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1.
参考公式三角函数的积化和差公式sinαcosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)], cosαcosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]. 正棱台、圆台的侧面积公式: 相似文献
2.
陈彬 《中学生数理化(高中版)》2003,(11):8-8,16
有这样一道习题:已知sin2a+sinβ+cos(α-β)=2,求sina+sinβ的取值范围. 错解:令u=sinα+sinβ,则u2=sin2α+sin2β+2sinαsinβ又sin2α+sin2β+cos(α-β)=2,所以U2-2=2sinαsinβ-cos(α-β)=-cos(α+β).u2=2-cos(α+β),从而1≤u2≤3,解得-3~(1/2)≤u≤一1或1≤u≤3~(1/2). 这个答案看起来似乎简洁明了,分析透彻,但细细分析便会产生这样的疑问,即cos(α+β)能取[一1,1]上的所有值吗? 相似文献
3.
有些三角问题,初接触时往往感到无从下手,此时,如果能巧妙地设出参数,则可以使问题出奇制胜地得以解决.现举数例说明,供同学们参考.一、求三角函数值例1设sinα+3cosα=2,求sinα-cosαsinα+cosα值.分析:此题若条件与sin2α+cos2α=1联立,求得sinα,cosα值,再代入计算,则过程较繁.可设sinα-cosαsinα+cosα=k,只须求出k的值即可.解:设sinα-cosαsinα+cosα=k,与sinα+3cosα=2联立得:sinα=1+k2-k,cosα=1-k2-k(k≠2)由sin2α+cos2α=1得:(1+k2-k)2+(1-k2-k)2=1即k2+4k-2=0解得k=-2±6.∴原式=-2±6.例2求sin220°+cos280°+3sin20°… 相似文献
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1.用公式求值例1.求tg67°30′的值解一:tg135°/2=(1-135°/1+135°)~(1/2)=(1+cos45°/1-45°)~(1/2) =((1+cos45°)~2/sin~245°)~(1/2)=(1+cos45°)/sin45°解二:tg67°30′=sin135°/1+cos135° =(2~(1/2)/2)/1-2~(1/2)/2=2~(1/2)+1 解三:tg67°30′=1-135°/sin135°=(1+45°)/sin45° =(1+2~(1/2)/2)/2~(1/2)/2=2~(1/2)+1 上面三种解法,以解三为最简便。一般说来,如果α的正弦和余弦都知道,或者α为特殊角,那么,用公式Tα/2=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)求值比较方便,特别用tgα/2=(1-cosα)/sinα最为方便,因为它的分母为单项式。但如果只知道cosα的值,α又不是特殊角,一般说用Tα/2=±(1-cosα/1+cosα)~(1/2)求值好些。 相似文献
5.
袁军 《新课程导学(上)》2013,(29)
一、问题的提出
看这样一个数学问题:若sinαcosβ=1/2,求cosαsinβ的取值范围.
一个典型的错误解法是:
解:因为sin(α+β)=(sinαcosβ+cosαsinβ)∈[-1,1],sinαcosβ=1/2,所以-3/2≤cosαsinβ≤1/2.
它的错误原因在于找到的约束条件不全面,仅考虑了-1≤sin(α+β)≤1.许多参考书上给出的正确的解法是:
解:因为sin(α+β)=(sinαcosβ+cosαsinβ)∈[-1,1],sinαcosβ=1/2,所以-3/2≤cosαsinβ≤1/2,
因为sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=(1-cosαsinβ) ∈[-1,1]. 相似文献
6.
解数学题,学生是多么期盼掌握一些“战无不胜”的技法。本文联用sin~2θ+cos~2θ=1与二维柯西不等式解题,其构思别致,变换灵巧,可谓学生所盼的“阳春白雪”。二维柯西不等式是:ac+bd≤(a~2+b~2)~(1/2)·(c~2+d~2)~(1/2),a、b、c、d∈R当且仅当a/c=b/d时,等式成立。(现行高中《代数》课本下册P.14)。一求值(或证明条件不等式) 例1 若α、β∈(0,π),且cosα+cosβ-cos(α+β)=3/2,求α、β。解:已知即为(1-cosα)cosβ+sinα·sinβ+cosα=3/2,于是:(cos~2β+sin~2;xx2)[1-cosα)~2+sin~α]≥[(1-cosα)cosβ+sinα·sinβ]~2=(3/2-cosα)~2即(2cosα-1)~2≤0,cosα=1/2,α=π/3,同理知β=π/3。(α、β∈(0,π)) 例2 已知msinθ-ncosθ=(m~2+n~2)~(1/2) (1)sin~2θ/α~2+cos~2θ/b~2=1/(m~2+n~2) (2) 相似文献
7.
向量作为一种工具在解题中的应用极广,巧用公式a·b≤a·b解题,方法新颖、运算简捷.本文举例说明该公式的应用.1在求值中的应用例1若α,β∈(0,π),求满足等式cosα+cosβ-cos(α+β)=23的α,β的值.解原等式可化为(1-cosβ)cosα+sinβsinα=32-cosβ.构造向量a=(1-cosβ,sinβ),b=(cosα,sinα),则a·b=(1-cosβ)2+sin2β·cos2α+sin2α=2-2cosβ,a·b=(1-cosβ)cosα+sinβsinα=32-cosβ.因为(a·b)2≤a2b2,所以(23-cosβ)2≤2-2cosβ,即(cosβ-12)2≤0,所以cosβ=21,β=3π.又α,β地位相同,故α=3π,即α=β=3π.2在求最值和值域中的… 相似文献
8.
韩建新 《数学大世界(高中辅导)》2004,(5):10-12
对于某些三角问题 ,若能合理地构造向量 ,利用向量来解 ,往往可使问题得到快捷方便地解决 ,下面举例说明 .一、求角度【例 1】 若α、β∈ ( 0 ,2 ) ,求满足cosα+cosβ-cos(α + β) =32 的α ,β的值 .解 :原等式化为( 1 -cosβ)cosα+sinβsinα =32 -cosβ ①构造向量a =( 1 -cosβ ,sinβ) ,b =(cosα ,sinα) ,则a·b =( 1 -cosβ)cosα+sinβsinα=32 -cosβ ,｜a｜·｜b｜= ( 1 -cosβ) 2 +sin2 β· cos2 α+sin2 α= 2 -2cosβ因 (a·b) 2 ≤｜a｜2 ·｜b｜2 ,于是有 ( 32 -cosβ) 2 ≤ 2 -2cosβ整理得 (cosβ-12 ) 2 ≤ 0 ,∴c… 相似文献
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在平面三角中有与代数中的平方差公式a~2-b~2=(a+b)(a-b)形似的恒等式: sin~2α-sin~2β=cos~2β-cos~2α=sin(α+β)·sin(α-β),(1)与 cos~2α-sin~2β=cos~2β-sin~2α=cos(α+β)·cos(α-β)。(2) 这两组恒等式不妨叫做三角中的“平方差”公式。熟记这两组恒等式对于解答某些三角问题、几何问题或综合题会有所帮助。恒等式(1)证明如下: ∵sin~2α-sin~2β=1/2(1-cos2α)-1/2(1-cos2β)=1/2(cos2β-cos2α)=sin(α+β)sin(α-β), 相似文献
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一、构造函数例1设α、m为常数,θ是任意实数,求证:眼cos(θ+α)+mcosθ演2≤1+2mcosα+m2.证明构造函数y=f(θ)=1+2mcosα+m2-眼cos(θ+α)+mcosθ演2,则只需证明y≥0即可.f(θ)=sin2(θ+α)+2m眼cosα-cosθcos(θ+α)演+m2sin2θ.令sin(θ+α)=x,则得二次函数y=x2+2msinθ·x+m2sin2θ.由于Δ=4m2sin2θ-4m2sin2θ=0,且二次项系数为1,故y≥0,即原不等式成立.二、构造数列例2已知:sinφcosφ=60169,π4<φ<π2,求sinφ、cosφ的值.解由题意可知,sinφcosφ=(215姨13)2且sinφ>cosφ,构造等比数列cosφ,215姨13,sinφ.设sinφ=215姨13·q,c… 相似文献
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通过对三角问题结构的分析,合理引入参数,借助参数架起已知通向未知的桥梁,这样往往可以使问题得以方便简捷地解决,请看下面的例子. 一、整体设参 例 1 已知 3sinα+cosα=2,求(sinα-cosα+1)/(sinα+cosα+1)的值.解:设(sinα-cosα+1)/(sinα+cosα+1)=k,则(1-k)sinα-(1-k)cosα=k-1,与3sinα+cosα=2联立,可求得sinα=(3k+1)/(2k+4),cosα=(5-5k)/(2k+4)(k≠-2). 相似文献
12.
《数学大世界(高中辅导)》2004,(12):31-35
参考公式:三角函数的积化和差公式sinαcosβ=12[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ=12[sin(α+β)-sin(α-β)]cosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαsinβ=-12[cos(α+β)-cos(α-β)]正棱台、圆台的侧面积公式S台侧=12(c′+c)l其中c′,c分别表示上、下底面周长,l表示斜高或母线长球体的表面积公式:S球=4πR2其中R表示球的半径一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)(理)设全集是实数集R,M={x｜-2≤x≤2},N={x｜x<1},则M∩N等于()A.{x｜x<-2}B.{x｜-2相似文献
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许多三角最值问题,若用构造法求解,可使复杂问题简捷获解.这样不仅有利于数学思想的运用,而且有利于培养创新意识和创新能力.根据题设条件的特征,恰当构造一种新形式是灵活运用此法的关键,本文举例介绍几种方法.一、构造对偶式,用整体思想例1已知sin2α+sin2β+sin2γ=34,试求sin2α+sin2β+sin2γ的最大值.解:由sin2α+sin2β+sin2γ=34可得cos2α+cos2β+cos2γ=32.(1)构造对偶式sin2α+sin2β+sin2γ=x,(2)(1)2+(2)2得94+x2=3+2[cos(2α-2β)+cos(2β-2γ)+cos(2α-2γ)]≤3+2×3=9,其中等号可以在例如α=β=γ=π6时成立.∴x2≤274,|x|… 相似文献
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本文对《几个三角公式及其应用》(“数学通讯”,5,1981)一文的定理1,2作出一个简化证明。原文定理1 设等差数列α_1,α_2,…,α_n的公差为d,则 sum from k=1 to n sinα_k=sin(α_1+n-1/2d)sinn/2d/sind/2 原文定理2 设等差数列α_1,α_2,…,α_n的公差为d,则 sum from k=1 to n cosα_k=cos(α_1+n-1/2-d)sinn/2d/sind/2。证明考虑公式 f(π/2±α)·sinβ=1/2[f(α+β)-f(α-β)]。(1)其中f代表正弦或余弦。若f代表正弦,则左边第一个因式中的α前面取负号,反之取正号。此(1)式是三角函数积化为和公式中某两个公式的综合表 相似文献
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公式“sin2α+cos2α=1”是高中三角函数问题中一个十分重要的公式,它是同角三角函数基本关系式之一,具有十分广泛的应用.在解决三角问题时,如能活用该公式,充分挖掘其潜在功能,往往可以推陈出新,给人以耳目一新的感觉.一、三角函数式的化简例1化简1-sin6α-cos6αsin2α-sin4α.解1-sin6α-cos6αsin2α-sin4α=1sin2αcos2α-sin2α+cos2αsin2αcos2α×(sin2α+cos2α)2-3sin2αcos2αsin2αcos2α=1-(1-3sin2αcos2α)sin2αcos2α=3.二、用公式求值例2已知sinθ+cosθ=15,θ(0,π),则cotθ=_____.解∵sin2θ+cos2θ=1,∴(sinθ+cos… 相似文献
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定理 已知0 <α<π2 ,0 <β<π2 ,若α+β<π2 ,则tanαtanβ≤tan2 α+β2 ;(1)若α+β>π2 ,则tanαtanβ≥tan2 α+β2 . (2 )当且仅当α=β时,上述两式取等号.证明 tanαtanβ-tan2 α+β2=sinαsinβcosαcosβ- 1-cos(α+β)1+cos(α+β)=cos(α- β)cos(α+β) -cos(α+β)cosαcosβ[1+cos(α+β) ]=- cos(α+β) [1-cos(α- β) ]cosαcosβ[1+cos(α+β) ].∵0 <α<π2 ,0 <β<π2 .∴cosα>0 ,cosβ>0 ,1+cos(α+β) >0 ,1-cos(α- β)≥0 ,从而可知,当α+β<π2 时,tanαtanβ-tan2 α+β2 ≤0 ,即(1)成立;当α+β>π2 时,tan… 相似文献
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《数学大世界(高中辅导)》2002,(11)
参考公式:三角函数的积化和差公式 sinαcosβ=1/2[sin(α β) sin(α-β)] cosαsinβ=1/2[sin(α β)-sin(α-β)] cosαcosβ=1/2[cos(α β) cos(α-β)] sinαsinβ=-1/2[cos(α β)-cos(α-β)] 正棱台、圆台的侧面积公式S台侧=1/2(c’ c)l.其中c’、c分别表示上、下底面周长,l表示斜高或母线长球体的体积公式V球=4/3πR3.其中R表示球的半径 相似文献
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<正>有奖征解[1]对于任意给定的常数ρ≠0,ρ∈R,如果等式sinρθ+cosρθ+(sinθcosθ)ρ+1/sinρθ+cosρθ=2(2)ρ+(2)ρ2+(12)ρ(0<θ<π2)成立,求证sinθ+cosθ=2.证明显然,当ρ=2时,由已知等式化简,可得sinθcosθ=1/2,所以(sinθ+cosθ)2=2.又 相似文献
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三角学中有下面几个公式: sinαsin(π/3+α)sin(π/3-α)=1/4sin3α;(1) cosαcos(π/3+α)cos(π/3-α)=1/4cos3α;(2) tgαtg(π/3+α)tg(π/3-α)=tg3α;(3) ctgαctg(π/3+α)ctg(π/3-α)=ctg3α。(4) 这几个公式的证明是比较简单的。现对公式(1)证明如下: ∵ sinαsin(π/3+α)sin(π/3-α)=sinα[-1/2(cos(2π/3)-cos2α)]=sinα(1/4+1/2cos2α) 相似文献