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王俊舫 《唐山师范学院学报》1997,(6)
△=b~2-4ac是一元二次方程ax~3 bx c=0的根的判别式,利用它可以不解方程,直接判别方程根的情况。实际上,在解题中,△=b~2-4ac的用途是相当广泛的。 1.△=b~2-4ac在“四个二次”问题中的应用 例1 已知方程(1)x~2-2kx k~2 k=O,(2)x~2-(4k 1)x 4k~2 k=0,(3)4x~2-(12k 4)x 9k~2 8k 12=0中至少有一个方程有实根,求k的取值范围。 分析 结论中“至少有一个方程有实根”的含义为:可能有一个方程有实根;可能有两个方程有实根;可能有三个方程有实根。 从分析看出,此题要用△≥0来解决。但情况复杂,解题繁琐,难以直接证明。因此, 相似文献
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先看下面三道题:(1)如果一元二次方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,求实数a的范围.(2)已知p1p2=2(q1+q2),试证方程x2+p1x+q1=0和x2+p2x+q2=0中,至少有一个方程有实根.(3)若一元二次方程x2+ax+b=0,x2+bx+c=0,x2+cx+d=0的系数满足等式:bc+2d=(a-2)(b+c),则三个方程中,至少有一个方程有实根.这几道题属于“至少存在问题”,数学竞赛中常常见到.这类题若从正面考虑,大家认为几个方程中“至少有一个方程有实根”的情况复杂,解答易错.所以有关书刊及资料上介绍的解法都采用的是反证法,其思路是这样的:假定三个… 相似文献
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门德荣 《数理化学习(高中版)》2007,(9)
对函数中“至少”问题的解题策略,本文介绍8种,供参考.一、利用函数思想例1当方程x~2 ax 2=0至少有一个实根小于-1时,求实数a的取值范围. 相似文献
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解某些数学问题,当从正面分析难奏效时,不妨转而从问题的反面去思考,这种思维方式可称为逆向思维。 例1.若三个方程x~2 4ax 3-4a=0,x~2 (a-1)x a~2=0,x~2 2ax-2a=0中,至少有一个方程有实数解,试求a的取值范围。 分析:三个方程中至少有一个方程有实数解共有七种可能,逐一讨论相当繁琐,若从反面考虑——三个方程都无实数解,则情况就变为一种。 相似文献
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1998年全国初中数学竞赛第12题是: 设抛物线y=x~2 (2a 1)x 2a 5/4的图象与x轴只有一个交点. (1)求a的值; (2)求a~(18) 323a~(-6)的值. 本文目的是对(2)给出两种较简单解法: 解 (1)据题设知,方程y=x~2 (2a 1)x 2a 5/4=0有两个相等实根,所以△=(2a 1)~2-4(2a 5/4)=0,即 相似文献
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陆建 《中学生数理化(高中版)》2006,(9)
例1已知命题p：方程x~2-3x-4=0有两个相等的实根．写出非p形式的复合命题．错解：方程x~2-3x-4=0有两个不相等的实根．剖析：解决本题需准确理解“非”的含义,逻辑联结词“非”相当于集合在全集中的补集．假若命题p与非p的结论所确立的集合分别为A和B,则A、B必须满足A∪B=U(全集),A∩B=(?),非p的结论应包含p的结论的所有对立面．由于实系数一元二次方程的解的情况有三种,任何一种的否定应包含另外的两种,所以p的对立面是“方程x~3-3x-4=0有两个不相等的实根或无实根”．在写非p形式的复合命题时,应该使用否定词语对正面叙述的词语进行否定． 相似文献
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所谓“至少”型问题就是命题的条件或结论用“…至少…”语句叙述的问题,这类问题由于富于思考性,学生解决起来通常感到难以下手,下面举例说明它的一些常见证法,供读者参考。一顺证顺证就是由条件直接推出结论。 [例1] 设p_1p_2=2(q_1 q_2),求证:x~2 p_1x q_1=0,经~2 p_2x q_2=0中至少有一个方程有实根。证明:∵方程x~2 p_1x q_1=0,x~2 p_2x q_2=0的判别式分别为△_1=p_1~2-4q_1,△_2=p_2~2-4q_2。∴△_1 △-2=p_1~2 p_2~2-4(q_1 q_2)=p_1~2 p_2~2-2p_1p_2=(p_1-p_2)~2≥0 ∴△_1,△_2中至少有一个非负数,即至少有一个方程有实根。 相似文献
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在一元二次方程实根分布的有关问题中,有一类题型是“已知方程ax~2 bx c=0(a≠0)在区间(m,n)内有且只有一个实根,求参数的取值范围”,学生往往是只解f(m)·f(n)<0,其中f(x)=ax~2 bx c(a≠0)。其实这里有一个不易觉察的错误,这是由于“f(m)·f(n)<0”是“方程ax~2 bx c=0(a≠0)在区间(m,n)内有且只有一个实根”的充分不必要条件,因而由 相似文献
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余红丹 《河北理科教学研究》2007,(2):51-53
题目:关于x的方程(x~2-1)~2-|x~2-1| k=0,给出下列四个命题:①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根;②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根;③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根;④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根,其中假命题的个数是A.0B.1C.2D.3分析:从方程的整体来看,可通过参数替换,将其转换为二次方程的结构t2-|t| k=0(令t=x2-1),但其含有绝对值,若采用分类讨论来去绝对值,再由二次方程实根分布的知识来处理,势必很烦琐,倘若考虑方程实根的几何意义,采取数形结合,便可迅速获解.图1解:令t=x2-1(t≥-1),则原方程可化为t2-|t|… 相似文献
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数学解题是数学教学和学习中的重要活动 ,把握解题策略远远要胜于一招一式的解题方法。而辩证法如同在指导其它学科一样 ,在指导数学解题策略方面也有着重要的作用。1 正难则反策略对于有些数学题 ,从正面入手往往比较难或较繁 ,如果改变解题策略 ,从反面去思考 ,则反而容易。例 1 在三个方程ｘ2 ｍｘ 4 =0 ,ｘ2 2ｘ -2ｍ =0 ,ｘ2 (ｍ 1 )ｘ -(ｍ2 -1 ) =0中 ,要使其中至少有一个方程有实根 ,问ｍ应当取怎样的实数值。分析 本题若从正面去思考 ,要分三种情况 :①三个方程中有一个方程有实根 ,②三个方程中有二个有实根 ,③三个方程… 相似文献
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2.如果a和b为正数,并且方程x~2 ax 2b=0和x~2 2bx a=0都有实根,那么a b的最小值是( )。 (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 3.已知x,y是互不相同的自然数,且x~3 19y=y~3 19x。则(x~2 y~2)~(1/2)的整数部分是( )。 相似文献
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虚系数一元二次方程总可化为如下形式: x~2+(a+bi)x+c+di=0 (*)其中,a、b、c、d(R,b、d不同时为零. [定理] 方程(*)有实根的充要条件是b≠0且d~2=b |a b c d|.这时方程(*)的有唯一实根-d/b. 证:利用韦达定理易知(*)不能有二实根,也不能有二共轭虚根.设x_1(R_1,x_2∈R是(*)的二根,则 相似文献
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