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2006年的初中数学竞赛已经降下帷幕,暑期之中相对较为宽余,笔者翻阅了全国各地2006年的初中数学竞赛题———代数解答题,发现不外乎以下几种类型.现分类讲解如下,供数学爱好者参考.1与二次方程有关的解答题例1(全国初中数学联赛)已知关于x的方程x2+2(a+2b+3)x+(a2+4b2+99)=0无相异两实根,则满足条件的有序正整数组(a,b)有多少组?分析与解二次方程是初中数学的核心内容,当然也是初中数学竞赛的必考内容.但作为竞赛题,除了应用二次方程中的判别式定理、韦达定理等方程理论之外,与相关数学内容如不等式、整数性质的有机结合,即具有一定的综合性… 相似文献
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范浙杨 《中学数学研究(江西师大)》2006,(12):44-47
在各类数学竞赛中,整数解问题一直是个热点,它将古老的整数理论与传统的方程知识相结合,问题牵涉的知识面比较广、解法灵活、综合性强,因此,倍受关注.本文以近两年各级各类竞赛题中的整数解问题为例,介绍整数解问题的求解方法.一、因数分解例1(江苏省第十九届初中数学竞赛初三年级二试试题)已知整数 x,y 满足x~(1/2) 2y~(1/2)=(50)~(1/2),那么整数对(x,y)的个数是(). 相似文献
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整数解问题是初中数学竞赛的一块重要内容 ,在各级各类竞赛中每年都有大量的涉及整数解的试题出现 .它们将传统的初中数学知识相综合 ,涉及面宽、范围广 ,往往需要灵活地运用相关概念、性质、方法和技巧 .下面以 2 0 0 3年全国举行的数学竞赛试题为例 ,综述求解这类问题的方法和思考途径 .1 排除法例 1 (第十四届“希望杯”初二第 2试试题 )不等式 0 ≤ax + 5≤ 4的整数解是 1,2 ,3,4 ,则a的取值范围是 ( )(A)a ≤ - 54 (B)a <- 1(C) - 54 ≤a ≤ - 1(D)a≥- 54解 因为不等式 0≤ax+ 5≤ 4的整数解是 1,2 ,3,4 ,取x =4 ,得… 相似文献
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<正>绝对值是初中数学中的一个基本概念,在初中数学竞赛中时常出现它的身影.本文仅对含绝对值符号的方程问题进行方法解析,供参考.1.用绝对值的非负性求解例1(2013年全国初中数学联合竞赛)已知实数x、y、z满足x+y=4,|z+1|=xy+2y-9,则x+2y+3z=.解由x+y=4,得x=4-y.代入|z+1|=xy+2y-9, 相似文献
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内容概述一元二次方程的整数根问题,将整数理论与传统的初中数学知识相结合,涉及面宽、范围广,且需要灵活地运用相关概念、性质、方法和技巧.例1 已知关于x的方程(a-1)x2+2x-a-1=0的根都是整数,那么符合条件的整数a有___个.(2000年全国初中数学竞赛)分析:由于方程未指明是什么方程,因此要对a的取值进行讨论求解.略解:当a=1时,原方程即为x-1-0,有整数根x=1.当a≠1时,原方程为一元二次方程,分解因式得x=-1-1/a-1或x=1. 相似文献
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在数学竞赛中经常会遇到解不定方程 (组 )的问题 ,由于同学们这一方面平时训练比较少 ,常常会出现差错 .如果未知量的个数多于独立方程的个数 ,那么方程 (组 )便有无穷多个解 .这类方程 (组 )称为不定方程 (组 ) .在这里我们所讨论的是不定方程 (组 )中最简单的一种 .其未知量仅限于取正整数值 .这一限制使我们能用非常简单的形式表示出方程 (组 )的解来 . 例 1 解方程7x + 1 2y=2 2 0 ,x,y取正整数 .解 将方程两边同除以绝对值较小的那个系数 7的绝对值 ,则x+y+ 57y=3 1 + 37,所以x +y+ 5y -37=3 1 . ①因为 x与y要取整数 ,必有5y -37… 相似文献
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李海荣 《数理天地(初中版)》2003,(12)
一次不定方程是竞赛中常考常新的内容,它主要依据下面的定理如果x=x0 y=y0 是二元一次不定方程ax+by=c的一组整数解,那么x=x0-bt y=y0+at(t为任何整数)是ax+by=c的一切整数解.并称此解为原方程的通解,x=x0,y=y0为原方程的一组特解. 相似文献
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在数学竞赛中,有些复杂的或具有某种特殊结构的方程用常规方法求解较繁难,但运用增元法可达到化繁为简,快速求解的目的.本文略举几例予以说明.1解整式方程例1解方程x=(x2+3x-2)2+3(x2+3x-2)-2.(1996年四川省初中数学竞赛试题)分析若去括号,会得到一元四次方程,对初中学生来说求解实非容易,故不可取.若注意到括号内整体特征,设y=x2+3x-2,从而将一元方程转化为二元二次方程组,易解.解设y=x2+3x-2,则有x=y2+3y-2,(1)y=x2+3x-2.(2)(1)-(2)得(x-y)(x+y+4)=0.当x=y时,由(2)解得x1,2=-1±3;当x+y+4=0时,将y=-(x+4)代入(2),解得x3,4=-2±2.2解分式方… 相似文献
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在江苏省初中数学竞赛中,几乎历届(1～20届)都有涉及方程整(有理)数解的问题.这类考题需要考生先判断方程有无整(有理)数根,然后再进行相应地计算或证明.从考题本身看,考点广及方程根的概念、求根公式、判别式、根与系数的关系等重要的知识点,以及有理数的表示、奇偶分析、质因数分解、消元降次、反证法等重要思想方法,因此这类考题一直成为竞赛中的热点.由于这类问题形式多样,切入点多,解法多变,我们必须认真思考,灵活应对.例1(江苏省第17届初中数学竞赛题)当m为整数时,关于x的方程(2m-1)x2-(2m+1)x+1=0是否有有理根?如果有,求出m的值;如果… 相似文献
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一元一次不等式(组)是初中代数的重要内容,现以初一同学能解的典型题为例,说明其常见题型.一、求整数解例1 不等式3(x+1)≥5x-3的正整数解是______.(答:x=1,2,3.) 相似文献
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在初中数学竞赛中,常常出现“1/x 1/y=1/a”型的不定方程。关于这类方程的解法有以下两个结论: 结论1 不定方程1/x 1/y=1/a(a为非零 x=a(a n)/n,其中n是整数)的整数解为{ y=a n满足下列两个条件的整数: (1)n≠-a; (2)n=pq 且p、q都是a的因数结论2 不定方程1/x 1/y=1/a(a为正 x=a(a n)/n整数)的正整数解为{ y=a n 或 相似文献
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构造法是一种重要的数学方法,在初中数学竞赛中有着广泛的应用。解题中,抓住问题的结构特征,巧妙地构造出与之密切关联的数学模式(如代数式、方程、函数、图形等),往往能形成条件和结论之间的逻辑通道,从而达到以解决问题的目的,本文拟通过举例说明这种方法的具体运用。*一、构造对偶式例1比()66+5大的最小整数是()(A)10581(B)10110(C)10109(D)10582解:令x=6+5,y=6?5,则x+y=26,xy=16622()2222.xyxyxyxy∴+∴+=+?==(x2+y2)3-3x2y2(x2+y2)=10582.()66+5+()66?5=10582而()0<6?56<110581﹤()66+5﹤10582故比()66+5大的最小整数是10582,应选(D)… 相似文献
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1994年福州市初二数学竞赛有这样一道试题: 当m是什么整数时,关于x的方程 x~2-(m一1)x+m+1=0的两根都是整数? 这是涉及到一元二次方程整数根的问题,这类问题在数学 相似文献
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一元二次方程历来是初中数学竞赛的重点和热点,利用建构一元二次方程的思想解决相关问题的命题,可以说备受命题者的青睐,因而这类赛题在各级各类数学竞赛中频频出现.它的应用之广,作用之妙,常常令人叫绝.本文结合具体竞赛试题,分类介绍建构一元二次方程解数学竞赛试题的若干应用.1建构二次方程求值例1已知x,y均为实数,且满足xy+x+y=17,x2y+xy2=66.求x4+x3y+x2y2+xy3+y4的值.(2000,山东省初中数学竞赛)分析:由观察可知,题设两个等式均可表示为x+y与xy的形式,且等于常数,因此,可利用与系数的关系建构一元二次方程求解.解由已知条件可得xy+(x+y… 相似文献
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姜继学 《数理化学习(初中版)》2004,(8)
在初中数学竞赛中,与分式有关的题目频繁出现,本文分类举例说明如下: 一、概念类例1 (2002年重庆市初中数学竞赛题)当分式1/(-x2+3x+4)有意义时,x的取值范围是( ) 相似文献
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安义人 《数理化学习(初中版)》2006,(9)
初中数学学习中,经常遇到一些次数较高的数或式的运算有关的问题·考虑降次的思想方法,可使解题简易·下面举例介绍几种常用的降次途径·一、代入降次例1(2005年“华罗庚杯”初二数学竞赛试题)已知x2+x=1,那么x4+2x3-x2-2x+2005=·解:由x2+x=1,得x2=1-x·所以x3=x(1-x)=x-(1-x)=2x-1,x4=x(2x-1)=2(1-x)-x=2-3x·原式=(2-3x)+2(2x-1)-(1-x)-2x+2005=2004·例2(2003年辽宁省初中数学竞赛试题)当x=1+21997时,求(4x3-2000x-1997)2003的值·解:显然,2x-1=1997,所以(2x-1)2=1997,4x2=4x+1996,这时4x3=4x2+1996x=2000x+1996,原式=[(2000x+1996)-200… 相似文献
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(本讲适合初中)因式分解是初中数学的基础,在代数式的恒等变形、化简、求值、证明以及解方程(组)、不等式、整数问题甚至某些几何问题中都有着广泛的应用.本文通过具体实例分类介绍.1求恒等式中的待定系数例1当n为任意实数、k为某一特定整数时,等式n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n~2+kn+1)~2成立.则k=____.(2010,太原市初中数学竞赛)【分析】因为题设等式左边是多项式,右边是乘积的形式,所以,只需将左边分解因 相似文献
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配方法是数学竞赛试题中最常用的解题方法之一 ,以下从几个方面例析配方法在解竞赛题中的运用 .一、通过配方 ,利用“和、差、积”三方的转化解题例 1 ( 1999年全国初中数学竞赛试题 )已知 1a -| a| =1,那么代数式 1a + | a|的值为 ( )( A) 52 . ( B) - 52 .( C) - 5.( D) 5.解 :由已知 ,可得到 a,1a + | a|都是正数 ,所以 ( 1a- | a| ) 2 =1,1a2 + | a| 2 =3,( 1a + | a| ) 2 =5.∴ 1a + | a| =5,故选 ( D) .例 2 ( 1998年全国初中数学竞赛试题 )如果方程x2 + px + 1=0 ( p >2 )的两根之差为 1,那么 p等于( )( A) 2 .… 相似文献