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三角形有许多重要的性质,而且应用相当广泛,本文介绍锐角三角形的一组有关面积的性质,并且用于解题。命题1 锐角三角形各项点与外心的连线的延长线交三角形外接圆于三点,这三点分别与三角形相邻的顶点构成三个三角形的面积之和等于原三角形的面积。 相似文献
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本文给出两个关于三角形边的命题 .命题 1 到三边不等的三角形三边距离之和最小的点是此三角形最大边所对顶点 .命题 2 到三角形三边距离的平方和最小的点是此三角形重心的等角共轭点 .注 :△ABC内两点D、E互为等角共轭点的充分必要条件是 ,∠DAB =∠EAC ,∠DBC=∠EBA ,∠DCA =∠ECB .先证明命题 1 .证明 :设△ABC内一点P到三边BC、AC、AB的距离分别为x、y、z,并设BC =a ,AC =b ,AB =c ,S△ABC=S .则有ax by cz=2S .①不妨设a >b >c,则2S =ax by cz≤ax ay az=a(x y z) .所以 ,x y z≥2Sa .上式等号成立的条… 相似文献
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利用三角形相似比证明的几何命题种类繁多,其中常见的一类是形如“线段积=线段积+线段积”的命题,这是一个难点。本文拟对此命题进行一些研究和探索。一、“线段积=线段积+线段积”命题的发现为解决这类命题,必须从命题的产生背境着手。第一、由两组相似三角形得出的命题。例1.在直径为AB的圆上有两点M、N, 相似文献
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在文 [1 ]中 ,已证明了如下命题 :定理 △ＡＢＣ各角顶点与对边三等分点的连线中 ,相邻两条分别交于Ｐ、Ｑ、Ｒ ,则△ＰＱＲ∽△ＡＢＣ且相似比为 1∶5。我们都知道优美的莫莱定理 :三角形相邻的三等角分线的交点是正三角形的三个顶点。如果说莫莱定理是从三角形角的角度出发的 ,那么上述命题是从三角形边的角度出发的 ,因此 ,这一命题极具特色。本文给出这个命题的推广 ,即如下定理 :推广定理 △ＡＢＣ各角顶点与对边ｎ等分点的连线中 ,相邻两条等分线分别交于Ｐ、Ｑ、Ｒ三点 ,则△ＰＱＲ∽△ＡＢＣ ,且相似比为 (ｎ -2 )∶( 2ｎ -1 ) (… 相似文献
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Ｆｅｒｍａｔ，或是三角形的一个有趣的几何点。本文给出点与三角形三顶点距离和的两个命题及一个Ｆｅｒｍａｔ点的结论，进而推出其一系列有趣的性质。 相似文献
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邱进南 《福建教育学院学报》2002,(9)
希布隆(Heilbron)型问题的研究成果屡见报道,杨之老师在文中列为WhC64: 平面上给定n个点,其中任三点可构成一个三角形,有一个最大面积与最小面积的比为μ_n,求μ_n的最小值。 (本文将面积最大三角形记为△ABC,面积为单位面积,面积最小三角形记为△XYZ,面积为S,μn的下确界记为infμn。李文志得到infμ_4=1,infμ_5=5~(1/2)+1/2,infμ_8=3。本文将进一步证明: 命题1:infμ_6=3 命题2:infμ_7=3 命题1证明: Ⅰ当不共线六点的凸包是t边形,3≤t≤5,由凸t边形内至少有一点P,又过凸t边形一顶点有(t-2)个三角形覆盖凸t边形,所以点P在其中一个△DEF内(△DEF可 相似文献
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<正>向量与三角形的内、外角平分线,有如下几个重要命题.命题1设ΔABC的角A的内角平分线为AP,则点P在AP上的充要条件是存在非负 相似文献
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多年来。我教学“三角形的中位线”一节的做法是:(1) 引导学生在三角形的两边分别取中点,然后连结两中点得出线段,引入三角形中位线的定义。(2) 指导学生通过度量、观察抽象概括出三角形中位线的命题,然后进行推理论证得出定理。这样安排,学生由中点、线段这两个小概念形成三角形的中位线这个新概念,感性基础强,因而 相似文献
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题目 设点I、H分别为锐角△ABC的内心和垂心 ,点B1 、C1 分别为边AC、AB的中点 .已知射线B1 I交边AB于点B2 (B2 ≠B) ,射线C1 I交AC的延长线于点C2 ,B2 C2与BC相交于K ,A1 为△BHC的外心 .试证 :A、I、A1 三点共线的充分必要条件是△BKB2和△CKC2 的面积相等 .1 试题的背景此题是以下面两个命题为背景改造而来的 .命题 1 三角形的两顶点与其内心、外心、垂心中的两心四点共圆的充分必要条件是另一顶点处的内角为 60° .证明 :当三心有两心重合 ,或三角形为直角三角形时 ,结论显然成立 .下面讨论三心两两不重合且三角形… 相似文献
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文[1]给出了ΔABC 特殊点(外心、内心、重心)与三角形三个顶点 A、B、C 所构成的三个小三角形的外接圆半径与ΔABC 外接圆半径之间的若干不等式,本文补充给出三角形的勃罗卡点、费马点的几个类似不等式,供参考.命题1 设 F 为ΔABC(最大内角小于120°)的费马点,ΔBFC、△CFA、△AFB 及ΔABC 的外接圆半径分别为 R_1、R_2、R_3、R,则 相似文献
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命题 1 [1] 平面上给定n(n >3)个点 ,其中任何三点不共线 .任意地用线段连结某些点 (这些线段称为边 ) ,得到x条边 .若确保图形中出现以给定点为顶点的三角形 ,求证 :x≥n(n - 1 ) (n - 2 ) 33(n - 2 ) .笔者认为 ,x≥n(n - 1 ) (n - 2 ) 33(n - 2 ) 是充分不必要条件 ,并发现如下命题 .命题 2 平面上给定n(n≥3)个点 ,其中任何三点不共线 .任意地用线段连结某些点 (这些线段称为边 ) ,得到x条边 .图形中出现以给定点为顶点的三角形的充要条件是x≥ n2 n - n2 1 ,其中 ,[x]表示不超过x的最大整数 .证明 :设平面上给定的n个点分别为… 相似文献
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命题 已知等腰△ABC中,AB=AC,∠C的平分线与边BA相交于点P,M为△ABC的内切圆(◎)I与边BC的切点,作MD//AC,交(◎)I于点D.证明PD是(◎)I的切线.
这是2010年全国初中数学竞赛题的一道几何题[1].该命题展示了三角形的圆内切一个有趣的几何性质,诱人思考的是,在三角形的旁切圆中是否有此性质呢?经笔者深入探讨,回答是肯定的. 相似文献
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对于三角形,下面的结论是熟知的[1]: 命题1 平分三角形的周长和面积的直线必经过三角形的内心. 这一性质可以推广到任意的圆外切多边形中[1]: 命题2 平分圆外切多边形的周长和面积的直线必经过三角形的内心. 本文拟将这一性质作进一步推广,证明关于圆外切闭折线的一个性质. 约定 符号121nAAAADL表示闭折线12AA 1nAAL的有向面积[2],ABCD表示△ABC的有向面积. 定理 设闭折线121nAAAAL有内切圆⊙(,),,IrMN分别是边12AA、1kkAA (1,kn相似文献
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李刚 《南京晓庄学院学报》1997,(4)
三角形是最常见的几何图形,它们内心、外心、垂心和重心一些通常性质是大家所熟知的,本文通过对一些命题的证明,推证出这“四心”的另一类性质——是某些问题的极值点.命题1:如图1,已知P是△ABC内任意点,PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC 相似文献
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关于勃罗卡点的两个命题 总被引：1，自引：0，他引：1
本文介绍与勃罗卡点相关的三角形、双圆四边形中的两个命题. 命题1 设P是△ABC的勃罗卡点(如图),△BPC、△CPQ、△APB的内切圆半径和面积分别为r_a、r_b、r_c,△_a、△_b、△_c,△ABC的内切圆半径和面积为r、 相似文献
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本文试图通过一个具体案例来介绍在学生学完“直线方程”和“不等式”的有关知识后,笔者是如何通过一个数学命题的推广进行研究性教学设计的。 1.教师准备的原问题 已知:如图1,直角AOB内有一定点P,过点P的直线与角的两边围成一个三角形,求此三角形面积的最小值。 相似文献