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全日制高中数学课本第一册,第106页例8:“化asinα bcosα为一个角的一个函数的形式”,是一个很重要的例题,它不但在数学中,而且在物理中有着相当广泛的应用。课本上的解答结论是,asinα bcosα=(a~2 b~2)~(1/2)sin(α φ)(其中φ由tgφ=b/a确定)。我们认为这个结论是不完善的。如sinα 3~(1/2)cosα=2sin(α φ)和-sinα-3~(1/2)cosα=2sin(α φ)都有tgφ=3~(1/2),但显然两式是不相等的。因此,仅由角的正切来确定asinα bcosα=(a~2 b~2)~(1/2)sin(α φ)中的φ势必出错,这在学生的作业中是常见 相似文献
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淡异如同志在《关于化 asinα+bcosα为一个函数的问题》一文中(以下简称《淡文》,见本刊82年第5期《教材讨论》专栏)认为:“部编教材(高中一册)中,化 asinα+bcosα为一个函数的结论:asinα+bcosα=(a~2+b~2)~(1/2)sin(α+(?))(其中(?)由 tg(?)=b/a 确定)”不妥.其理由是:“由 tg(?)=b/a 确定的(?)不是唯一的”,“其中有的(?)能使等式 asinα+bcosα=(a~2+b~2)~(1/2)sin(α+(?))成立,有的(?)则不能使上面等式成立”。并以“化-2~(1/2)/2sinα+2~(1/2)/2cosα 相似文献
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在六年制重点中学高中数学课本代数第一册上有这样一道例题,化asinα bcosα为一个角的三角函数形式,课本上最后解答是这样的: asinα bcosα=(a~2 b~2)~(1/2)sin(α φ)……(A)(其中φ角所在象限由a,b符号确定,φ角的值由tgφ=b/a确定) 因为角φ通常称为辅助角,故本文中把公式(A)称为辅助角公式,此公式在求值,证恒等式,不等式,求极值等方面均有十分广泛的应用,现举例如下。 [例一] 已知:a、b不同时为零,且 asinx bcosx=0 … (1) Asin2x Bcos2x=c … (2) 求证:2abA (b~2-a~2)B (a~2 b~2)c=0 证明:将(1)式变形为 (a~2 b~2)~(1/2)sin(x φ)=0 … (3) ∵ a,b不同时为零,由(3)得 sin(x φ)=0 相似文献
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性质 若 sinα与 cosα的一次齐次式asinα+ bcosα满足 asinα1 + bcosα1 =asinα2+ bcosα2 =0 (α1 ≠ kπ+α2 ,k∈ Z) ,则 asinα+bcosα恒等于零 .证明 由条件 asinα1 + bcosα1 =0 ,asinα2 + bcosα2 =0 ,∵α1 -α2 ≠ kπ( k∈ Z) ,∴ sinα1 cosα2 - cosα1 sinα2 =sin( α1 - α2 )≠ 0 ,∴上述关于 a,b的齐次线性方程组只有零解 a=b=0 ,∴ asinα+bcosα恒等于零 .利用上述性质 ,可以使一类三角函数式的求值、化简、证明问题 ,获得简明的解法 ,下面略举几例 ,以示说明 .例 1 求证 :sin( 5π6 - φ) + sin( 5π6 + φ) … 相似文献
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“数学教学通讯”85年第5期张山同志的文“一个公式的巧用”读后很受启发,公式(a b c)(a~2 b~2 c~2-ab-bc-ca)=a~3 b~3 c~3-3abc在解题中巧用之处不少。今就这个公式在三角恒等式的证明中巧用的一角补充几个例题,使该文更有说服力。例1.已知sinα sinβ sinγ=0, cosα cosβ cosγ=0 求证:(1)sin~3α sin~3β sin~3γ=3sinαsinβsinγ (2)cos~3α cos~3β cos~3γ=3cosαcosβcosγ证明:当a b c=0时,a~3 b~3 c~3=3abc令α=siaα,b=sinβ,c=sinγ,则sin~3α sin~3β sin~3γ=3sinαsinβsinγ。令a=cosα,b=cosβ,c=cosγ,则cos~3α cos~3β cos~3γ=3cosαcosβcosγ。利用例1的结论又得一题: 例2.已知:sinα sinβ sinγ=0, cosα cosβ cosγ=0 求证:(1)sin3α sin3β sin3γ 相似文献
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化asinα+bcosα为一个角的三角函数式,是高一代数中的重要内容之一。公式asinα+bcosα=(a~2+b~2)~(1/2)sin(α+φ),对于高一学生最棘手的是φ值的确定。笔者在近几年的教学中采用下面两种方法,化解了难点,学生便于接受,效果较好。方法一:由tgφ=b/a及a、b的符号确定φ的值。 相似文献
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《全日制普通高中教科书·数学》第一册(下)P39例5是一道关于三角函数的证明题:“求证cosα+3sinα=2sin(6π+α)”.这道例题看起来平淡无奇,但实质上内涵丰富,令人回味无穷.从证明方法上看,既可以从左向右证,也可以从右向左证,灵活多变.如果换一个角度思考,还可以将证得的结论进行引申推广,得到:“asinα+bcosα=a2+b2sin(α+),其中tan=ab,称为辅助角,它与点(a,b)同象限”.事实上,asinα+bcosα=a2+b2(aa2+b2sinα+a2b+b2cosα),令a2a+b2=cos,ba2+b2=sin,则asinα+bcosα=a2+b2(sinαcos+cosαsin)=a2+b2sin(α+),并且tan… 相似文献
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我们知道,若a~2 b~2≠0,函数y=asinθ bcosθ有最大值(a~2 b~2)~(1/2),最小值-(a~2 b~2)~(1/2)。下面举例说明这一结果的应用. 相似文献
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1 问题的提出2000年全国高考理科考试数学卷的第17小题是这样的:已知函数y=12cos2x 32sinxcosx 1,x∈R.()当函数y取得最大值时,求自变量x的集合;()该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?这道题主要考查了三角函数的图象及变换、二倍角公式、两角和与差的正弦公式及化简变形能力.从答卷情况看,主要的问题在于y=asinα bcosα的化简,下面我们就来谈谈这个公式.1.1 源于课本asinα bcosα=a2 b2sin(α φ)是一道课本例题的结果,反映了添置辅助角的思想,它把asinα bcosα化为一个正弦函数.一般地,对于y=asinα b… 相似文献
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尚宇林 《数理化学习(高中版)》2005,(20)
三角变换的一般技术颇多.本文就一些特殊条件下的特有变换技术,归纳如下.1.条件中有“sinα cosα=m”或要求“sinα cosα”,方法是平方。例设α∈(0,π),sinα cosα=7/13,求tanα的值.2.已知tanα,求asin2 bsinαcosα ccos2α的值,方法是将asin2α bsinαcosα ccos2α写成asin2α bsinαcosα ccons2α/sin2α cos2α,然后分子、分母 相似文献
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陈红旗 《中学数学研究(江西师大)》2006,(7):40-42
在一些参考资料上,经常可以看到这样一道三角题:题目:已知 sinα sinβ=2~(1/2)/2,求 cosα cosβ的取值范围.其解法为:设 cosα cosβ=x,则(sinα sinβ)~2 (cosα cosβ)~2=1/2 x~2,即2 2cos(α-β)=1/2 x~2,∴x~2=3/2 2cos(α-β).∵-1 相似文献
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解数学题,学生是多么期盼掌握一些“战无不胜”的技法。本文联用sin~2θ+cos~2θ=1与二维柯西不等式解题,其构思别致,变换灵巧,可谓学生所盼的“阳春白雪”。二维柯西不等式是:ac+bd≤(a~2+b~2)~(1/2)·(c~2+d~2)~(1/2),a、b、c、d∈R当且仅当a/c=b/d时,等式成立。(现行高中《代数》课本下册P.14)。一求值(或证明条件不等式) 例1 若α、β∈(0,π),且cosα+cosβ-cos(α+β)=3/2,求α、β。解:已知即为(1-cosα)cosβ+sinα·sinβ+cosα=3/2,于是:(cos~2β+sin~2;xx2)[1-cosα)~2+sin~α]≥[(1-cosα)cosβ+sinα·sinβ]~2=(3/2-cosα)~2即(2cosα-1)~2≤0,cosα=1/2,α=π/3,同理知β=π/3。(α、β∈(0,π)) 例2 已知msinθ-ncosθ=(m~2+n~2)~(1/2) (1)sin~2θ/α~2+cos~2θ/b~2=1/(m~2+n~2) (2) 相似文献
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一些三角问题转化为代数问题,运用韦达定理逆定理构造方程来解有时是很简便的。兹举例说明之。 [例1] 已知sinα·cosα=-(3~(1/2))/4,且(π/2)<α<3π/4,求sinα和cosα的值。解:∵(sinα+cosα)~2=sin~2α+cos~2α+2sinα cosα=1-(3~(1/2))/2,(又(π/2)<α<(3π/4)), ∴sinα+cosα>0。 相似文献
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构造法是数学中常用的也是重要的方法之一.本文将通过构造辅助方程求某些三角函数式的值,而这些三角函数的值都是不易直接求解的。例1 求sin18°的值. 解:设α=18°,那么3α=90°-2α,从而sin3α=cos2α,即 3sinα-4sin~3α=1-2sin~2α, 4sin~3α-2sin~2α-3sinα 1=O.这说明sin18°是方程4x~3-2x~2-3x 1=0的一个根. ∵ 4x~3-2x~2-3x 1=(x-1)(4x~2 2x -1). ∴原方程的根为1,(-1±5~(1/5))/4,于是sin18°=(-1 5~(1/5))/4. 例2 求 cosπ/7-cos2π/7 co3π/7的值。解:设α=π/7,并设原式为y,那么y=cosα cos3α cos5α,从而 相似文献
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1 y=asinθ＋bcosθ的极值应用
y=asinθ＋bcosθ=√a^2＋b^2sin（θ＋α）,其中tan α=b/a，所以,y的极值：ymin=-√a^2＋b^2sin 相似文献
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解析几何中的一个常见题“P是椭圆(x~2)/(a~2) (y~2)/(b~2)=1上一点,F_1、F_2是焦点,若∠F_1PF_2=α,求△PF_1F_2的面积”。下面给出二种解法. 解法一:S_△=1/2|PF_1|·|PF_2|sinα,|F_1F_2|~2=|PF_1|~2 |PF_2|~2-2|FF_1||PF_2|cosα=(|PF_1| |PF_2|)~2-2|PF_1|·|PF_2|-2|PF_1|·|PF_2|cosα=4a~2-2|PF_1|·|PF_2|(1 cosα)=4c~2, ∴|PF_1|·|PF_2|=(4a~2-4c~2)/(2(1 cosα))=(2b~2)/(1 cosα)。 相似文献