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1.
高中代数上册第 2 97页给出了三角方程
ａｓｉｎｘ ｂｃｏｓｘ ｃ =0 (ａ、ｂ不同时为零 )有解的
条件是 | ｃ
ａ2 ｂ2 |≤ 1 ,即ａ2 ｂ2 -ｃ2 ≥ 0。若记Δ =
ａ2 ｂ2 -ｃ2 ,并称其为“三角判别式” ,可进一步得到 :
定理 对于三角方程ａｓｉｎｘ ｂｃｏｓｘ ｃ =0 (0≤
ｘ <2π ,ａ、ｂ不同时为零 ) ,则
①方程有两个不同解 Δ >0 ;
②方程有唯一解 Δ =0 ;
③方程无解 Δ <0。
证明极其简单 ,只要将原方程化为ｓｉｎ(ｘ φ) =
-ｃ
ａ2 ｂ2 ,其中 φ由ｓｉｎφ =ｂ
ａ2 ｂ2 ,ｃｏｓ… 相似文献
2.
姚勇 《中学数学教学参考》2001,(9)
定理 不定方程1 6Δ2 =2ｂ2 ｃ2 2ｃ2 ａ2 2ａ2 ｂ2 -ａ4 -ｂ4 -ｃ2 ①的非平凡整数解 (ａ ,ｂ,ｃ,Δ)由如下公式给出 :ａ =(ｍ2 ｎ2 ) (ｓ2 ｔ2 ) 4ｍｎｓｔ,ｂ=2ｍｎ(ｓ2 ｔ2 ) 4ｓｔｍ2 ,ｃ=[ｍｎ(ｓ2 ｔ2 ) 2ｓｔｍ2 ](ｍ2 -ｎ2 ) (ｓ2 -ｔ2 ) ,其中ｍ、ｎ、ｓ、ｔ为整数 ,(ｍ ,ｎ) =1 ,(ｓ,ｔ) =1 ,且ｍｓ≠ 0 ,ｍ≠±ｎ ,ｓ≠±ｔ.证明 :①式可化为2Δｂｃ2 ｂ2 ｃ2 -ａ22ｂｃ2 =1 ,则 ( 2Δｂｃ,ｂ2 ｃ2 -ａ22ｂｃ )为单位圆ｘ2 ｙ2 =1上的有理点 ,可表示为 ( ｓ2 -ｔ2ｓ2 ｔ2 ,2ｓｔｓ2 ｔ2 ) (ｓ,ｔ为互素非零整数… 相似文献
3.
所谓“递推法” ,就是根据题目特点 ,构造递推关系式解题的一种方法 ,运用这种方法解题 ,往往能化繁为简 ,变难为易 ,得到简捷合理的解题途经 .1 利用已知的递推关系式求值例 1 设ａ、ｂ、ｃ为非零常数 ,ｘ2 =ａｘ1 ｂ ,ｘ3=ａｘ2 ｂ ,… ,ｘ1 0 =ａｘ9 ｂ ,若ｘ1 0 =0 ,则ｘ1 =.(第三届“缙云杯”竞赛题 )解 ∵ ｘ3 =ａ(ａｘ1 ｂ) ｂ =ａ2 ｘ1 ａｂ ｂ ,ｘ4=ａ(ａ2 ｘ1 ａｂ ｂ) ｂ =ａ3 ｘ1 ａ2 ｂ ａｂ ｂ ,… ,ｘ1 0 =ａ9ｘ1 ａ8ｂ ａ7ｂ … ａｂ ｂ =0 ,∴ ｘ1 =- ｂａ9( 1 ａ ａ2 … ａ8) .2 利用幂指数构造… 相似文献
4.
题目 :甲、乙、丙三位同学用下列试剂分别进行实验 ,均恰好反应完全。所用试剂及质量见下表。试剂及质量反应后所得溶液质量甲 ＣａＯ(固 )ａ1克 10 %盐酸ｂ1克Ｃ1克乙 Ｃａ(ＯＨ) 2 (固 )ａ2 克 10 %盐酸ｂ2 克Ｃ2 克丙 ＣａＣＯ3(固 )ａ3克 10 %盐酸ｂ3克Ｃ3克已知 :ａ1 ａ2 ａ3=2 3.0 4克 ,ｂ1 ｂ2 ｂ3=1 89.8克 ,现将甲、乙、丙三同学所得溶液全部倒入一个容器内 ,称得此溶液为 2 0 6 .1 6克 ,试求此混合溶液的溶质质量分数。 (精确到0 .1 % )解析 :这是 2 0 0 0年全国奥林匹克初中化学竞赛山东赛区初赛 35题。通过阅卷发现 ,此题对… 相似文献
5.
《中学数学教学参考》2000,(6)
一个不等式猜想的证明猜想见本刊2000年第5期”成果集锦”.证明:猜想的不等式等价于2ａ-ｂ-ｃ 2ｍａ≥ｍｂ ｍｃ,即(2ａ-ｂ-ｃ 2ｍａ)2≥(ｍｂ ｍｃ)2.应用中线公式,展开,有Ｔ=16ｍａ(2ａ-ｂ-ｃ)-8ｍｂｍｃ 8ａ2 11ｂ2 11ｃ2 8ｂｃ-16ａｂ-16ａｃ≥0.①∵(4ｍｂｍｃ)2=(2ａ2 2ｃ2-ｂ2)(2ａ2 2ｂ2-ｃ2)=(2ａ2 ｂｃ)2-2(ａ ｂ ｃ)(-ａ ｂ ｃ)(ｂ-ｃ)2≤(2ａ2 ｂｃ)2,∴4ｍｂｍＣ≤2ａ2 ｂｃ.∴Ｔ≥16ｍａ(2ａ-ｂ-ｃ) 4ａ2 11ｂ2 11ｃ2 6ｂｃ-16ａｂ-16ａｃ=16ｍａ(2ａ-ｂ-ｃ) (2ａ-ｂ-ｃ)(2ａ-7ｂ-7ｃ) 4(ｂ-ｃ)2≥(2ａ-ｂ-ｃ)(16ｍａ 2ａ-7ｂ… 相似文献
6.
一、复习要求1 能运用溶解度的概念进行有关的基本计算。2 能熟练地进行溶解度与溶质质量分数间的相互换算。二、主要内容提示1 进行有关溶解度的基本计算 ,关键是要理解溶解度的概念 ,在认真审题的基础上 ,找准饱和溶液中溶质、溶剂或溶液的质量 ,或它们间的质量关系 ,然后代入概念公式进行计算。2 基本计算关系式 在一定温度下的饱和溶液中 (溶质为固体 ) ,有下列关系式 :溶质质量 (克 )溶解度 (克 ) =溶剂质量 (克 )10 0克=溶液质量 (克 )10 0克 溶解度 (克 )饱和溶液中溶质的质量分数 =溶解度 (克 )10 0克 溶解度 (克 ) × 10 … 相似文献
7.
对于条件“ａ>ｂ>ｃ且ａ ｂ ｃ=0” ,很多同学一直认为它只有“ａ >0 ,ｃ <0”的结论。其实它还有另外一个结论 ,即由它可推得“ｃａ ∈ (-2 ,-12 )”。证明过程为 :∵ａ ｂ ｃ =0 , ∴ｂ =-ａ -ｃ。∵ａ >ｂ>ｃ, ∴ａ >-ａ -ｃ>ｃ。∵ａ >0 , ∴ 1 >-1 -ｃａ >ｃａ ,∴ 相似文献
8.
潘开刚 《中学数学教学参考》2001,(8)
本刊 2 0 0 0年第 6期 ,石世昌老师的《杨学枝一个不等式猜想的证明》一文中“不妨令ｂ ｃ =2 ,ａ =ｘ( 1≤ｘ <2 )” ,由于 1≤ｘ <2 ,不能包括所有满足原猜想条件的锐角三角形 ,故造成“证明”缺陷 .例如 ,设ａ =3 0 1 ,ｂ=3,ｃ=2 -3,则ａ >ｂ >ｃ,ｂ ｃ =2 ,ｂ2 ｃ2 -ａ2 =6 99-4 3>0 ,可见△ＡＢＣ为锐角三角形 .但文章只证明了当ａ =ｘ ,1≤ｘ <2时不等式 2 (ｘ -1 )≥ 2ｘ2 1 -4 -ｘ2 成立 ,而对ｘ≥ 2没有证明 .当ｘ =3 0 1时 ,2ｘ2 1 -4 -ｘ2-2 (ｘ -1 )≈ 7 0 2 -0 99-2 3 0 1 2 >0 1 9>0 ,所以 2 (ｘ -1 ) <2ｘ2 1 … 相似文献
9.
例 1 已知ｘ ,ｙ ,ｚ>0 ,证明 :ｚ2 -ｘ2ｘ + ｙ + ｘ2 -ｙ2ｙ +ｚ + ｙ2 -ｚ2ｚ +ｘ ≥ 0 .证明 设ｘ+ ｙ =ａ ,ｙ +ｚ=ｂ ,ｚ +ｘ=ｃ ,则ｚ-ｘ =ｂ-ａ ,ｘ -ｙ =ｃ-ｂ ,ｙ-ｚ=ａ -ｃ,ａ ,ｂ ,ｃ>0 .于是原式等价于ｂｃａ + ｃａｂ + ａｂｃ ≥ａ +ｂ+ｃ .由ｂｃａ + ｃａｂ ≥ 2ｃ等得证 .例 2 在 ＡＢＣ中 ,ａ +ｂ +ｃ=2ｓ ,ａ ,ｂ,ｃ为三边 ,则ａｂｃ≥ 8(ｓ-ａ) (ｓ -ｂ) (ｓ-ｃ) .证明 设ｓ -ａ =α ,ｓ-ｂ =β ,ｓ-ｃ =γ ,则α ,β ,γ >0 ,α+ β =ｃ,β +γ=ａ ,α +γ=ｂ.于是原式等价于(α + β) (β+γ) (γ +α)≥ 8αβ… 相似文献
10.
设椭圆Ｅ :ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1 (ａ >ｂ >0 )半焦距为ｃ,离心率ｅ为黄金数 5 -12 ,称此椭圆为“黄金椭圆”。它有很多优美的性质。性质 1 黄金椭圆的ａ、ｂ、ｃ成等比数列。证明 ∵ ｃａ =ｅ=5 -12 ,∴ ａ2 -ｂ2ａ2 =3 -52 ,∴ ｂ2ａ2 =5 -12=ｃａ , ∴ｂ2 =ａｃ ,故ａ、ｂ、 相似文献
11.
这道题有毛病 总被引：1，自引：0，他引：1
在高三复习中 ,我们在一本资料上看到如下一道“典型例题” .学习中 ,我们发现该题存在很大毛病 .以下谈谈我们的看法 .原题 :已知外接圆半径为 6的△ＡＢＣ的面积为Ｓ ,且Ｓ =ａ2 -(ｂ -ｃ) 2 (ａ、ｂ、ｃ分别为角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边 ) ,ｓｉｎＢ +ｓｉｎＣ =43 .求ｓｉｎＡ的值及Ｓ的最大值 .原解 :Ｓ =12 ｂｃｓｉｎＡ =ａ2 -(ｂ -ｃ) 2 =ａ2-ｂ2 -ｃ2 + 2ｂｃ=2ｂｃ-2ｂｃｃｏｓΑ ,∴ 12 ｓｉｎＡ =2 -2ｃｏｓＡ ,∴ 1 -ｃｏｓＡｓｉｎＡ =14 ,即ｔａｎ Ａ2 =14 ,∴ｓｉｎＡ =81 7.又ｓｉｎＢ +ｓｉｎＣ =43 ,即 ｂ2Ｒ+ ｃ2Ｒ=43 ,∴ｂ+… 相似文献
12.
曹海涛 《中学生数理化(高中版)》2003,(4):24-25
一、易变性 :三角函数和三角形中的有关知识相辅相承 ,将二者结合 ,能实现它们之间的相互转化 .例 1 在△ＡＢＣ中 ,Ｓ△ＡＢＣ =ｐ(ｐ -ａ) ( ｐ -ｂ) ( ｐ -ｃ) ,其中ａ、ｂ、ｃ分别为△ＡＢＣ的三边 ,ｐ =ａ +ｂ+ｃ2 ,试证明这个结论 .简证 :因Ｓ△ＡＢＣ=12 ａｂｓｉｎＣ ,故Ｓ2 △ＡＢＣ=14 ａ2 ｂ2 ｓｉｎ2 Ｃ .由余弦定理 ,ｃｏｓＣ =ａ2 +ｂ2 -ｃ22ａｂ ,∴ Ｓ2 △ＡＢＣ=14 ａ2 ｂ2 ( 1-ｃｏｓ2 Ｃ) =14 ａ2 ｂ2 1- ａ2 +ｂ2 -ｃ22ａｂ2=116 ( 2ａ2 ｂ2 + 2ａ2 ｃ2 + 2ｂ2 ｃ2 -ａ4-ｂ4-ｃ4) .而 ( ｐ( ｐ -ａ) (ｐ -ｂ) ( ｐ -… 相似文献
13.
知识链接 二次函数ｙ=ａｘ2 +ｂｘ +ｃ(ａ≠ 0 )的顶点坐标是- ｂ2ａ,4ａｃ-ｂ24ａ .所以 ,当ａ <0 ,ｘ =- ｂ2ａ时 ,二次函数有最大值ｙ =4ａｃ-ｂ24ａ ;当ａ >0 ,ｘ =- ｂ2ａ时 ,二次函数有最小值ｙ =4ａｃ-ｂ24ａ .例 1 用长 8ｍ的铝合金条制成如图 1形状的矩形窗框 ,使窗户的透光面积最大 ,那么这个最大透光面积是 ( ) .(Ａ) 6 42 5 ｍ2 (Ｂ) 43ｍ2 (Ｃ) 83ｍ2 (Ｄ) 4ｍ2(2 0 0 1年浙江省金华市中考题 ) 解 设窗户的宽为ｘｍ ,高为ｙｍ ,则 3ｘ+2ｙ=8.∴ ｙ =4- 32 ｘ .设透光面积为Ｓｍ2 ,则Ｓ =ｘｙ=ｘ 4- 32 ｘ … 相似文献
14.
灵活运用一元二次方程的根的判别式 ,可使许多看似与判别式无关的题目得到巧妙解答。请看下面三例 (例 1 ,例 2原题均选自《初中生辅导》2 0 0 1年第 7期《相反数性质的妙用》) :例 1 已ａ,ｂ ,ｃ为实数 ,且ｂ +ｃ=8,ｂｃ=ａ2 - 1 2ａ + 5 2。求ａ + 2ｂ +3ｃ的值。解 :由ｂ +ｃ =8,得ｂ =8-ｃ。代入ｂｃ =ａ2 - 1 2ａ + 5 2 ,得 :ａ2 - 1 2ａ + (ｃ2 - 8ｃ + 5 2 ) =0∵ａ是实数 ∴ ( - 1 2 ) 2 - 4(ｃ2 - 8ｃ+ 5 2 )≥ 0 ∴ｃ2 - 8ｃ+ 1 6≤ 0即 (ｃ- 4) 2 ≤ 0 ∴ｃ =4 ∴ｂ =8- 4=4把ｃ =4,ｂ =4代入ｂｃ =ａ2 - 1 2ａ + 5 2 ,得 :… 相似文献
15.
背景知识 二次函数ｙ=ａｘ2 +ｂｘ+ｃ(ａ≠ 0 )的顶点坐标是 -ｂ2ａ,4ａｃ-ｂ24ａ .这就是说 ,当ａ<0 ,ｘ =-ｂ2ａ时 ,二次函数有最大值ｙ =4ａｃ-ｂ24ａ ;当ａ>0 ,ｘ =-ｂ2ａ时 ,二次函数有最小值ｙ =4ａｃ-ｂ24ａ .图 1例 1 用长 8ｍ的铝合金条制作如图 1形状的矩形窗框 ,如果要使窗户的透光面积最大 ,那么这个窗户的最大透光面积是 ( ) .(Ａ) 6 42 5ｍ2 (Ｂ) 43ｍ2(Ｃ) 83ｍ2 (Ｄ) 4ｍ2(2 0 0 1年浙江省金华市、衢州市中考题 )解 设这个矩形窗框的宽为ｘｍ ,面积为ｙｍ2 ,则窗框的长度为 8-3ｘ2 ｍ .于是 ,有ｙ =ｘ 8-3ｘ2… 相似文献
16.
一、选择题 (本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 .在每个小题给出的四个选项中 ,只有一个符合题目要求 )1 已知集合Ａ={ｘ∈Ｒ｜ｍ≤ｘ≤ｍ2 }为空集 ,则实数ｍ的取值范围为 ( ) (Ａ) 0 ≤ｍ≤ 1 (Ｂ) 0 <ｍ ≤ 1 (Ｃ) 0 <ｍ <1 (Ｄ)ｍ =0或ｍ =12 在 ＡＢＣ中 ,ａ ,ｂ分别为内角Ａ ,Ｂ所对的边 ,则“ａ≠ｂ”是“ｓｉｎＡ≠ｓｉｎＢ”成立的 ( ) (Ａ)充分非必要条件 (Ｂ)必要非充分条件 (Ｃ)充要条件 (Ｄ)非充分非必要条件3 已知向量ａ,ｂ满足｜ａ+ｂ｜ =2 2 ,｜ａ｜=2 ,｜ｂ｜ =3,则｜ａ-ｂ｜=( ) (… 相似文献
17.
于小平 《中学数学教学参考》2000,(7):62-62,61
当笔者拜读了文 [1 ]后 ,认为文 [1 ]中余弦定理的发现过程“ａ2 =ｃ2 -ｂ2 构造平方和 ａ2 =ｃ2 ｂ2 -2ｂ2引入角Ａ ａ2 =ｃ2 ｂ2 -2ｂｃｃｏｓＡ”有本末倒置之嫌 .从历史上看 ,余弦定理是数学命题 (勾股定理 )推广的产物 .我们在推广勾股定理的过程中 ,没有理由将一个和谐 相似文献
18.
颜寅 《中学生数理化(高中版)》2003,(2):34-35
58 .问 :已知ｓｅｃα -ｔａｎα =5,求ｓｉｎα. (河南西平县高中一 ( 6 )班 颜 寅 )答 :ｓｅｃα-ｔａｎα=5=5·1=5(ｓｅｃ2 α -ｔａｎ2 α) =5(ｓｅｃα +ｔａｎα) (ｓｅｃα -ｔａｎα) .故ｓｅｃα +ｔａｎα =15.与已知式联立 ,则ｓｅｃα=135,ｔａｎα=- 125.ｓｉｎα =ｔａｎαｃｏｓα =- 1213.(解答 赵振华 )59.问 :若ａ、ｂ、ｃ均是不等于 0的常数 ,求函数ｙ =(ｘ +ａ) 2 +(ｘ +ｂ) 2 +(ｘ +ｃ) 2 的最值 . (浙江天台县平桥中学高三九班 许海燕 )答 :将原函数化为 ｙ =3ｘ2 +2 (ａ +ｂ +ｃ)ｘ +(ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ) .因 3>0 … 相似文献
19.
20.
日月生夕 《中学数学教学参考》2001,(8)
我是一名学数学教育的大学生 ,学习中有两点小小发现 ,可能不是新的 .1 一类数平方的算法设ａ =9… 9ｎ 1个ｍ ,ｍ >5为数码 ,则ａ2 =9… 9ｎ 1个ｂ 0… 0ｃｎ 2个,其中 1 0ｂ ｃ=ｍ2 .证明 :设ｍ ｄ =1 0 ,则ａ2 =( 1 0 ｎ 2 -ｄ) 2 =1 0 2ｎ 4 -2ｄ·1 0 ｎ 2 ｄ2 .又ｍ2 =( 1 0 -ｄ) 2 =1 0 0 -2 0ｄ ｄ2 =1 0ｂ ｃ, ｄ2 =ｃ,1 0 0 -2 0ｄ =1 0ｂ,ｂ =1 0 -2ｄ .∴ａ2 1 0 ｎ 2 ( 1 0 ｎ 2 -2ｄ) ｄ2 =9… 9ｎ 1个ｂ0… 0ｃｎ 2个.例如 ,9982 =996 0 0 4 ,9996 2 =9992 0 0 1 6 .2 关于平方数的倒排 .设ｔ… 相似文献