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1.
下面这道问题是美国第三届数学奥林匹克竞赛(1974年)中的一道题目: 在下图所示的△ABC和△PQR中,诸线段长如图所示,且在△ABC中,∠ADB=∠BDC=∠CDA=120°。试证:x=u v w。 相似文献
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第 3届国际中学生数学竞赛有一个几何题是这样叙述的 :设 a,b,c为△ ABC的三边之长 ,S为面积 .求证 :a2 b2 c2≥ 43 S,当且仅当 a =b=c取“=”.这就是著名的 Weisenbock不等式 .本文运用等周定理和幂平均不等式来推广Weisenbock不等式 .命题 1 设△ ABC三边之长分别为 a,b 相似文献
3.
第三届(1961年)国际数学竞赛试题中有一个题目:在△ABC中,a~2 b~2 c~2≥4(3~(1/2))△,等号仅当a=b=c时成立,a,b,c为△ABC的三边.本文将给出一个证明,然后用这个方法推广这个命题.先证明两个引理引理1 △≤1/3(3~(1/2))S~2,等号仅当等边三角形时成立.S表示三角形周长之半.证明1 因为周长一定时,以等边三角形面积为最大,所以周长为2S的三角形中以每边长2S/3的三角形面积为最大. 相似文献
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刘健 《河北理科教学研究》2013,(3)
1919年,R.Weitzenbǒck[1]给出了下述三角形不等式:△ABC的三个边长与面积分别为a,b,c和△,则有a2+b2+c2≥4√3△,(1)等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.
在1961年举行的国际数学竞赛中,不等式(1)被选为赛题.从此这一不等式广为人知,并被称为Weitzenbǒck不等式. 相似文献
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江苏省第八届初中数学竞赛第五题是:已知△ABC 和△ACE 都是直角三角形,且∠ABD=∠ACE=90°.如图(a),连结 DE,设 M 为 DE 中点.(1)求证:MB=MC;(2)设∠BAD=∠CAE,固定 Rt△ABD,让 Rt△ACE 绕顶点 A 在平 相似文献
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第二十九届国际奥林匹克数学竞赛中有这样一道题:(3)当A>900时,2R万石. VS一T 在直角三角形ABC中,AD是斜边上的高,连接△ABD与△ACD的内心的真线,分别与边AB及Ac交于L、K两点,△ABC与△通KL的面积分别记为S、T,求证:S)ZT。 我国选手何宏宇同学给出了一个精彩的证明,简述如下。 证设△ADC户△ADB的内心分别为M、N, ,.’△ADBco△CDA,DN、DM是过D点的两条分角线(即两条对应线段), (ZR为△ABC外接圆直径) 证(1)的结论在原题证明中已经得出。 (2)如图,作A尸土AB交BC的延长线于P,交DN的延长线于Q,则匕DA尸的平分线与D… 相似文献
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在初中数学竞赛中,曾出现过以下一类试题,解这类题目,学生比较困难。本文利用轴对称知识,给出这类试题的统一解法。 [试题1] P是等边△ABC内一点,PC=3,PA=4,PB=5,则△ABC的边长等于____。(浙江第二届初中数学竞赛决赛试题) 解:分别以△ABC的三边为对称轴作P点的对称点P_1,P_2,P_3,并分别连结各相邻顶点(如图1)于是P_1B=P_2B=PB=5,∠P_1BA=∠PBA,∠P_2BC=∠PBC。又因△ABC为等边三角形,∠ABC=60°,则∠P_1BP_2=120°。连结P_1P_2,在等腰△P_1BP_2中, 相似文献
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第42届国际数学奥林匹克的试题1是一道纯几何试题,文[2]给出了一个思路精巧的纯几何证明,本文给出这道题的三角解法。试题1 设锐角△ABC的外心为O,从A作AC的高,垂足为P,且 相似文献
9.
李再湘 《湖南城市学院学报》1987,(5)
第三届国际奥林匹克数学竞赛中有这样一道题:设a、b、c是三角形的三条边长,△是这个三角形的面积,求证: a~2+b~2+c~2≥4(3)~(1/2)△ (1)并说明等号何时成立? 不等式(1)就是著名的Weitzenboeck不等式,它的证明有几十种,这里给出一种最简捷的证法。 相似文献
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第35届国际数学奥林匹克竞赛的第2题是一道几何题: △ABC是一个等腰三角形,AB=AC。假如(i) M是BC的中点,O是直线AM上的点,使得OB垂直于AB;(ii)Q是线段BC上不同于B和C的一个任意点;(iii)E在直线AB上,F在直线AC上,使得E、Q、F是不同的点且共直线。 相似文献
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对第26届国际数学奥林匹克试题的第五题,给出一个比较简捷的证明. 题目△ABC中,一个以O为圆心的圆经过顶点A及C,又和线段AB及线段BC分别交于K及N,K与N不同.且△ABC和△BKN的外接圆恰相交于B和另一点M.求证:∠BMO=90° 相似文献
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为了给第28届国际数学竞赛作准备,1987年元月12日至16日在北京大学举行了第二届中学生数学冬令营。两个上午的竞赛是这一届冬令营最重要的活动。试题如下: 第一天(1987.1.13,8:00—12:30) 一、设n为自然数。求证方程 z~(n+1)-z~n-1=0有模为1的复根的充分必要条件是n+2可被6整除。二、把边长为1的正三角形 ABC的各边都n等分,过各分点作平行于具他两边的 相似文献
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定理 设D是△ABC的边BC中点,则S_△ABD=S_△ACD。这是中线的一个性质,本文巧用这一性质解两道竞赛。 例1 (81年芜湖市竞赛题)如图1,AA′,BB′,CC′是△ABC的外接圆直径,试证:S_△ABC=S_△ABC′ S_△BCA′ S_△CAB′。 相似文献
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自八三年举办至今的六届AIME(美国数学邀请赛)竞赛中,曾多次出现三角形内的比例线段问题。现摘录如下: 例1 (第二届 AIME 3题,1984) 在△ABC内部取一点P,过P作三条分别与△ABC的三边平行的直线,这样所得的三个三角形 相似文献
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第45届国际奥林匹克数学竞赛(IMO)于2004年7月14-18日在希腊首都雅典举行,我国选手取得了举世瞩目的好成绩,一共6名选手全部夺得金牌. 试题第一题是:已知在锐角三角形ABC中,AB≠AC,以BC为直径的圆分别交AB、AC于M、N点,记BC的中点为O,∠BAC的平分线和∠MON的平分线交点R,求证:△BMR的外接圆和△CNR的外接圆有一个交点在边BC上. 本文给出该题的三种证法如下: 相似文献
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一、问题如图(1),△ABC 的∠A=45°,∠B=30° D在AB上,直线DE将△ABC分成面积相等的两块(注:这图可能不确切;E也许是在CB上,而不是在AC上)。则比AD/AB是( )。 (A)1/2~(1/2); (B)2/(2+2~(1/2)); (C)1/3~(1/2); (D)1/6~(1/3); (E)1/(12)~(1/4)。(第38届美国中学数学竞赛试题第30题)。 相似文献
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自从1980年国际数学奥林匹克委员会成立以来,各国的数学家和数学教学专家为国际数学竞赛设置了一批试题,这些试题都有较深刻和广阔的背景。对这些试题的探究,有利于发掘它们蕴含的规律;有利于提高数学的基本素质和解题技巧;培养人们的探索精神、创造毅力;把数学思维引向深化。 1)把图形的形状由特殊推广到一般例1 设P是△ABC内一点,求证∠PAB、∠PBC、∠PCA至少有一个小于或等于30°。 (第32届IMO试题) 相似文献
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196 1年 ,在匈牙利举行的第三届国际数学竞赛中 ,有一道由波兰命题的三角形不等式证明题 :已知三角形的边长分别为 a,b,c,面积为 S,证明 :a2 +b2 +c2≥ 4 3S,(1)并求出在什么条件下等号成立 .这就是著名的魏琴伯克 (Weitzenbock)不等式 (1919年 ) ,等号成立的条件是此三角形为正三角形 .后来 ,Finsler(1937年 )又将它加强成2 bc+2 ca+2 ab- a2 - b2 - c2 ≥ 4 3S.(2 )本文将 (1)左式缩小 ,建立如下的定理 :在△ABC中 ,如上所设 ,有2 ab+c2 ≥ 4 3S,(3)等号当且仅当△ ABC为正三角形时成立 .根据三角形面积的不同的表达形式 ,下面给出几… 相似文献
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2001年江苏省第十五届初中数学竞赛第二试初二第17题为:如图1,△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°D是AC上一点,AE⊥BD交BD的延长线于E,且AE=1/2BD,求证:BD是∠ABC的角平分线. 相似文献
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第 45届国际奥林匹克数学竞赛 (IMO)于 2 0 0 4年 7月 14— 18日在希腊首都雅典举行 ,我国选手取得了举世瞩目的好成绩 ,一共6名选手全部夺得金牌 .试题第一题是 :已知在锐角三角形ABC中 ,AB ≠AC ,以BC为直径的圆分别交AB、AC于M、N点 ,记BC的中点为O ,∠BAC的平分线和∠MON的平分线交点R ,求证 :△BMR的外接圆和△CNR的外接圆有一个交点在边BC上 .本文给出该题的三种证法如下 :图 1证法 1 如图 1,连结RM ,RN ,MN ,BR ,CR .因为OM=ON ,OR平分∠MON ,所以△OMR≌△ONR ,所以RM =RN ,因为AR平分∠BAC ,所以线段… 相似文献