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《湖南教育》2006,(27)
49.设a,b,c∈R ,且a b c=1,求证:11(a2 b2 c2)-3(a4 b4 c4)≥392.(安徽潜山二中246300琚国起提供)50.已知关于x的三次方程x3-Ax2 x-B=0有三个正实根,其中A,B为参数.试求A8-B B A2的最小值.(湖南省武冈市十中422400邓集春提供)51.若x,y,z∈R ,n是不小于3的自然数,且xyz=1,求证:(1 y)x(n1 z) (1 z)(y n1 x) (1 x)(z n1 y)≥43.(江苏如皋市教师进修学校226500徐道提供)52.在两个正数a,b(a≠b)之间插入n个正数a1,a2,…,an,使这n 2个正数成等差数列,n∈N ,求证:a21 a22 … an2<12n(a2 b2).(安徽省明光市涧溪中学239461盛宏礼提供)53.过B、A… 相似文献
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《湖南教育》2006,(36)
67.已知x、y为实数,且x2 3xy y2=2,求x2 5xy y2的取值范围.(湖南祁东县洪桥镇一中421600邓艳平提供)68.解不等式sin x-sin x 31!"!$2-x2-｜x｜">0.(安徽潜山二中246300琚国起提供)69.在△ABC中,已知∠A∶∠B∶∠C=4∶2∶1,AD、BE分别是∠A、∠B的内角平分线.求证:BC AD=CA BE.(安徽省肥西中学231200刘运宜提供)70.已知a,b,c为正实数,且a3 b3 c3 abc=4,求证:a b c≤3.(湖南长沙市十五中410007厉倩提供)71.设等差数列｛an｝的各项都是正数,公差为d,n、k∈N ,且n>1,求证:a1k a2k … ank≥n!$a1an"k.(安徽省明光市涧溪中学239461盛宏礼… 相似文献
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79.已知a、b、c∈R ,且abc=8,求aabbcc的最小值.(湖南省武冈市十中422400邓集春提供)80.设a,b>0,求证:当λ>2,有$a aλb, $b bλa,≤λ,$λ2-1.(浙江省湖州市双林中学313012李建潮提供)81.若a、b、c、d为正实数,且a3 b3 c3 d3=4,能否确定23(ab bc cd da ac bd)与abc bcd cda dab的大小,若能,请写出大小关系并证明,若不能,请举出反例.(湖南长沙市十五中410007厉倩提供)82.已知a,b,c为正数,求证:b ac c ba a cb≥32 (a-b)22(a b c)2.(江西南昌大学附属中学330047宋庆提供)83.设AD、BE、CF是△ABC的内角平分线,且∠BAC=120°,连接DE、DF… 相似文献
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正人教版必修五给出了基本不等式a+b2≥槡ab(a0,b0),当且仅当a=b时取等号.其变形有:(a+b2)2≥ab;a2+b2≥12(a+b)2.应用基本不等式的条件:①正数;②和定或积定;③相等.基本不等式的一个应用就是求最值.有以下四类问题:一、隐含积定型若a0,b0且a+b的和为定值p,则积ab有最大值ab≤p24.例1已知x0,求y=x+1x的最小值.解y=x+1x≥21x·槡x=2.(当且仅当x=1x时取"=")例2已知x1,求y=x+1x-1的最小值.解y=x+1x-1=x-1+1x-1+1≥2+1=3.(当且仅当x-1=1x-1,x=2时取"=")变式已知x1,求y=x2-x+1x-1的最小值. 相似文献
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CABDE FPQOMN85.设正数a,b,c满足a b c=3,求证:ab 1 bc 1 ca 1 1ab b1c c1a≥6.(四川泸县二中646106熊福州提供)86.已知:AB是圆O的直径,直线MN是圆O的切线,C为切点,过A、B分别作AE⊥MN,BF⊥MN,垂足分别是E、F,AE交圆O于点D,Q是AD的中点,P是线段OA上的一点,且DE=OP.求证:PQ∥BC.(山东省淄博市沂源县徐家庄中学256116左效平提供)87.如图,M、N、P分别是△ABC的三边上的点,M是中ACBMNP点,BNNC=mn>12,求当S△AMP S△BMN=2S△MNP时APPC的值.(江苏盐城师院一附中224002曹大方提供)88.已知正实数x,y,z满足x y z=1,… 相似文献
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聂文喜 《河北理科教学研究》2015,(2):39-40
1 问题来源
题1 (2013年高考广西卷理科压轴题)已知函数f(x)=In(1+x)-x(1+λx)/1+x.(1)若x≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值;(2)设数列{an}的通项an=1+1/2+…+1/n,证明a2n-an+41/n＞ In2.
笔者在研究上述高考试题时,感觉似曾相似,发现它是2010年高考湖北卷理科压轴题的拓展与延伸.
2 题源探寻
题2 (2010年高考湖北卷理科压轴题)已知f(x)=ax+b/x+c(a＞0)在(1,f(1))处的切线为y=x-1.(1)用a表示b、c;(2)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的范围;(3)证明:1+1/2+…+1/n＞ln(n+1)+n/2(n+1). 相似文献
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略谈一个不等式的应用 总被引：1，自引：0，他引：1
设 x,y为正实数 ,则由均值不等式得(x y) 3=(12 x 12 x y) 3≥ (3·314x2 y) 3=2 74x2 y.∴ (x y) 3 ≥ 2 74x2 y(* ) ,当且仅当 y=12 x时不等式取等号 .不等式 (* )形式简单 ,但在不等式证明中往往有独到的作用 ,下面举例说明之 .例 1 已知 a,b,c∈R .求证 :(a 1 ) 3b (b 1 ) 3c (c 1 ) 3a ≥ 814.(《中等数学》2 0 0 0年第 4期数学奥林匹克问题 91 )证明 由 (* )式得(a 1 ) 3≥ 2 74a,(b 1 ) 3≥ 2 74b,(c 1 ) 3≥ 2 74c,∴ (a 1 ) 3b (b 1 ) 3c (c 1 ) 3a ≥ 2 74(ab bc ca)≥ 2 74· 3·3ab· bc· ca=814.例 2 已知实数 a>1 ,b… 相似文献
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103.设正项数列｛an｝满足a1=3,an≤nn aan-n1-1(n=2,3,…).求证:an≤2 3[6log2n](.这里的[log2n]表示不超过log2n的最大整数)(湖南常德英语实验中学415000李晓渊提供)104.若a,b,c∈R ,三次方程x3-ax2 bx-c=0有3个实数根,求证:3a-6b 1c≥0.(陕西永寿县中学713400安振平提供)105.已知x>1,n>2( 3(x-x1-)12)2,n∈N,求证:xnn<1x.(江苏省张家港市暨阳高级中学215600罗建宇提供)106.设四边形ABCD外切于圆I,则△ABI、△BCI、△CDI、△DAI的垂心共线.(湖南永州市零陵区富家桥镇中学425024李新杨昌武提供)107.设｛an｝是由正数组成的等差数列… 相似文献
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一个不等式的再推广 总被引：1，自引：0，他引：1
问题 :已知 a,b,c∈ R~+,则 a/(b + c)+ b/(a + c)+ c/(a + b)≥ 3/2文 [1 ]将其推广为 :设△ ABC的三边为 a,b,c,若 -1 <λ<1时 ,aλa + b + c+ bλb + a + c+ cλc+ a + b≥3λ + 2 ( 1 )本文将 ( 1 )式推广为 :命题 1 已知 a,b,c∈ R+,若 -2 <λ≤1时 ,aλa + b + c+ bλb + a + c+ cλc+ a + b≥ 3λ + 2 ( 2 )若λ=1时 ,( 2 )式显然成立 ,若λ∈ ( -2 ,1 )时 ,令x =λa + b + cy =λb + a + cz =λc+ a + b a =( y + z) - (λ+ 1 ) x( 1 -λ) (λ + 2 )b =( x + z) - (λ + 1 ) y( 1 -λ) (λ + 2 )c=( x + y) - (λ+ 1 ) z( 1 -λ)… 相似文献
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本文通过具体例题总结了基本不等式求一类题型（x+y）（a/x+b/y）（x,y,a,b都是正数）的最值.苏教版必修五给出了基本不等式的形式:ab1/2≤（a+b）/2（a≥0,b≥0）,当且仅当a=b时取等号,其变形形式有a+b≥2ab1/2基本不等式的一个运用就是求最值:①当a≥0,b≥0时,若和a+b为定值P,则积ab有最大值ab≤p2/4,当且仅当a=b时取等号;②当a≥0,b≥0时,若积ab为定值S,则和a+b有最小值a+b≥2S1/2,当且仅当a=b时取等号.我们来看下面3个问题:问题1:已知x,y为正数,求（x+y）（1/x+4/y）的最小值.问题2:已知z,y为正数且满足1/x+1/y=2,求x+2y的最小值. 相似文献
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20 0 2年全国高中数学联赛二试第二大题 :实数 a,b,c和正数 λ使得 f( x) =x3+ ax2+ bx+ c有三个实根 x1 ,x2 ,x3,且满足 ( 1 ) x2- x1 =λ;( 2 ) x3>12 ( x1 + x2 ) .求2 a3+ 2 7c- 9abλ3 的最大值 .笔者在全国联赛阅卷过程中发现学生有如下巧解 :由韦达定理 x1 + x2 + x3=- a,x1 x2 + x2 x3+ x3x1 =b,x1 x2 x3=- c.123由 1、2及 λ>0 ,不妨设 :x1 =m- n,x2 =m+ n,x3=m+ k( m为任意实数 ,n,k为任意正实数 )∴a=- ( 3m+ k) ,b=3m2 - n2 + 2 mk,c=- ( m3+ m2 k- mn2 - n2 k) ,λ=2 n.设 M=2 a3+ 2 7c- 9abλ3 ,则代入整理得M=14 ( - k3n… 相似文献
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1.已知非空集合A=｛x｜x2-4mx 2m 6=0,x!R｝,若A∩R-≠!,求实数m的取值范围.(R-表示负实数)2.关于x的方程x3-3x2-a=0有3个不同的实数解,求实数a的取值范围.3.已知a!R,求函数y=(a-sinx)(a-cosx)的最小值.4.当n!N且n≥3时,求证:n 13 n 14 … 2n1 2>1130.5.已知定点(M-1,2),直线l1:y=(a x 1),曲线C:y=$x2 1,l1与C交于A,B两点.记线段AB的中点为N,直线l2经过M,N两点,且在x轴上的截距为m,将m表示成a的函数,并求此函数的定义域.6.已知向量u=(x,y)和向量v=(y,2y-x)的对应关系可用v=f(u)表示.(1)已知a=(1,1),b=(1,0),求f(a),f(b)的坐标.(2)求… 相似文献
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邹生书 《中学数学研究(江西师大)》2013,(2):25-26
宋庆老师在文[1]末提出了四个不等式猜想,其中猜想1如下:
猜想 若a,b,c是正实数,且满足abc=1,则a2/a+2+b2/b+2+c2/c+2≥1.
文[2]运用均值不等式的变式x2/y≥2x -y(x＞0,y＞0,当且仅当x=y时等号成立)证明了这个不等式猜想及如下一般性推广:
推广:若a,b,c,λ,μ是正实数,且满足abc=1,则a2/λa+μ+b2/λb+μ+c2/λc+μ≥3/λ+μ. 相似文献
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第一试一、选择题 (每小题 6分 ,共 36分 )1 .如果x、y >0 ,logxy logyx =1 03,xy =1 4 4,那么 ,x y的值是 ( ) .(A) 2 0 3 (B) 2 6 3(C) 2 4 3(D) 1 0 32 .设z=m ni是方程az4 ibz3 cz2 idz e=0的一个复数根 ,这里a ,b ,c ,d ,e,m ,n∈R .则下列各数一定是方程的根的是 ( ) .(A)m -ni (B) -m ni(C)n mi (D) 1 -m ni3.已知等差数列 {an}和等比数列 {bn}的各项都是正数 ,且a1=b1,a2n 1=b2n 1.那么 ,一定有 ( ) .(A)an 1 1 (D)an 1≥bn 14.在… 相似文献
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《中学数学月刊》2003,(9)
问题 1(a)将 8- 6x- x2表示为 a- (x+b) 2的形式并由此 (或者用其他方法 )求出 x为实数时函数 f(x) =8-6x- x2 的值域 .(b)若 f(x) =12 (2 x +2 -x)且 x>0 ,求 f-1 (x) .(c)解方程组 3x+7y=1 ,2 x2 +4y=3.问题 2(a)已知 sin(A+B) =2 sin(A- B) ,证明 tan A=3tan B.并由此求出当 A∈ (- π,π)时 ,方程 sin(A+30°)= 2 sin(A- 30°)的全部解 .(b)利用变量代换 y=8x,求满足方程 64x- 5(8x) +4=0的 x的精确值 .问题 3(a)某等比数列中 ,前 n项之和为 48,前 2 n项之和为 60 ,求这个数列的前 3n项之和 .(b)表达式 2 x3 +ax2 +bx+2能被 x+2整除… 相似文献
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本期问题初 1 2 7 已知ABCD是单位正方形 ,O是其中心点 ,P是CD上的一点 ,直线AP交BC的延长线于点Q、交DO于点E ,OQ交PC于点F .若EF∥AC ,求AP的长 .(吴伟朝 广州大学理学院数学系 ,51 0 4 0 5)初 1 2 8 给定正整数n(n≥ 5) ,试给出一组互不相同的正偶数p1,p2 ,… ,pn,使其满足1p1+ 1p2+… + 1pn=2 0 0 32 0 0 2 .(张延卫 江苏省宿迁市教育局 ,2 2 380 0 )高 1 2 7 已知a、b、c∈R+ .求证 :b2a+ c2b+ a2c≥ 3(a2 +b2 +c2 ) .(张善立 浙江省岱山县岱山中学 ,31 6 2 0 0 )高 1 2 8 设a、b是满足a3+b3=an+bn(n∈ {0 ,1 ,2 })… 相似文献
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两个新的不等式 总被引：2，自引：0，他引：2
文 [1 ]证明了如下不等式 :设 a,b,c是周长为 1的三角形的三条边长 ,试证 :a2 b b2 c c2 a<18.(《数学通报》2 0 0 0年第 5期问题 1 2 52 )受文 [1 ]的启发 ,可得下面的不等式 :命题 1 设 a,b,c为满足 a b c=1的正数 ,则 ab( a 1 ) bc( b 1 ) ca( c 1 )≤49.证明 由算术平均 -几何平均不等式和恒等式 x3 y3 z3- 3xyz=12 ( x y z)[( x- y) 2 ( y- z) 2 ( z- x) 2 ],得a2 b b2 c c2 a≤ 12 7[( 2 a b) 3 ( 2 b c) 3 ( 2 c a) 3]=12 7{32 ( a b c) [( 2 a- b- c) 2 ( 2 b-c- a) 2 ( 2 c- a- b) 2 ] 3( 2 … 相似文献