再论由一组相切的圆的半径而引出的一组数列     

石灿金 《凯里学院学报》1997,(Z1)

笔者曾在《黔东南民族师专学报》(自然版)1996年第1 ,2期合刊上论证了由·O,(?)P_1,(?)P_2围成的区域中,从(?)P_1起顺次相切的圆的半径构成一组数列.为下面讨论方便。设(?)O的半径为1,则(?)P_1,(?)P_2的半径均为1/2,那么上面那组数列是:1/2,1/3,1/6,1/(11),…,通项是:1/(n~2+2)=0,1,2,…).现在问题是在这组两丙相切的圆中,还有没有其他一些圆的半径也构成数列?回答是肯定的.如图:由(?)O,(?)O_1,(?)P_2围成的区域中,从(?)P_2起顺次相切的圆的半径也构成一组数列:1/2,1/6,1/(14),1/(26),…,其通项为1/(2n~2+2n+2)(n=0,1,2,…)读者可以仿文[1]的方法给出证明.现在证明由(?)O,(?)O_1,(?)P所围成的区域中,(?)O_1起顺次相切的圆的半径所组成的数列.设这组圆的圆心分别为O_1,O_2,O_3,…,O_n,(?)O_1OP=α_1,(?)O_2OP=α_2,(?)O_3OP=α_3,…,(?)O_nOP=α_n,先计算(?)O_2的半径,设(?)O_2的半径为x,由余弦定理,得  相似文献   

直线方程（D1—D2）x＋（E1—E2）y＋F1—F2=0的几何意义     

朱保仓 《数学教学通讯》2001,(5):20-21

已知圆 O_1:x~2 y~2 D_1x E_1y F_1=O 和圆 O_2:x~2 y~2 D_2x E_2y F_2=0.本文就圆 O_1与 O_2在相交、相切和相离的不同位置关系时分别说明方程:(1)(D_1-D_2)x (E_1-E_2)y F_1-F_2=0的几何意义.命题1 如果圆 O_1与圆 O_2相交于 A、B 两点,则方程(1)表示经过 A、B 两点的直线(即  相似文献   

一道几何例题的开发     

曹华 《中学教研》1990,(9)

现行初中几何第二册p124上有这样一道例题,如图1,⊙O_1和⊙O_2外切于点A,BC是⊙O_1和⊙O_2的公切线,B、C为切点。求证:AB⊥AC。此题貌似平常,但只要我们对其作深入的发掘,便能得出一系列有趣的结果,这对于激发学生的学习兴趣,培养学生的能力是极为有益的。首先我们给出三个有别于教材的简单证明。证法一:如图2,连结O_1O_2,O_1B,O_2C因为BC是两圆的公切线,所以O_1B⊥BC,  相似文献   

五等分分角器     

赵生筱 《师范教育》1992,(Z1)

笔者设计了一种简易的五等分分角器,现介绍如下: 用透明硬塑料板剪出如图一所示的两部件。其中O_1和O_2是两相等半圆的圆心,AB与BC分别是两半圆的直径。D是线段O_3 E的中点,且O_3 E=AB=BC。在O_1、B、O_2、O_3、D五处穿一小孔,然后用大头针将这两部件的小孔O_2、O_3穿在一起,  相似文献   

利用根轴的性质解一道IMO预选题     

李建泉 《中等数学》1996,(4)

第35届IMO预选题几何部分第15题为: 一圆O切于两条平行直线l_1和l_2;第二个圆O_1切l_1于A,外切圆O于C;第三个圆O_2切l_2于B,外切圆O于D,外切圆O_1于E,AD交BC于Q。求证:Q是△CDE的外心。  相似文献   

几何题中的直径应用例说     

华明忠 《中学教与学》1999,(1)

圆的直径具有许多重要的性质,巧妙地应用这些性质,可使很多问题简捷获解。 1.应用“直径所对的圆周角是直角” 例1 如图1,AB为⊙O_1与⊙O_2的公共弦,经过点B的直线和两圆分别相交于点C和D,AM、AN分别是⊙O_1与⊙O_2的直径. (1)求证:△AMC∽△AND; (2)设AC:AD=3:2,AM AN=12,分别求两圆的直径.  相似文献   

一幅简单图形的丰富内涵     

杨建臣  张中轩 《数学教师》1996,(12)

在图1中,⊙O_1与⊙O_2外切于点P,AB为其外公切线(一侧的),切点为A、B,PT为两圆的内公切线,P是切点,PT与AB交于T点(连结AP和BP)。 这样一张简单图形,包含了十分  相似文献   

巧用中线长定理解题   总被引：1，自引：0，他引：1  

张竞琎 《中等数学》1997,(6)

中线长定理又称Apollonius定理,关于此定理的一些基本应用可见1995年《中等数学》第1期,现再举一例: 直线上有四个点A、B、C、D,AB:BC:CD=2:1:3,分别以AC、BD为直径作⊙O_1、⊙O_2,两圆  相似文献   

两圆外切的一个性质及应用     

李红  杨明杰 《数学教学通讯》1999,(4)

定理⊙O_1和⊙O_2外切于 P,其直径分别为 d_1、d_2。若 P_1、P_2为两圆外公切线的切点,则切线长是这两圆直径的比例中项,即 P_1P_2=d_1d_2~(1/2).证明:如图1,连结  相似文献   

第五届全国中学生数学冬令营竞赛试题及解答     

黄玉民 《中等数学》1990,(2)

一、如图,在凸四边形ABCD中,AB与CD不平行.圆O_1过A,B且与边CD相切于P,圆O_2过C,D且与边AB相切于Q,圆O_1与圆O_2相交于E,F.求证:EF平分线段PQ的充分必要条件是BC∥AD.  相似文献   

对一个最小值问题的探讨     

《中学数学杂志》2016,(6)

<正>1问题如图1,在一条河流的同旁有两个圆形区域,现在要在河边选一点P,从这点分别向两个圆形区域修路,但要求所修的路笔直且都要和圆形区域的外围擦边而过.如何选取P点才能使两条路的长度之和最小呢?上面的问题可以抽象成如下的数学问题:如图2,在直线l的一侧有圆O_1和圆O_2,在直线l上取一点P,从P点分别作两个圆的切线PA和PB,A和B为切点,如  相似文献   

一道平几例题在解题教学中的作用     

张小寅 《中学数学月刊》1998,(12)

九年义务教育新教材《几何》第三册第44页有这样一道例题:已知,⊙O_1和⊙O_2外切于点A,BC是⊙O_1和⊙O_2的公切线,B,C为切点。求证:AB⊥AC。这是一道直线与圆及圆与圆的位置关系的综合题,目的是复习与巩固上述位置关系的知识点。近年来,许多中考题就是由此题演变而成的。笔者认为,教师在课堂教学中抓住这种典型问  相似文献   

浅谈平几中证四点共圆的方法     

蔡宗奎 《中学教研》1989,(4)

平面几何中利用四点共圆可解决一些类型的证明题。比如证明角相等,线段相等,两直线平行或垂直等。因而四点共圆问题在初三圆这一章中占据着相当重要的地位,现根据本人教学中的粗浅体会,把平几中证四点共圆的方法整理归纳如下: 方法一:定义法若四点到一定点的距离都等于定长,则这四点共圆。例1 已知:⊙O_1、⊙O_2、⊙O_3、⊙O_4都经过A、B,在BA的延长线上任取一点P,过点P分别作⊙O_1、⊙O_2、⊙O_3、⊙O_4的切线,切点分别为C、D、E、F(如图一)求证:C、D、E、F四点共圆。证明:∵⊙O_1、⊙O_2、⊙O_3、⊙O_4都经过点A、B,PC、PD、PE、PF分别与⊙O_1、  相似文献   

数学思维在知识衔接点闪光——一节高三复习课的意外生成     

汤香花 《福建中学数学》2015,(2):22-23

在数学学习中,往往会碰到知识的衔接点,如果课堂教学时能"慢半拍",或许就会发现学生的思维在闪光.1背景在高三复习中,椭圆是解析几何的重点内容,为了让学生掌握好基础知识,有必要回归教材.人民教育出版社出版的数学选修2-1第41页安排了下列两个例题:例1如图1,在圆2 2x?y?4上任取一点P,过点P作x轴的垂线PD,D为垂足,当点P在圆上运  相似文献   

一题多用的例题教学     

朱亚邦 《中学教研》1992,(11)

如何进行数学例题教学,仍是当前数学课堂教学中急待解决的问题.日前中学数学教学中题海战术现象在某些地方仍十分突出,为克服此现象和大力提高课堂教学质量,必须加强和改进数学例题教学。下面结合个人的教学实践谈谈数学例题的教学应注意的几个方面: 一、适当变形对数学例题的教学不仅仅要注意解决后面的一两个问题,而且要根据具体题目的条件适当变形还可以得到哪些结论,引导学生去思考,去解决。例1 已知:⊙O_1与⊙O_2外切于A,外公切线各切两圆于B、C,连AB、AC。  相似文献   

例题与联想     

朱亚邦 《时代数学学习》1997,(2)

初中《几何》第三册第144页例题,给我们展示了一个广阔的联想空间。学会联想,善于联想,对于数学的学习无疑能起到举一反三、触类旁通的作用。例题如图,⊙O_1、和⊙O_2外切于点A,BC是⊙O_1和⊙O_2的公切线,B、C为切点。求证:AB⊥AC。简证过点A作两圆的内公切线交BC于D。易证: BD=AD=DC ∴∠BAC=90°,即AB⊥AC。  相似文献   

填充题漏解分析     

曹剑清 《时代数学学习》1994,(5)

初中几何第七章中,有些填充题由于思考问题不全面,往往会出现漏解. 例1 O_1和O_2的半径分别为2cm和4cm。当连心线O_1O_2的长度在(大于6cm)范围内取值时,两圆无公共点.  相似文献   

从一道初中课本习题到研究生入学试题     

刘少举 《数学教学》1992,(6)

初中几何课本第一册复习参考题四第十五题是: 在已知锐角△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG。求证:(1)BG=CE;(2)BG⊥CE。(证明略) 另一个常见题是: 在已知锐角△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG。O_1与O_2分别是这两个正方形的中心,M是BC边的中点。求证:(1)Q_1M=O_2M;(2)O_1M⊥O_2M。  相似文献   

由一组相切的圆的半径而引出的一组数列     

石灿金 《凯里学院学报》1996,(Z1)

“已知如图各圆两两相切,⊙O的半径为2R,⊙O_1,⊙O_2的半径为R,注⊙O的半径。”这道题是义务教育三年制初中教科书《几何》(第三册)(人教版)第152页的第5题。为以下讨论方便,我们设⊙O的半径为R,则四⊙O_1,⊙O_2的半径为r/2号;并设⊙O _3的半径为r_3,则由图中可知:(R/2)~2+(R-R_3)~2=(R/2+R_3)~2,解得:R_2=R/3(因为OO_3⊥O_1O_2)。 现在我们对这道题进一步研究,能否求出与⊙O、⊙O_1、⊙O_3都相切的⊙O_4的半径?回答是肯定的。设⊙O_4的半径为r_4,并设∠O_1OO_4=a,如图,则∠O_3OO_4=90°-a,由余弦定理得:  相似文献   

浅谈辅助面法解立体几何题     

李光忠 《数学教学通讯》1989,(2)

用辅助面的方法解立体几何问题是一种重要的解题方法,它能将分散的条件集中,使隐蔽的关系明显,抽象的问题县体化。它能变复杂为简单,化高维为低维。现将它的主要作用例说如下: 一、抓本质特征,突出内在联系。适当地作辅助平面,把原题中表面现象、次要因素摈弃,把主要的本质的关系暴露出来或将分散的条件集中起来,易于发现规律找出解决问题的途径。 [例1] 六个相等的圆O_1、O_2、O_3、O_4、O_5、与⊙O,在半径为1的球面上。圆O与其余5个圆相切  相似文献