂ +ｋａ) +ｃ2ｃ(ｃ+ｋｂ) ≥ (ａ+ｂ +ｃ) 2ａ(ａ+ｋｃ) +ｂ(ｂ +ｋａ) +ｃ(ｃ +ｋｂ)= (ａ +ｂ+ｃ) 2ａ2 +ｂ2 +ｃ2 +ｋ(ａｂ +ｂｃ+ｃａ) .又ａ2 +ｂ2 +ｃ2 +ｋ(ａｂ+ｂｃ +ｃａ)=ａ2 +ｂ2 +ｃ2 +ｋ - 23(ａｂ +ｂｃ+ｃａ) +2 (1+ｋ)3(ａｂ+ｂ… 相似文献
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近日读了西北师大《数学教学研究》上的一篇文章 (见文 [1]) ,该文研讨了关于三角形三边ａ、ｂ、ｃ的一个不等式Ｐ 3Ｑ ≥Ｒ ,(1)其中Ｐ = ａ3 =ａ3 ｂ3 ｃ3 ,Ｑ =ａｂｃ ,Ｒ = ａ2 ｂ=ａ2 ｂ ａｂ2 ｂ2 ｃ ｂｃ2 ｃ2 ａ ｃａ2 .今将不等式 (1)中的Ｒ改记为Ｆ ,从而不等式(1)改写为Ｐ 3Ｑ ≥Ｆ ,(2 )其中Ｐ = ａ3 ,Ｑ =ａｂｃ ,Ｆ = ａ2 ｂ .本文将指出 ,不等式 (2 )本质上等价于著名的欧拉不等式 .首先 ,易知不等式 (2 )可以改写为 ａ3 5ａｂｃ≥ (ａ ｂ) (ｂ ｃ) (ｃ ａ) .(3) 其次 ,由熟知的恒等式 (其中Ｒ、ｒ分别表示三角… 相似文献
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构造函数法是证不等式的一种重要方法 ,本文谈谈构造函数法证不等式的几种思考途径 .途径一 利用函数的单调性构造一个函数 ,使原不等式 (或经等价变形后 )的左右两边是这个函数在某一个单调区间上的两个值 ,就可以利用函数的单调性证明不等式 .例 1 已知ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ ,且ａ ｂ ｃ =1,求证 :ａｂｃ 1ａｂｃ≥ 2 712 7.证明 令 ｆ(ｘ) =ｘ 1ｘ ,取 0 <ｘ1<ｘ2 <1,则ｆ(ｘ2 ) - ｆ(ｘ1) =(ｘ2 -ｘ1) 1ｘ2 - 1ｘ1=(ｘ2 -ｘ1) 1- 1ｘ1ｘ2 <0 ,所以 ｆ(ｘ)在 (0 ,1)上为减函数 .又 0 <ａｂｃ≤ ａ ｂ ｃ33=12 7,∴ｆ(ａｂｃ) ≥ ｆ 12 … 相似文献
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一、利用根的定义构造一元二次方程例 1 已知ａ、ｂ为互不相等的实数 ,且ａ2 =7- 3ａ,ｂ2 =7- 3ｂ.求ａ2 +ｂ2 的值 .(2 0 0 2年北大附中中考模拟题 )分析 观察发现 ,ａ、ｂ实际上是方程ｘ2 +3ｘ-7=0的两个互不相等的实根 ,从而可以利用根与系数的关系求ａ2 +ｂ2 的值 . 解 由ａ2 =7- 3ａ ,ｂ2 =7- 3ｂ ,知ａ、ｂ是方程ｘ2 +3ｘ- 7=0的两个根 ,则ａ +ｂ =- 3,ａｂ=- 7.∴ ａ2 +ｂ2 =(ａ +ｂ) 2 - 2ａｂ =(- 3) 2 +2× 7=2 3.例 2 已知ａ2 +ａｃ+ｃ2 =0 ,ｂ2 +ｂｃ+ｃ2 =0(ｂ≠ａ) ,请猜想ａ2 +ａｂ +ｂ2 的值 ,并证明你的猜想 . (2 0 … 相似文献
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文 [1]介绍了涉及三角形高线的不等式 : ｒ(5Ｒ -ｒ)Ｒ2 ≤ ｈ2 ａｂｃ ｈ2 ｂｃａ ｈ2 ｃａｂ ≤ (Ｒ ｒ) 2Ｒ2 .①文 [2 ]在①的基础上 ,建立又一不等式 : ｂｃｈ2 ａ ｃａｈ2 ｂ ａｂｈ2 ｃ≥ 4 . ②由①、②笔者得到启发 ,得出了②的一个加强不等式 :定理 设ｔａ、ｔｂ、ｔｃ分别是△ＡＢＣ的ａ、ｂ、ｃ边上的高 ,则有 ｂｃｔ2 ａ ｃａｔ2 ｂ ａｂｔ2 ｃ≥ 4 .③证明 记△ＡＢＣ的半周长和面积分别为ｓ和△ ,文 [3]证得 ａｂｃ≥ 233△ｓ.易得 ｔａ ≤ｓ(ｓ-ａ) ,ｔｂ ≤ｓ(ｓ-ｂ) ,ｔｃ ≤ｓ(ｓ-ｃ) ,于是应用 … 相似文献