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1 题目与解法研究2 0 0 1年高考题 19(文 2 0 )题 :设抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ(ｐ>0 )的焦点为Ｆ ,经过点Ｆ的直线交抛物线于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在抛物线的准线上 ,且ＢＣ∥ｘ轴 ,证明直线ＡＣ经过原过Ｏ . 图 1证 1 如图 1,记ｘ轴与抛物线准线ｌ的交点为Ｅ ,过Ａ作ＡＤ⊥ｌ,Ｄ是垂足 ,于是有ＡＤ ∥ＥＦ∥ＢＣ .连结ＡＣ与ＥＦ相交于点Ｎ ,则｜ＥＮ｜｜ＡＤ｜ =｜ＣＮ｜｜ＡＣ｜ =｜ＢＦ｜｜ＡＢ｜,｜ＮＦ｜｜ＢＣ｜ =｜ＡＦ｜｜ＡＢ｜.根据抛物线的几何性质有｜ＡＦ｜=｜ＡＤ｜ ,｜ＢＦ｜=｜ＢＣ｜ ,所以｜ＥＮ｜=｜ＡＤ｜·｜ＢＦ｜… 相似文献
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题目 双曲线 ｘ29-ｙ21 6 =1的两个焦点为Ｆ1 、Ｆ2 ,点Ｐ在双曲线上 .若ＰＦ1 ⊥ＰＦ2 ,则点Ｐ到ｘ轴的距离是 .这是一道典型的与焦点三角形有关问题 .焦点三角形是指以椭圆 (或双曲线 )的焦距Ｆ1 Ｆ2 为底边 ,顶点Ｐ在椭圆 (或双曲线 )上的三角形 .分析 本题与 2 0 0 0年高考第1 4题类似 ,有多种思路 .设点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,则 ｜ｙ0 ｜就是点Ｐ到ｘ轴的距离 ,故只需求出点Ｐ的纵坐标即可 (如图 1 ) .解法 1 焦半径法在双曲线中 ,ａ=3,ｂ =4,ｃ=5.依焦半径公式知｜ＰＦ1 ｜=53ｘ0 3,｜ＰＦ2 ｜=53ｘ0 -3,由勾股定理 ,得｜ＰＦ1 ｜2 … 相似文献
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性质 1 不过圆锥曲线焦点Ｆ的直线ｌ1和圆锥曲线及Ｆ的相应准线ｌ2 分别相交于Ａ、Ｂ、Ｃ三点 ,则ＣＦ平分∠ＡＦＢ或其外角 .证明 如图 1、图 2 ,分别过点Ａ ,Ｂ作准线ｌ2 的垂线 ,垂足为Ａ′、Ｂ′ . 图 1 图 2由圆锥曲线的统一定义知｜ＢＦ｜｜ＢＢ′｜ =｜ＡＦ｜｜ＡＡ′｜ =ｅ ,从而｜ＢＦ｜｜ＡＦ｜ =｜ＢＢ′｜｜ＡＡ′｜ =｜ＢＣ｜｜ＡＣ｜.( 1)当ｌ1与双曲线的两支都相交时 ,依三角形内角平分线的逆定理知ＣＦ平分∠ＡＦＢ ;( 2 )其余情形 ,据三角形外角平分线的逆定理知ＣＦ平分∠ＡＦＢ的外角 .性质 2 过… 相似文献
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20 0 1年高考试题第 1 4题 :双曲线 ｘ29-ｙ21 6 =1的两个焦点为Ｆ1 、Ｆ2 ,点Ｐ在双曲线上 ,若ＰＦ1 ⊥ＰＦ2 ,则点Ｐ到ｘ轴的距离为 .这道题是一道基础题 ,容易得到答案为1 65.如果我们适当改变原题的条件 ,结果将会怎样呢 ?将双曲线的分母字母化 ,得 :思考题 1 双曲线ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1 (ａ>0 ,ｂ >0 )的两个焦点为Ｆ1 、Ｆ2 ,点Ｐ在双曲线上 ,若ＰＦ1 ⊥ＰＦ2 ,则点Ｐ到ｘ轴的距离为 .解 设 ｜ＰＦ1 ｜=ｒ1 ,｜ＰＦ2 ｜=ｒ2 ,｜Ｆ1 Ｆ2 ｜ =2ｃ,由双曲线定义及勾股定理 ,得｜ｒ1 -ｒ2 ｜=2ａ ,ｒ21 ｒ22 =(2ｃ) 2 .∴ｒ1 ｒ2 =ｒ21 … 相似文献
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1 两个结论通过对圆锥曲线的研究 ,笔者发现椭圆、双曲线有如下性质 .定理 1 设Ｆ1,Ｆ2 是椭圆的两个焦点 ,ＰＱ是椭圆过Ｆ2 的焦点弦 (ＰＱ不过Ｆ1) ,则三角形ＰＦ1Ｑ的旁切圆恒与边ＰＱ相切于焦点Ｆ2 (如图 1)证明 如图 1,设圆Ｏ与△ＰＦ1Ｑ三边ＰＱ、 图 1ＰＦ1、Ｆ1Ｑ或其延长线分别相切于点Ｆ′2 、Ｒ、Ｓ ,则由圆的切线性质有｜ＰＦ′2 ｜=｜ＰＲ｜ ,｜ＱＦ′2 ｜ =｜ＱＳ｜ ,｜Ｆ1Ｒ｜=｜Ｆ1Ｓ｜ .于是｜ＰＦ1｜ ｜ＰＦ′2 ｜=｜Ｆ1Ｒ｜ ,｜ＱＦ1｜ ｜ＱＦ′2 ｜ =｜Ｆ1Ｓ｜,∴｜ＰＦ1｜ ｜ＰＦ′2 ｜=｜ＱＦ1｜ ｜Ｑ… 相似文献
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一、设凸四边形ＡＢＣＤ的两组对边所在的直线分别交于Ｅ、Ｆ两点 ,两对角线的交点为Ｐ ,过Ｐ作ＰＯ⊥ＥＦ于Ｏ .求证 :∠ＢＯＣ =∠ＡＯＤ .图 1解 :如图 1,只需证明ＯＰ既是∠ＡＯＣ的平分线 ,也是∠ＤＯＢ的平分线即可 .不妨设ＡＣ交ＥＦ于Ｑ ,考虑△ＡＥＣ和点Ｆ ,由塞瓦定理可得ＥＢＢＡ·ＡＱＱＣ·ＣＤＤＥ=1.① 再考虑△ＡＥＣ与截线ＢＰＤ ,由梅涅劳斯定理有ＥＤＤＣ·ＣＰＰＡ·ＡＢＢＥ=1.② 比较①、②两式可得ＡＰＡＱ=ＰＣＱＣ.③过Ｐ作ＥＦ的平行线分别交ＯＡ、ＯＣ于Ｉ、Ｊ ,则有ＰＩＱＯ=ＡＰＡＱ,ＪＰＱＯ=ＰＣＱＣ… 相似文献
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一道高考题的推广 总被引：1，自引：0，他引：1
20 0 1年全国高考数学试题 (广东、河南卷 )第 2 1题“已知椭圆 ｘ22 ｙ2 =1的右准线ｌ与ｘ轴交于点Ｅ ,过椭圆右焦点Ｆ的直线与椭圆相交于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在右准线ｌ上 ,且ＢＣ∥ｘ轴。求证直线ＡＣ经过线段ＥＦ的中点。”参考答案是这样证明的 :设ｅ是椭圆的离心率 ,如图 ,记直线ＡＣ与ｘ轴的交点为Ｎ ,过Ａ作ＡＤ⊥ｌ,Ｄ是垂足。因Ｆ是椭圆右焦点 ,ｌ是右准线 ,ＢＣ∥ｘ轴 ,即ＢＣ⊥ｌ,根据椭圆几何性质 ,得 :|ＡＦ||ＡＤ|=|ＢＦ||ＢＣ|=ｅ。∵ＡＤ∥ＦＥ∥ＢＣ ,∴|ＥＮ||ＡＤ|=|ＣＮ||ＣＡ|=|ＢＦ||ＡＢ|,|ＦＮ||ＢＣ|=|ＡＦ||ＡＢ|,… 相似文献
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20 0 2年安徽省初中升学统一考试有如下一道选择题 :如图 1 ,在矩形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ=3 ,ＡＤ =4,Ｐ是ＡＤ上的动点 ,ＰＥ⊥ＡＣ于Ｅ ,ＰＦ⊥ＢＤ于Ｆ,则ＰＥ ＰＦ的值为 ( )Ａ .1 25 Ｂ .2 Ｃ .52 Ｄ .1 35该动点题出得灵巧 ,虽以选择题出现 ,但其解题的思维空间十分广阔 ,是培养和考查学生思维能力的一道好题 .本文现提供四种不同的解法 ,供读者参考 .1 特殊法(1 )如图 1 ,令动点Ｐ与Ａ重合 ,则有ＰＥ =0 ,ＰＥ ＰＦ =ＰＦ ,因为ＡＢ =3 ,ＡＤ =4,所以ＢＤ =ＡＢ2 ＡＤ2 =5 ,而Ｓ△ＡＢＤ =12 ＡＢ·ＡＤ =12 ＢＤ·ＰＦ… 相似文献
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圆锥曲线定义是学习圆锥曲线的基础 ,对于掌握圆锥曲线的性质与方程都有举足轻重的作用 .常常是考试的热点 ,因此 ,下面对其重要应用作一些分析 .1 求三角形面积与周长例 1 已知双曲线的实轴长 2a ,AB是过左焦点F1且只与左支双曲线相交的弦 .｜AB｜ =m ,F2 为双曲线的右焦点 ,则△ABF2 的周长是 ( ) .(A) 4a +m (B) 4a+2m(C) 4a-m (D) 4a - 2m解析 由双曲线第一定义得 ,｜AF2 ｜-｜AF1｜ =2a ,｜BF2 ｜-｜BF1｜ =2a .两式相加得 ,｜AF2 ｜+｜BF2 ｜ - ｜AB｜=4a ,｜AF2 ｜+｜BF2 ｜ =4a+2m .所以△ABF2 周长为… 相似文献
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在有关双曲线的许多问题中 ,诸如求动点轨迹方程、求距离等 ,利用双曲线的定义 ,既方便又快捷 .但是 ,如果盲目应用 ,又会出现错误 ,本文仅举一例说明 ,以引起足够重视 .例 已知点Ｐ是双曲线ｘ24-ｙ29=1上一点 ,Ｆ1 、Ｆ2 是它的左、右焦点 ,且 ｜ＰＦ1 ｜ =5,求｜ＰＦ2 ｜ .错解 由双曲线方程 ｘ24-ｙ29=1 ,知ａ2 =4,ｂ2 =9,ｃ =ａ2 +ｂ2 =1 3 .由双曲线定义可知｜｜ＰＦ2 ｜-｜ＰＦ1 ｜｜=2ａ .∴｜ＰＦ2 ｜=｜ＰＦ1 ｜± 2ａ=5± 4,∴ ｜ＰＦ2 ｜=9或｜ＰＦ2 ｜=1 .错解剖析 错解的原因在于忽视了题设条件｜ＰＦ1 ｜=5.实际上 ,条件 … 相似文献
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文 [1]揭示了圆锥曲线离心率ｅ的几何性质 ,读文联想 ,发现圆锥曲线的顶点也有一个美妙的几何特征 .定理 1 设Ｐ是椭圆上 (除长轴端点 )任意一点 ,Ｆ1、Ｆ2 是椭圆的两个焦点 ,则△ＰＦ1Ｆ2 的与焦半径相切的旁切圆切长轴于相应的顶点 . 图 1证明 如图 1,设△ＰＦ1Ｆ2 的旁切圆⊙Ｉ切焦半径ＰＦ1于点Ｑ ,切另一焦半径Ｆ2 Ｐ的延长线于点Ｍ ,与长轴Ａ1Ａ2 所在直线切于点Ｎ .根据椭圆的定义和圆的切线长定理 ,得2 ｜ＮＦ1｜ =｜ＮＦ1｜ ｜Ｆ2 Ｑ｜=(｜ＮＦ2 ｜-｜Ｆ1Ｆ2 ｜) (｜ＰＦ1｜-｜ＰＱ｜)=｜ＭＦ2 ｜- ｜ＭＰ｜ ｜ＰＦ1… 相似文献
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解梯形及有关问题时 ,往往需要作一些辅助线 ,把梯形问题转化为平行四边形 (或矩形、正方形 )和三角形问题来解决 .常用的转化思路有以下几种 .一、平移对角线转化平移一对角线 ,把两对角线与两底边的和转移到一个三角形中 .图 1例 1 已知 :如图1,在等腰△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,点Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＣ的中点 ,ＣＥ⊥ＢＦ于点Ｏ .求证 :(1)四边形ＥＦＣＢ是等腰梯形 ;(2 )ＥＦ2 +ＢＣ2 =2ＢＥ2 .(2 0 0 1年广东省深圳市中考题 )证明 (1)略 .(2 )过Ｅ作ＥＧ∥ＦＢ交ＣＢ的延长线于点Ｇ ,作ＥＤ⊥ＢＣ于点Ｄ ,则ＥＧＢＦ是平行四边形 .… 相似文献
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陶维林 《中学数学教学参考》2000,(10)
20 0 0年高考第 2 2题是一道平面解析几何题 :如图 1,已知梯形ＡＢＣＤ中 ,|ＡＢ|=2 |ＣＤ|,点Ｅ分有向线段ＡＣ所成的比为λ ,双曲线过Ｃ、Ｄ、Ｅ三点 ,且以Ａ、Ｂ为焦点 .当 23 ≤λ≤34 时 ,求双曲线离心率ｅ的取值范围 .这里介绍用《几何画板》来探究这道题的过程 ,并谈一点想法 .1.首先是作出双曲线 ,找出点Ｅ( 1)如图 2 ,在ｘ轴上取一点Ｂ ,作线段ＯＢ的垂直平分线 .( 2 )在ＯＢ的中垂线上取一点Ｃ .作Ｂ、Ｃ关于 ｙ轴的对称点 ,得到点Ａ、Ｄ .( 3)连结ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ ,用直线连结ＡＣ .( 4 )以Ｃ为圆心、ＣＢ为半径画圆 ,交直线Ａ… 相似文献
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20 0 1年广东省高考数学第 2 1题 :已知椭圆 :ｘ22 ｙ2 =1的右准线ｌ与ｘ轴相交于点Ｅ ,过椭圆右焦点Ｆ的直线与椭圆相交于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在右准线上且ＢＣ ∥ｘ轴 ,求证 :直线ＡＣ经过线段ＥＦ的中点 .此题对一般性结论仍成立 ,还可以拓广到其它圆锥曲线 .拓广 1 已知椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1的右准线ｌ与ｘ轴相交于点Ｅ ,过椭圆右焦点Ｆ的直线与椭圆相交于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在右准线上且ＢＣ∥ｘ轴 ,求证 :直线ＡＣ经过线段ＥＦ的中点 (ａ >ｂ>0 ) . 图 1证明 如图 1,记直线ＡＣ与ｘ轴的交点为Ｎ ,过Ａ作ＡＤ⊥ｌ,Ｄ是垂足 .… 相似文献
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义务教材 (人教版 )《几何》第二册 193页 18题 :已知 :ＡＤ是△ＡＢＣ的中线 ,Ｅ是ＡＤ的中点 ,Ｆ是ＢＥ的延长线与ＡＣ的交点 .求证 :ＡＦ =12 ＦＣ .这是一道看似平常 ,却回味无穷的问题 ,在教与学中可从不同角度探究其解法 .简证 1 过Ｄ作ＤＧ∥ＢＦ交ＡＣ于Ｇ点 ,(如图1) ,则 ＣＤＤＢ=ＣＧＧＦ,ＡＥＥＤ =ＡＦＦＧ,结合ＡＥ =ＥＤ ,ＢＤ =ＤＣ ,可证得ＡＦ =12 ＦＣ .图 1 图 2 简证 2 过Ｄ作ＤＧ∥ＡＣ交ＢＦ于Ｇ(如图2 ) ,则 ＢＤＢＣ=ＧＤＦＣ,ＡＥＥＤ=ＡＦＧＤ,结合ＡＥ =ＥＤ ,ＢＤ =ＤＣ ,可证得ＡＦ =1… 相似文献
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本文介绍双曲线的两条垂直弦的一个有趣性质．运用该性质解决双曲线的焦点弦问题,不但思路直捷,解法明快,而且大大减少运算量,能明显提高解题速度．定理 设ＡＢ是经过双曲线ｂ２ｘ２－ａ２ｙ２＝ａ２ｂ２（ａ＞０,ｂ＞０）焦点的任一弦,若过双曲线中心Ｏ的半弦ＯＰ⊥ＡＢ（｜ｋＡＢ｜＞ｍａｘｂａ,ａｂ）,则有２ａ｜ＡＢ｜－１｜ＯＰ｜２＝１ｂ２－１ａ２（＊） 证明 （如图）以双曲线右焦点Ｆ２为极点,Ｆ２ｘ为极轴建立极坐标系,则双曲线的方程为ρ＝ｅｐ１－ｅｃｏｓθ．设过焦点Ｆ２的弦ＡＢ的倾斜角为α,于是有｜ＡＢ｜… 相似文献
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定理 1 过圆锥曲线焦点的直线ｌ对于过焦点的对称轴的倾斜角为α ,且与圆锥曲线交于Ａ、Ｂ两点 ,若焦点Ｆ分弦ＡＢ所成的比为λ ,则λ=1+ｅｃｏｓα1-ｅｃｏｓα.(ｅ为离心率 ) 图 1证明 过焦点Ｆ作准线的垂线 ,垂足为Ｋ ,以焦点Ｆ为极点 ,ＦＫ的反向延长线为极轴 ,如图 1,建立极坐标系 ,则圆锥曲线的极坐标方程为ρ=ｅｐ1 ｅｃｏｓθ(允许 ρ <0 ) ,∴ρＡ =ｅｐ1-ｅｃｏｓα,ρＢ =ｅｐ1-ｅｃｏｓ(π+α) =ｅｐ1+ｅｃｏｓα.∵ ＡＦＦＢ =λ ,ＡＦＦＢ =ρＡρＢ =1+ｅｃｏｓα1-ｅｃｏｓα,∴λ=1+ｅｃｏｓα1-ｅｃｏｓα.说… 相似文献
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本期问题图 1 初 1 2 3 . 已知点Ｄ1、Ｄ2 在△ＡＢＣ的边ＡＢ上 ,且ＢＤ1=ＡＤ2 ,过点Ｄ1、Ｄ2 分别作ＢＣ的平行线 ,交ＡＣ于点Ｅ1、Ｅ2 ,点Ｐ1、Ｐ2分别为Ｄ1Ｅ1、Ｄ2 Ｅ2上的任意点 ,ＢＰ1交ＡＣ于Ｎ1,ＣＰ1交ＡＢ于Ｍ1,ＢＰ2 交ＡＣ于Ｎ2 ,ＣＰ2 交ＡＢ于Ｍ2 .求证 :ＡＭ1Ｍ1Ｂ+ ＡＮ1Ｎ1ＣＡＭ2Ｍ2 Ｂ+ ＡＮ2Ｎ2 Ｃ =1 .(郭 璋 北京市朝阳区教育研究中心 ,1 0 0 0 2 8)图 2初 1 2 4. 如图 2 ,小正方形ＡＢＣＤ各边所在直线与大正方形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′分别相交于Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ、Ｐ、Ｑ、Ｍ、Ｎ .求证 :ＥＦ +ＰＱ =ＧＨ+ＭＮ .… 相似文献
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数学题的解法并非一成不变 ,如果我们从不同的角度分析问题 ,就可能找到不同的解题思路。如义务教育三年制初中几何第二册第 2 6 4页 2 0题 (如图 1 ) ,ＢＤ =ＣＥ ,求证 :ＡＣ·ＥＦ =ＡＢ·ＤＦ。其证明方法就有几种。[证明 1 ] 过点Ｄ作ＤＧ∥ＡＣ交ＢＣ于Ｇ(图 2 ) ,则ＡＣＡＢ=ＤＧＢＤ,ＤＦＥＦ=ＤＧＣＥ。因为ＢＤ =ＣＥ ,所以 ＡＣＡＢ=ＤＦＥＦ,即ＡＣ·ＥＦ =ＡＢ·ＤＦ。[证明 2 ] 过点Ｄ作ＤＧ∥ＢＦ交ＡＣ于Ｇ(图 3) ,则 ＡＤＡＢ=ＡＧＡＣ,所以ＡＢ -ＡＤＡＢ =ＡＣ -ＡＧＡＣ ,ＢＤＡＢ=ＣＧＡＣ,ＡＣＡＢ=ＣＧＢＤ (1 )又… 相似文献
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在解决一些不规则图形问题时 ,往往需要把不规则图形通过分割、补全的方法 ,使其转化为特殊图形 ,如直角三角形、等腰三角形、平行四边形、等腰梯形等 ,从而使问题迎刃而解 .这一过程体现了从一般到特殊的化归思想 .下面用不同的割补方法解一道中考数学题 .图 1例 某片绿地的形状如图 1所示 ,∠Ａ =6 0°,ＡＢ⊥ＢＣ ,ＡＤ⊥ＣＤ ,ＡＢ =2 0 0ｍ ,ＣＤ =1 0 0ｍ .求 :ＡＤ、ＢＣ的长 .( 2 0 0 2 ,天津市中考题 )( 1 )分割图形图 2分析一 :如图 2 ,作矩形ＢＣＥＦ ,解Ｒｔ△ＣＤＥ ,求出ＣＥ、ＤＥ .由ＣＥ =ＢＦ ,有ＡＦ =ＡＢ -ＢＦ =ＡＢ… 相似文献