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在求圆锥曲线轨迹方程时用定义解题既方便又快捷 ,但有时审题不清 ,思考不严密 ,造成解题错误 .现举例说明以便引起重视 .例 1 动点 P到直线 x =5的距离与它到点 F ( 1,0 )的距离之比为 3 ,求动点的轨迹方程 .错解 :由定义知 ,点 P的轨迹是椭圆 ,所以 e=33 ,c=1,a2c=5 ,所以 a2 =5 .所以 b2 =a2 -c2 =4.故所求方程为 x25 +y24=1.正解 :设 P( x,y) ,由题意得|5 -x|( x -1) 2 +y2 =3化简得 ( x +1) 212 +y28=1.例 2 已知双曲线的右准线 x =4,右焦点F ( 10 ,0 ) ,离心率 e =2 ,求双曲线方程 .错解 1:因为右准线方程为 x =4,所以 a2c=4,又 c… 相似文献
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一、从圆锥曲线的定义中寻找例1已知圆的方程为x2+y2=4,两个定点分别为A(-1,0),B(1,0),动抛物线过A、B两点且以圆的切线为准线,求抛物线的焦点的轨迹方程.寻找突破口求轨迹方程的常用方法有直接 相似文献
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圆锥曲线的定义的应用、方程及性质是高中解几的重点,也是难点.如何解圆锥曲线的综合问题呢?除了注重利用基本知识、基本概念外,还应注意以下四个方面: 1 灵活应用定义(几何意义)及图形解决问题 圆锥曲线定义是解决问题的出发点,涉及到抛物线的焦半径、焦点弦问题可以优先考虑利用抛物线定义转化为点到准线的距离,这样可以使问题简单化. 例1若(3,2)A,F为抛物线22yx=的焦点,P为抛物线上的任意点,求||||PFPA 的最小值及取最小值时的坐标. 解 抛物线2y= 2x的焦点(1/2,0)F, 准线为1/2x=-.如图, 设P到准线的距离为 ||PH,则||||PHPF=, 因此… 相似文献
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鄢志俊 《数理天地(高中版)》2002,(6)
圆锥曲线定义是推导圆锥曲线方程的依据,也足解题的方法.面对一个解析几何题首先要想:“可否用圆锥曲线定义?”由此,往往町以发现快捷的通道.例1 点M与点F(0,5)的距离比它到直线y+6=0的距离小1,求点M的轨迹方程.解由题意知,点M到点F(0,5)的距离与它到直线y+5=0的距离相等,故点M的轨迹为抛物线,焦点为(0,5),准线为直线y+5=0,其方程为x2=20y. 相似文献
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圆锥曲线是高中数学的重要内容,而活用焦点弦诸多独特性质解决应变问题成批。例如: 1.圆锥曲线是抛物线的充要条件是焦点弦为直径的圆与准线相切。 2.已知y~2=2px的焦点弦一端过A(3,23~(1/2)),则此焦点弦方程为y=3~(1/2)·(x-1);若此焦点弦为入射光线,则其反射光线的方程如何? 3.已知抛物线的顶点是椭圆16x~2+25y~2=400的右焦点,且两曲线的公共弦过抛物线的焦点,则此抛物线方程如何? 相似文献
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与圆锥曲线有关的轨迹问题是解析几何中的一类重要问题,它往往和圆锥曲线的定义和性质有密切的联系,因此,在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时,要特别重视圆锥曲线的定义和性质在求解时的作用.下面谈谈几种常见求轨迹方程的技巧与方法. 一、直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式,再用坐标代替这等式,化简得曲线的方程,即直接通过建立 x、y之间的关系,构成F(x,y)=0,这种方法叫直接法.例1 已知两条直线 l1∶2x-3y+2=0 和l2∶3x-2y+3=0。有一动圆(圆心和半径都动)与l1、l2 都相交,且 l1、l2 … 相似文献
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任勇 《中学数学教学参考》1994,(3)
数学概念通常是以定义的形式表述的,因此利用定义解题能沟通数学问题内在的本质属性,常常能达到化繁为简、化难为易的效果。本文分类举例说明定义在解题中的运用。 1.利用圆锥曲线的定义 例1 在抛物线x~2=Ay上有两点A(x_1,y_1)和B(x_2,y_2),满足|AB|=y_1 y_2 2。求证:点A,B和这抛物线的焦点三点共线,(1989年广东理工类第二卷第四题 证明:如图,抛物线的焦点为F(0.1)。准线方程为y=-1.点A、B到准线的距离分别为d_1=y_1 1,d_2=y_2 1。 相似文献
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圆锥曲线的第一定义和第二定义反映了圆锥曲线的本质特征,在解析几何问题中,凡题目中涉及焦半径、准线、离心率等有关问题,用定义解题是一种重要的基本方法,常常达到事半功倍的效果.下面列举几例以作参考.一、求轨迹例1已知两圆C1:(x 4)2 y2=9与C2:(x-4)2 y2=169,动圆P与C1外切 相似文献
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一、活用定义,优化过程例1已知动圆圆心P经过定点O(0,0),且动圆与⊙A:(x-2)2+y2=1外切,求动圆圆心P的轨迹方程.解依题意有｜PA｜-｜PO｜=1<｜OA｜=2.由双曲线的定义知,动点P的轨迹是以点O、A为焦点的双曲线的左支.由2a=1,2c=2得a=12,c=1,∴b2=c2-a2=34,双曲线中心为(1,0).∴点P轨迹方程为(x-1)214-y234=1(x≤12).例2已知椭圆方程(x-6)216+(y-2)212=1,点P(5,-1)是椭圆内一点,试在椭圆上求一点M,使｜MF｜+0.5｜PM｜的值最小(其中F为椭圆的左焦点).解已知椭圆的离心率e=0.5,左准线方程x=-2,∴｜MF｜∶｜MN｜=0.5,即｜MF｜=0.5｜MN… 相似文献
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曾安雄 《数学大世界(高中辅导)》2004,(10):15-17,7
一、忽略斜率不存在若将直线方程设为点斜式或斜截式,则应针对斜率是否存在进行分类讨论,否则极易漏解.【例1】 求过(2,1)且与直线y=3x-1夹角为30°的直线方程.错解:设所求斜率为k,因为直线y=3x-1的斜率为k1=3,由3-k1+3k=tan30°=33,得k=33.故所求直线方程为y-1=33(x-2),即x-3y+3-2=0.剖析:这里忽略了斜率不存在的情况.事实上,还有一条直线x=2也满足.【例2】 已知直线l经过点(4,8),且到原点的距离是4,求直线l的方程.错解:设所求直线l的方程为y-8=k(x-4),可化为kx-y+(8-4k)=0,由点线距离公式可得|8-4k|k2+1=4,解得k=34.所求直线方程为y-8=3… 相似文献
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任殿宏 《中学生数理化(高中版)》2004,(5):13-13
题目 点P与点F( 2 ,0 )的距离和与直线x =8的距离的比是 1∶ 2 ,求点P的轨迹方程 ,并说明轨迹是什么图形 .解法 1:设P(x ,y)是轨迹上的任意一点 ,它到直线x =8的距离为d ,则|PF|d =12 ,即(x -2 ) 2 y2|x -8|=12 .两边平方、整理得x2 2y2 8x =5 6,也就是(x 4 ) 272 y23 6=1.这就是所求动点P的轨迹方程 ,它表示一个中心在 ( -4 ,0 ) ,焦点为F′( -10 ,0 ) ,F( 2 ,0 ) ,长轴长是 12 2的椭圆 ,如图所示 .解法 2 :根据椭圆的第二定义知所求动点P的轨迹是一个椭圆 ,其焦点在x轴上 .因为焦点F( 2 ,0 ) ,准线x =8,所以c=2 ,a2c=8,解得a2 … 相似文献
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一、曲线和方程 例l(96上海)与团(x一2)2 y‘~l外切,且与y轴相切的动团圆心P,的轨迹方程为_· 〔析与解〕思路1(直接法):设P(x,y),据题得丫(x一2)’ yZ一1=x(x)o)化简整理得:y,=6x一3,即为所求方程。 思路2(定义法):据题意知P到点(2,0)的距离等于它到直线x-一1的距离,据抛物线的定义得点P的轨迹方程是y,一6(x一冬),即yZ一6x一3.~一~一一产-一2‘’一,J 例2(93年新高考)在面积为1的△PMN中,tg匕PMN一冬,tg艺MNP一2,建立适当坐标系,求以~一’一’2’一0~’一’-一”~一一一一”‘’一了寸一M、N为焦点且过点P的椭圆方程。—列式—设点… 相似文献
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抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)具有对称性,它的对称轴是直线x=-b2a,顶点在对称轴上.在求抛物线的解析式时,充分利用抛物线的对称性,可简化运算.现举例说明如下.例1已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(0,-1)、B(1,2)、C(-3,2)三点,求该抛物线的解析式.解:∵B(1,2)、C(-3,2)是抛物线关于对称轴的对称点,∴抛物线的对称轴是x=121+-3=-1.设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+k.将点A(0,-1)和B(1,2)代入,得-1=a+k,2=4a+k解得a=1,k=-2.∴所求抛物线的解析式为y=(x+1)2-2,即y=x2+2x-1.例2已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A(3,-2),与x轴的两个交点B、C间的距离为4,求该抛… 相似文献
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吴锷 《山西教育(综合版)》2005,(12)
【知识精讲】圆锥曲线一章是高中数学的一个重要内容.圆锥曲线的定义是研究问题的根本,是相应标准方程与几何性质的“源”.圆锥曲线相关知识在高考中出现的频率很高,我们在解题时要有运用圆锥曲线定义解题的意识,特别是解问答题时,利用圆锥曲线的定义解题会比较简捷.运用圆锥曲线的定义解题常见的是:①求轨迹问题;②求曲线上某些特殊的点的坐标问题;③过焦点的弦长以及与焦半径相关的问题.【方法点拨】1.在利用圆锥曲线定义求轨迹时,若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据圆锥曲线的定义写出所求的轨迹方程;若所求轨迹是某种圆锥曲线上… 相似文献
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在今年高三数学圆锥曲线一章的复习过程中有这样两道题目.题目1如图1,抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上.(Ⅰ)写出该抛物线的方程及其准线方程;(Ⅱ)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求y1+y2的值及直线AB的斜率. 相似文献
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一、解答个别问题先让学生合作解答(人教版普通高级中学课本Vol.2,P.103,No.10)下面的命题1,并说明“所求轨迹是位于何处的什么图形”。命题1:点M与椭圆x2132+1y222=1的左焦点和右焦点的距离的比是2∶3,求点M的轨方程。学生很快得出所求的轨迹方程为(x+13)2+y2=122,并说明轨迹是以椭圆左端点为圆心、短半轴长为半径的圆。顺势将命题1改为下面的命题2。命题2:求到椭圆x2132+1y222=1的两焦点的距离之比为k=2:3的点轨迹。您发现了什么?学生又很快得出所求的轨迹方程为(x±13)2+y2=122,并发现,所求的轨迹是两个圆(一个以椭圆长轴的左端点为圆… 相似文献
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求动点的轨迹,通常是先求出动点轨迹所适合的方程。然后根据方程来判断轨迹是什么图形。但事实上,所求方程的图象不一定全部都为所求的轨迹,必须注意轨迹的范围。下面谈谈确定动点轨迹范围的几种常用方法。一、根据一元二次方程的判别式确定。 [例1] 过原点任作直线与抛物线y=x~2 2x 1交于P_1、P_2两点,求P_1P_2中点P的轨迹。解因为过原点倾角为π/2的直线与抛物线y=x~2 相似文献
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重庆市教师进修学院编的《数学复习资料》下册(一九八○届用)第517页例12是一个典型的轨迹问题: 对称轴平行于y轴,形状大小保持不变(即焦点到准线的距离p是常数)的抛物线开口向上。如果这抛物线的顶点在椭圆 x~2/a~2+y~2/b~2=1 上移动,(1)求抛物线焦点的轨迹;(2)若平行于直线x—y=d的直线与这抛物线相切,求切点的轨迹。《资料》中视抛物线顶点的纵坐标为参数,采用参数方程求解,显得有些累赘。事实上,若一动点M与在已知曲线上另一动点P保持了某种特定的关系,使得:P点的坐 相似文献
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一、直线与圆锥曲线位置关系问题这种问题实际上是讨论直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组是否有实解的问题.通过消元最终归结为讨论一元二次方程ax2+bx+c=0的解的个数问题.要注意a≠0与a=0两种情形,同时要特别重视判别式的作用.例1直线y=kx-1与抛物线(y+1)2=4(x-2)只有一个公共点,则k的值为.解(1)若k=0,y=-1,显然直线与(y+1)2=4(x-2)只有一个公共点.(2)若k≠0,由y=kx-1,(y+1)2=4(x-2),得k2x2-4x+8=0.∴驻=16-4k2×8=0,即k=±姨22.故k的值可能为0,-姨22,姨22.二、弦长问题若直线l与圆锥曲线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),由AB=(x2-x1)2+(y2-… 相似文献