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1.
本文给出圆锥曲线弦的中点坐标与该弦的垂直平分线的截距之间的关系 ,并举例说明它的应用 .定理 设圆锥曲线中与坐标轴不平行的弦Ｐ1Ｐ2 的中点为Ｍ (ｘ0 ,ｙ0 ) ,该弦的垂直平分线ｌ与ｘ轴的横截距为ａ ,与 ｙ轴的纵截距为ｂ .(1)对于椭圆或双曲线 ｘ2Ａ + ｙ2Ｂ =1 (Ａ >0 ,Ｂ >0或ＡＢ <0 ) ,有 ａ=Ａ-ＢＡ ｘ0 , ｂ=Ｂ-ＡＢ ｙ0 ;(2 ) 对于抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ (ｐ ≠ 0 ) ,有 ａ=ｘ0 + ｐ , ｂ=ｙ0ｐ(ｘ0 + ｐ) ;(3)对于抛物线ｘ2 =2 ｐｙ (ｐ≠ 0 ) ,有 ａ=ｘ0ｐ(ｙ0 + ｐ) , ｂ =ｙ0 + ｐ .证明 (1) 设Ｐ1(ｘ1… 相似文献
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一、选择题 (本大题共 1 0小题 ,每小题 3分 ,满分 3 0分 )1 .已知全集Ｕ ={ａ ,ｂ,ｃ,ｄ ,ｅ} ,集合Ａ ={ｂ ,ｃ,ｅ}则 ＣＵＡ =( ) (Ａ) {ａ ,ｂ} (Ｂ) {ａ ,ｃ} (Ｃ) {ａ,ｄ} (Ｄ) {ａ,ｅ}2 .已知函数 ｆ(ｘ) =ａｘ4-ｂｘ2 ,且 ｆ( -1 ) =1 ,则 ｆ( 1 ) =( ) (Ａ) 1 (Ｂ) -1 (Ｃ) 2 (Ｄ) -23 .若命题“┒ｐ”是真命题 ,命题“ｐ或 ｑ”是假命题 ,那么 ( ) (Ａ)命题 ｐ和命题 ｑ都是真命题 (Ｂ)命题 ｐ是真命题而命题 ｑ是假命题 (Ｃ)命题 ｐ是假命题而命题 ｑ是真命题 (Ｄ)命题… 相似文献
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1 圆锥曲线焦点弦的长度取值范围定理 1 椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1 (ａ >ｂ >0 )的离心率ｅ=ｃａ ,ｐ为焦点到相应准线的距离 ,ｐ =ｂ2ｃ .设椭圆焦点弦ＡＢ的长度为ｄ ,则ｄ∈ 2ｅｐ ,2ｅｐ1-ｅ2 ,即ｄ∈2ｂ2ａ ,2ａ .证明 以椭圆的左焦点为极点 ,建立极坐标系 ,椭圆的极坐标方程为 ρ =ｅｐ1-ｅｃｏｓθ.不妨设ＡＢ为过左焦点的弦 ,Ａ( ρ1,θ) ,Ｂ( ρ2 ,π θ) ,θ∈〔0 ,π) ,则 |ＡＢ|=ρ1 ρ2 =ｅｐ1-ｅｃｏｓθ ｅｐ1-ｅｃｏｓ(π θ)=2ｅｐ1-ｅ2 ｃｏｓ2 θ.当ｃｏｓθ=0 ,即θ =π2 时 ,|ＡＢ|ｍｉｎ=2ｅｐ =2ｂ2ａ ;当ｃｏ… 相似文献
4.
二维柯西不等式 :设ａ、ｂ、ｃ、ｄ∈Ｒ ,则有(ａ2 ｂ2 ) (ｃ2 ｄ2 )≥ (ａｃ ｂｄ) 2 .当且仅当 ａｃ =ｂｄ 时 ,不等式取等号 .1 推证几个重要结论命题 1 椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1与直线Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0有公共点的充要条件是Ａ2 ａ2 Ｂ2 ｂ2 ≥Ｃ2 .证明 由柯西不等式得(Ａｘ Ｂｙ) 2 =Ａａ· ｘａ Ｂｂ· ｙｂ2≤Ａ2 ａ2 Ｂ2 ｂ2 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 .若 (ｘ0 ,ｙ0 )是已知椭圆和直线的公共点 ,则满足ｘ20ａ2 ｙ20ｂ2 =1、Ａｘ0 Ｂｙ0 Ｃ =0 ,则上述不等式左边为Ｃ2 ,右边为Ａ2 ａ2 Ｂ2 ｂ2 ,充分性得证 .若 (ｘ ,ｙ)是直线上… 相似文献
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邵剑波 《中学数学教学参考》2000,(6)
有的文献证明了对任何ｘ∈Ｒ,ｆ(ｘ)>0.本文获得定理 设ｘ∈Ｒ,则ｆ(ｘ)=ｘ4 ｘ2 ｘ 1在ｘ=ｘ0=-14 3-564 56144 3-564-56144=-060582958…处,取得最小值ｆ(ｘ0)=516[(ｘ0 1)2 2]=067355322…此定理可用微分法证明,同时得知ｘ0是方程ｆ’(ｘ)=0的惟一实根.下面用不等式(Ａ2 Ｂ2)(1 ａ2)≥(Ａ ａＢ)2(=|ａＡ=Ｂ)来证明.对ｆ(ｘ)进行”双配方”,应用该不等式,有ｆ(ｘ)=(ｘ2 12ｘ)2 34(ｘ 23)2 23=(ｘ2 12ｘ)2 (32ｘ 33)2 23≥11 ａ2[ｘ2 (12 32ａ)ｘ 33ａ]2 23.设3ａ=ｂ,13<ｂ<3,则ｘ2 (12 ｂ2)ｘ ｂ3≥14[4ｂ3-(12 ｂ2)2]=(3ｂ-1)(3-ｂ)48>0… 相似文献
6.
蒋祝权 《中学数学教学参考》2001,(6)
定理 设四边形ＡＢＣＤ的边为ａ、ｂ、ｃ、ｄ ,外接圆半径为Ｒ ,则Ｒ =(ａｂ ｃｄ) (ａｃ ｂｄ) (ａｄ ｂｃ)4 ｐａｐｂｐｃｐｄ,其中 ｐ为半周长 ,ｐａ=ｐ -ａ ,等等 .证明 :如图 ,用余弦定理 ,得ｃｏｓＡ =ａ2 ｄ2 -ｘ22ａｄ ,ｃｏｓＣ =ｂ2 ｃ2 -ｘ22ｂｃ .应用ｃｏｓＡ ｃｏｓＣ =0 ,记ｋ1=(ａｂ ｃｄ) (ａｃ ｂｄ) ,ｋ2 =ａｄ ｂｃ,则解得ｘ2 =ｋ1ｋ2.应用三角形外接圆半径公式 ,得Ｒ△ＢＣＤ=ｘｂｃ4 ｐ′ｐｘ′ｐｂ′ｐｃ′ ( ｐ′=12 (ｘ ｂ ｃ) ,ｐｘ′=ｐ′ -ｘ ,等等 ) ,则有Ｒ2 =Ｒ△ＢＣＤ2 =ｘ2 ｂ2 ｃ21 6ｐ′… 相似文献
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一、选择题 (本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 .在每个小题给出的四个选项中 ,只有一个符合题目要求 )1 已知集合Ａ={ｘ∈Ｒ｜ｍ≤ｘ≤ｍ2 }为空集 ,则实数ｍ的取值范围为 ( ) (Ａ) 0 ≤ｍ≤ 1 (Ｂ) 0 <ｍ ≤ 1 (Ｃ) 0 <ｍ <1 (Ｄ)ｍ =0或ｍ =12 在 ＡＢＣ中 ,ａ ,ｂ分别为内角Ａ ,Ｂ所对的边 ,则“ａ≠ｂ”是“ｓｉｎＡ≠ｓｉｎＢ”成立的 ( ) (Ａ)充分非必要条件 (Ｂ)必要非充分条件 (Ｃ)充要条件 (Ｄ)非充分非必要条件3 已知向量ａ,ｂ满足｜ａ+ｂ｜ =2 2 ,｜ａ｜=2 ,｜ｂ｜ =3,则｜ａ-ｂ｜=( ) (… 相似文献
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擂台题 (5 4 ) :证明或否定若ａ、ｂ、ｃ为△ＡＢＣ的三边长 ,实数λ≥ 2 ,则(ｂ+ｃ-ａ) λｂλ+ｃλ +(ｃ+ａ -ｂ) λｃλ+ａλ +(ａ +ｂ -ｃ) λａλ+ｂλ ≥ 32①引理 若ｍ、ｎ∈Ｒ+ ,实数 ｐ≥ 1 ,则(ｍ +ｎ2 ) ｐ≤ ｍｐ+ｎｐ2 ②证明 (1 )当 ｐ =1时 ,②式等号成立 ,(2 )当 ｐ >1时 ,令 ｆ(ｘ) =ｘｐ(ｘ >0 ) ,这时 ,ｆ′(ｘ) =ｐｘｐ- 1,ｆ″(ｘ) =ｐ(ｐ -1 )ｘｐ - 2 >0 ,所以 ｆ(ｘ)是 (0 ,+∞ )上的凹函数。因为ｍ、ｎ∈Ｒ+ ,由琴生不等式知ｆ(ｍ +ｎ2 )≤ ｆ(ｍ) +ｆ(ｎ)2 ,即有 (ｍ +ｎ2 ) ｐ≤ ｍｐ+ｎｐ2 ,当且仅当ｍ =ｎ… 相似文献
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定理 设Ｐ是△ＡＢＣ平面一动点 ,ＢＣ=ａ ,ＣＡ =ｂ ,ＡＢ =ｃ.则有ＰＡａ ＰＢｂ ＰＣｃ ≥ ∑ａ2∑ｂ2 ｃ2 . ( 1 )为证式 ( 1 ) ,先给出两个引理 .引理 1 [1] 设ｘ、ｙ、ｚ∈Ｒ .在△ＡＢＣ中 ,有(ｘ ｙ ｚ) (ｘＰＡ2 ｙＰＢ2 ｚＰＣ2 )≥ａ2 ｙｚ ｂ2 ｚｘ ｃ2 ｘｙ . ( 2 )引理 2 [2 ] 在△ＡＢＣ中 ,有ＰＢ·ＰＣｂｃ ＰＣ·ＰＡｃａ ＰＡ·ＰＢａｂ ≥ 1 . ( 3 )式 ( 2 )即著名的Ｋｌａｍｋｉｎ不等式 ,式 ( 3 )是我们熟知的Ｈａｙａｓｈｉ不等式 .定理证明 :在式 ( 2 )中 ,令ｘ =1ａ2 ,ｙ =1ｂ2 ,ｚ =1ｃ2 ,得 Ｐ… 相似文献
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焦点弦长公式的几种形式及其应用 总被引：1，自引：1，他引：0
圆锥曲线的焦点弦是解析几何教学的一个重点和难点,也是各类考试的热点问题,解题中有着广泛的应用.但解答这类问题,一般演算繁长且易出差错.为此,本文利用直线的参数方程推导出不同形式的焦点弦长公式,可以在不同的题设条件下使用,简便快捷,学生兴趣盎然,课堂效果好,现说明如下.命题1 ＡＢ是过抛物线ｙ2=2ｐｘ(ｐ>0)或椭圆ｂ2ｘ2 ａ2ｙ2=ａ2ｂ2(ａ>ｂ>0)或双曲线ｂ2ｘ2-ａ2ｙ2=ａ2ｂ2(ａ>0,ｂ>0)的焦点Ｆ的弦,椭圆和双曲线的半焦距为ｃ.若ＡＢ的倾斜角为α,则(1) |ＡＢ|抛物线=2ｐｓｉｎ2α;(2) |ＡＢ|椭圆=2ａｂ2ｂ2 ｃ2ｓｉｎ2α;(3) … 相似文献
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1999年第 5期《数学教学研究》刊登了袁良佐老师“双曲线中点弦性质的应用”和王景斌老师“抛物线弦的中点问题”两篇文章 ,读后颇有启发 .本文给出椭圆中点弦的一个性质 ,并举例说明它的应用 .性质 设Ａ、Ｂ是椭圆ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >0 ,ｂ >0 )上两点 ,Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是弦ＡＢ的中点 ,则有ｋＡＢ·ｋＯＰ=- ｂ2ａ2 .证明 设Ａ(ｘ1 ,ｙ1 ) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 )是椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2= 1上两点 ,则有ｘ21 ａ2 ｙ21 ｂ2 =1, ｘ22ａ2 ｙ22ｂ2 =1,两式相减 ,得 ｘ21 -ｘ22ａ2 ｙ21 - ｙ22ｂ2 =0 ,即 (ｘ1 ｘ2 ) (ｘ1 -ｘ2 )ａ2 … 相似文献
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1 联系实际法就是将所给问题与实际联系起来考虑 ,抓住题目中的关键词语 (不为有些“不用条件”所迷惑 )寻找等量关系 ,打开突破口。例 1 某人按ａ元 /件还要优惠 2 5 %的价格进货 ,定销价时 ,想在优惠 2 0 %的名义下 ,获毛收入的 2 5 %的利润。那么利润总额 ｙ与货物件数ｘ间的关系式是 ( )(Ａ) ｙ=ａ4 ｘ (ｘ∈Ｎ) (Ｂ) ｙ =ａ3ｘ (ｘ∈Ｎ)(Ｃ) ｙ=ａ1 2 ｘ (ｘ∈Ｎ) (Ｄ) ｙ=3ａ1 3ｘ (ｘ∈Ｎ)解 设每件利润为ｂ ,则每件的毛收入为 :0 75ａ ｂ。由题意得 ( 0 75ａ ｂ) 2 5 % =ｂ ,∴ｂ =14 ａ ,∴ ｙ =ａ4 ｘ (ｘ∈Ｎ)。… 相似文献
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一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若Ｍ和Ｎ都是非空集合,且Ｍ≠Ｎ,则ａ∈Ｍ∩Ｎ是ａ∈Ｍ∪Ｎ的( ).Ａ.充分但非必要条件 Ｂ.必要但非充分条件Ｃ.充要条件Ｄ.既非充分又非必要条件2.已知0<ａ<ｂ<1,那么下列不等式中不成立的是( ).Ａ.13ａ>13ｂ Ｂ.ｃｏｓａ>ｃｏｓｂ Ｃ.ｓｉｎａ>ｓｉｎｂ Ｄ.ｌｏｇ3ａ<ｌｏｇ3ｂ3.若集合Ｐ={ｘ|0≤ｘ≤4},Ｑ={ｙ|0≤ｙ≤2},则下列对应中,不是从Ｐ到Ｑ的映射的是( ).Ａ.ｙ=12ｘ Ｂ.ｙ=13ｘ Ｃ.ｙ=18ｘ Ｄ.ｙ… 相似文献
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夏锦府 《中学生数理化(高中版)》2003,(2):8-9
一、忽视向量夹角范围例 1 若向量ａ =(ｘ ,2ｘ) ,ｂ =( - 3ｘ ,2 ) ,且ａ ,ｂ的夹角为钝角 ,求ｘ的取值范围 .错解 :因ａ ,ｂ的夹角为钝角 ,故ａ·ｂ <0 .即 - 3ｘ2 +4ｘ <0 ,ｘ <0或ｘ >43.故ｘ的取值范围为 ( -∞ ,0 )∪43,+∞ .辨析 :向量ａ ,ｂ的夹角θ的取值范围为 [0 ,π] ,当ａ·ｂ <0时 ,π2 <θ≤π .而已知θ为钝角 ,故θ≠π ,即ｃｏｓθ =ａ·ｂ|ａ||ｂ|≠ - 1,解得ｘ≠ - 13,故ｘ的取值范围为-∞ ,- 13∪ - 13,0∪ 43,+∞ .例 2 设正三角形ＡＢＣ的边长为 1,ＡＢ =ｃ,ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ ,求ａ·ｂ +ｂ·ｃ+ｃ·ａ的值 .错… 相似文献
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选择题1 下列各式 :( 1) 2 0 0 1 {ｘ|ｘ≤ 2 0 0 3};( 2 ) 2 0 0 3∈ {ｘ|ｘ <2 0 0 3};( 3) {2 0 0 3} {ｘ|ｘ≤ 20 0 3};( 4)Φ∈ {ｘ|ｘ <2 0 0 3},其中正确式子的个数为 ( )Ａ 1 Ｂ 2 Ｃ 3 Ｄ 42 满足ｆ(π +ｘ) =- ｆ(ｘ) ,ｆ( -ｘ) =ｆ(ｘ)的函数 ｆ(ｘ)可能是 ( )Ａ ｓｉｎｘ Ｂ ｓｉｎ ｘ2 Ｃ ｃｏｓ2ｘ Ｄ ｃｏｓｘ3 若函数 ｆ(ｘ) =ａｘ(ａ >0 ,ａ≠ 1)为减函数 ,那么 ｇ(ｘ) =ｌｏｇ1ａ1ｘ - 1的图象是 ( )Ａ ＢＣ Ｄ4 如果ａ·ｂ =ａ·ｃ且ａ≠ 0 ,那么 ( )Ａ ｂ =… 相似文献
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在△ＡＢＣ中,角Ａ、Ｂ、Ｃ所对的边分别为ａ、ｂ、ｃ,其内切圆半径为ｒ,现设ａ＝ｘ＋ｙ,ｂ＝ｚ＋ｘ,ｃ＝ｙ＋ｚ,则ｘ、ｙ、ｚ的几何意义如图１所示．显然有ｘ＝ｒｃｔｇＣ２,ｙ＝ｒｃｔｇＢ２,ｚ＝ｒｃｔｇＡ２．（Ⅰ）又半周长ｐ＝１２（ａ＋ｂ＋ｃ）＝ｘ＋ｙ＋... 相似文献
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贵刊在文 [1]中给出了“在约束条件Ａｘ2 Ｂｘｙ Ｃｙ2 =Ｍ下 ,求函数ω=Ａｘ2 Ｄｘｙ Ｃｙ2 (Ａ ,Ｃ ,Ｍ∈Ｒ ,Ｂ ,Ｄ ∈Ｒ)的最值”这类问题的简易求法 ,读罢颇有收益 .笔者在教学实践中也对此问题作过一些探讨 ,发现了解决它的一种新方法 ,在此方法中主要用到如下两个结论 :(1)ａ2 ｂ2 ≥ 2 ｜ａｂ｜[2 ] (ａ ,ｂ∈Ｒ) .(2 ) ｜ｆ(ｘ)｜≤ｇ(ｘ) -ｇ(ｘ) ≤ｆ(ｘ)≤ｇ(ｘ) [ｆ(ｘ) ｇ(ｘ) ]· [ｆ(ｘ) -ｇ(ｘ) ]≤ 0 .下面就以文 [1]中的例 1—例 3为例具体说明这种解法 .例 1 (1993年全国高中联赛题 )已知ｘ、ｙ∈Ｒ ,且 4ｘ2 -… 相似文献
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高中数学第三册第一章《概率与统计》有一自然段这样叙述 :容易证明 ,Ｄ(ａζ +ｂ) =ａ2 Ｄζ .如果 ζ～Ｂ(ｎ ,ｐ) ,那么Ｄζ=ｎｐｑ ,这里ｑ=1-ｐ .笔者认为 ,对于初学者来说 ,证明上述“容易证明”的两个命题 ,实属不易 .我们不妨试证如下 :设离散型随机变量 ζ所有可能取的值是ｘ1 ,ｘ2 ,… ,ｘｎ,… ,且取这些值的概率分别是ｐ1 ,ｐ2 ,… ,ｐｎ,… .则ａζ +ｂ所有可能的取值是ａｘ1 +ｂ ,ａｘ2 +ｂ ,… ,ａｘｎ +ｂ ,… ,它们所对应的概率仍依次为ｐ1 ,ｐ2 ,… ,ｐｎ,… .并且Ｅ(ａζ+ｂ) =ａＥζ+ｂ .所以 ,Ｄ(ａζ+ｂ) =∑Ｎｋ =1[… 相似文献
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文 [1 ]的结尾提到 :对于调和平方根平均数ＨＲ(ａ、ｂ、ｃ) =3ａ2 ｂ2 ｃ2ａ2 ｂ2 ｂ2 ｃ2 ｃ2 ａ2 (ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ ) ,“则不能给出简单的几何解释”。本文将给出这个三维调和平方根平均数的一个几何解释。先证下面的命题。命题 如图 1 ,设长方体ＡＢＣＤ -Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1的棱长ＡＡ1=ａ ,ＡＢ =ｂ ,ＡＤ =ｃ,则长方体对角面Ａ1ＢＣ1的面积为Ｓ =12 ａ2 ｂ2 ｂ2 ｃ2 ｃ2 ａ2 。证明 ∵Ａ1Ｂ2 =ａ2 ｂ2 ,Ａ1Ｃ12 =ｂ2 ｃ2 ,ＢＣ12 =ｃ2 ａ2 ,∴ｃｏｓ∠Ａ1Ｃ1Ｂ =ｂ2 ｃ2 ｃ2 ａ2 -ａ2 -ｂ22 (ａ2 ｃ2 ) (ｂ2 ｃ2 ) =ｃ2(ａ2 … 相似文献
20.
曹海涛 《中学生数理化(高中版)》2003,(4):24-25
一、易变性 :三角函数和三角形中的有关知识相辅相承 ,将二者结合 ,能实现它们之间的相互转化 .例 1 在△ＡＢＣ中 ,Ｓ△ＡＢＣ =ｐ(ｐ -ａ) ( ｐ -ｂ) ( ｐ -ｃ) ,其中ａ、ｂ、ｃ分别为△ＡＢＣ的三边 ,ｐ =ａ +ｂ+ｃ2 ,试证明这个结论 .简证 :因Ｓ△ＡＢＣ=12 ａｂｓｉｎＣ ,故Ｓ2 △ＡＢＣ=14 ａ2 ｂ2 ｓｉｎ2 Ｃ .由余弦定理 ,ｃｏｓＣ =ａ2 +ｂ2 -ｃ22ａｂ ,∴ Ｓ2 △ＡＢＣ=14 ａ2 ｂ2 ( 1-ｃｏｓ2 Ｃ) =14 ａ2 ｂ2 1- ａ2 +ｂ2 -ｃ22ａｂ2=116 ( 2ａ2 ｂ2 + 2ａ2 ｃ2 + 2ｂ2 ｃ2 -ａ4-ｂ4-ｃ4) .而 ( ｐ( ｐ -ａ) (ｐ -ｂ) ( ｐ -… 相似文献