添加辅助圆解一类解析几何题     

吴玉珍 《数学教学通讯》1999,(1):22-23

设有两相交圆C_1:x~2 y~2 D_1x E_1y F_1=0C_2:x~2 y~2 D_2x E_2y F_2=0则方程:x~2 y~2 D_1x E_1y F_1 λ(x~2 y~2 D_2x E_2y F_2)=0①当λ≠-1时,表示的图形是经过 C_1、C_2交点的圆系(不包括 C_2)当λ=-1时,①式变为  相似文献   

关于圆系的两个问题     

王军庆 《中等数学》1985,(6)

设有两个不同的圆:F_1(z,y)≡x~2 y~2 2D_1x 2E_1y F_1=0及 F_2(x,y)≡x~2 y~2 2D_2x 2E_1y F_2=0.我们称 F_1(x,y) λF_2(x,y)=0(参数λ■-1)为圆系(不包括圆 F_2(x,y)=0).(1)问题是:1.方程(1)一定表示圆吗?2.圆系有什么性质?参数λ的几何意义是什么?  相似文献   

偶然?必然!     

熊祚林 《数学教学通讯》1999,(5)

先看下面的问题:例1 求两个等圆⊙C_1:x~2 y~2 D_(1x) E_(1y) F_1=0和⊙C_2:x~2 y~2 D_(2x) E_(2y) F_2=0的对称轴方程.(D_1≠D_2或 E_1≠E_2).解:如图(1)易知 C_1(-(D_1/2)  相似文献   

对两圆的幂相等的点的轨迹的探究     

郑日锋 《中学教研》2003,(3):40-42

1 问题的提出很多的解析几何教学用书上都有下面的结论: 已知两圆C_: x~2+y~2+D_(1x)+E_(1y)+F_1=0,C_2: x~2+y~2+D_(2x)+E_(2y)+F_2=0与直线l:(D_1-D_2)x+(E_1-E_2)_y+(F_1-F_2)=0. (1) 若圆C_1与圆C_2相切,则直线l是过公切点  相似文献   

共轴圆系理论的一个注记     

王世堃 《中等数学》1996,(4)

在许多解析几何的著作中,有关共轴圆系理论是以如下方式阐述的: 到两不同心的已知圆C_i: f_i(x,y)=x~2 y~2 D_ix E_iy F_i=0 (i=1,2)的切线长相等的点的轨迹称为此两圆的根轴,共根轴的圆系称为共轴圆系。共轴圆系的方程为f_1 λf_2=x~2 y~2 D_1x E_1y F_1 λ(x~2 y~2 D_2x E_2y F_2)=0,其中λ为不等于-1的任意常数。当λ=-1时上式即  相似文献   

巧证两道IMO试题     

朱结根 《中学数学月刊》1996,(10)

定理 圆心不共线的三圆两两相交,则三条公共弦共点。 为方便起见,我们给出统一的解析证明, 设⊙O_i(i=1,2,3)的方程为:x~2 y~2 D_ix E_iy F_i=0. 将它们两两相减得公共弦方程: l_1:(D_-D_2)x (E_1-E_2)y F_1-F_2=0, l_2:(D_2-D_3)x (E_2-E_3)y F_2-F_3=0, l_3:(D_3-D_1)x (E_3-E_1)y F_3-F_1=0. 由于圆心不共线,故设l_1与l_2的交点P的坐标为(x_0,y_0),易验证:P∈l_3,即l_1,l_2,l_3,交于点P. 本文巧用定理证明两道IMO试题. 例1 (1MO36-1)设A,B,C,D是一条直线上依次排列的四个不同点,分别以AC,BD为直径的圆相交于X,Y,直线XY交BC于Z,若P为直线XY上异于Z的一点,直线CP与以AC为直径的圆相交于C及M,直线BP与以BD为直径的圆相交于B及N,试证AM,DN,XY三线共点.  相似文献   

对统编教材上一道习题的商榷     

杨杰生 《数学教学通讯》1985,(5)

在六年制重点中学高中数学课本《解析几何》(平面)一书第194页上,有这样一道习题: 23.证明:(A_1-C_1)B_2=(A_2-C_2)B_1≠0时,二次曲线 A_1x~2+B_1xy+C_1y~2+D_1x+E_1y+F_1=0 A_2x~2+B_2xy+C_2y~2+D_2x+F_2y+F_2=0的交点同在一个圆上。这道题的题意是清楚的: 即:(A_1-C_1)B_2=(A_2-C_2)且≠0是二次曲线 A_1x~2+B_1xy+C_1y~2+D_1x+E_1y+F_1=0 (1) A_2x~2+B_2xy+C_2y~2+D_2x+E_2y+F_2=0 (2)的交点在同一个圆上的充分条件。换句话说:只要有了条件(A_1-C_1)B_2=(A_2-C_2)B_1≠0(1)和(2)就有交点,且交点在同一个圆上。但笔者认为:(A_1-C_1)B_2=(A_2-C_2)B_1≠0这个条件对本题的结论既不充分也不必要。  相似文献   

两二次曲线四交点共圆的充要条件     

凌本信 《数学教学》1993,(5):8-9,33

六年制重点中学解析几何课本194页第23题给出了这样一个结论:设二次曲线S_1、S_2(指非退化的情形,下同)的方程分别为 A_1x~2 B_1xy C_1y~2 D_1x E_1y F_1=0 (*) A_2x~2 B_2xy C_2y~2 D_2x E_2y F_2=0 (**) 如果(A_1-C_1)B_3=(A_2-C_2)B_1≠0,那么二次曲线S_1、S_2的交点在同一个圆上。显然(A_1-C_1)B_2=(A_3-C_2)B_1≠0是二次曲线S_1、S_2交点共圆的充分但不必要条件。例如双曲线xy=2与圆x~2 y~2=5;椭圆4x~2 9y~2=36与椭圆9x~2 4y~2=36;抛物线4x~2-4x 9y-35=0与双曲线x~2-4y~2-4=0的四个交点都是共圆的,但是它们都不符合(A_1-C_1)B_2=(A_2-C_2)B_1≠0的条件。  相似文献   

函数式sin~2α cos~2α的几何意义     

龙贻铭 《中等数学》1986,(1)

将公式sin~2α cos~2α=1与圆的方程x~2 y~2=1进行比较,易见若点 A(x,y)是角α终边与单位圆x~2 y~2=1的交点,则有x=cosα,y=sinα.考虑点  相似文献   

关于圆系方程的一个补充     

汪英明 《苏州教育学院学报》1998,(2)

在解析几何中,涉及到求过两圆交点的圆方程,求过一直线和一圆的交点的圆方程时,设圆系方程来解是一个非常快捷的一个方法,但没有给出圆系方程一定表示一个圆的证明,本文拟补出这个证明.(I)如果直线1:Ax By C=0与圆C:x~2 y~2 Dx Ey F=0相交,那么过两交点的圆可表示为x~2 y~2 Dx Ey F十λ(Ax By C)=0 (1)(λ∈R)(1)圆过交点的证明略去(2)下面证明方程(1)一定是一个圆方程.证明:(1)经过整理可改写为x~2 y~2 (D λA)x (E λB)y F λC=0,证明方程(1)表示  相似文献   

每期一题     

于志洪 《中学数学教学》1983,(2)

题:过点A(O,(10)~(1/2))向圆x~2+y~2=5引两条切线,求它们的方程。(统编数学高中第二册121页笫6题。解法一利用过圆上一点的切线方程如图,设过点A(0,(10)~(1/2))的直线一与圆x~2+y~2=5相切于F_1(x_1,y_1),根据过圆上一点求切线方程的公式(请参看统编数学高中第二册121页第5题),得圆的切线方程为x_1x+y_1y=5 ①  相似文献   

再探究x0^x＋y0y=r^2与x^2＋y^2=r^2的关系     

杨华 《中学数学研究》2011,(10):32-33

贵刊文[1]给出了直线x0^x＋y0y=r^2与x^2＋y^2=r^2圆的关系：结论1 已知圆O：x^＋y^2=r^2,点P（x0,y0）.（1）若点P（x0,y0）在圆上,过点P的圆切线方程为x0x＋y0y=r^2;（2）若点P（x0,y0）在圆外,过点P向圆引两条切线,两切点A、B两点,过A、B两点的两条切线交点的轨迹方程为x0x＋y0y=r^2.  相似文献   

错在哪里     

《中学数学教学》1998,(2)

1.江苏省姜堰市第二中学 石志群(225500)题 已知两椭圆方程分别为:x~2 9y~广-45=0,x~2 9y~-6x-27=0,求过两椭圆的交点且与直线x-2y 11=0相切的圆的方程.(1984年高考题)解 设过两已知椭圆交点的圆的方程为:x~2 9y~2-6x-27 λ(x~2 9y~2 -45)=0.即 (1 λ)x~2 (9 9λ)y~2-6x-27-45λ=0,由x一2y 11=0得 x=2y-11,代入上式得(13 13λ)y~ 2-(56 44λ)y 160 76λ=0.当圆与直线相切时,有△=0,即(56 44λ)~2-4(13 13λ)(16O 76λ)=0.  相似文献   

对一道高中会考题的引申和探究     

王剑明 《数学教学》2012,(8):16-19

题目(2011年浙江省普通高中会考第41题)如图1,圆C与y轴相切于点T(0,2),与x轴正半轴相交于M、N两点(点M在点N的左侧),且|MN|=3.(1)求圆C的方程;(2)过点M任作一条直线与圆O:x~2+y~2=4相交于A、B两点,连结AN、BN.求证:∠ANM=∠BNM.这是一道颇具美感、难易适中的好题.该  相似文献   

错在哪里     

林祥萍 《数学教学通讯》1986,(5)

1.一些圆与两个坐标轴同时相切,求圆心的轨迹方程。解:设圆的方程是(x-a)~2 (y-b)~2=r~2,它与x轴y轴同时相切的条件是|a|=|b|=r,那么圆心坐标(a,b)是方程x±y=0的解,因此圆心轨迹方程是x±y=0。本题错在没有把原点排除在外。 2.已知A(x_1,y_1)是圆x~2 y~2=r~2上的一点,求证,与圆相切于A点的切线方程是x_1x y_1y=r~2。  相似文献   

圆锥曲线的极和极线     

曾峰 《中学数学教学参考》1995,(5)

高中《解析几何》课本(必修)第62页给出过“已知圆x~2 y~2=r~2上一点M(x_0,y_0)的切线方程是x_0x y_0y=r~2”。有趣的是在某些条件下,这种形式的方程不表示圆的切线。 设M(x_0,y_0)是圆x~2 y~2=r~2外的一点。从M引圆的两条切线MA、MB,其中A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)为切点。那么,MA的方程是x_1x y_1y=r~2。  相似文献   

挖掘几何背景巧解题     

范雪英 《中学数学月刊》1998,(5)

题 若实数x,y满足x~2 y~2-2x 4y=0,则x-2y的最大值是()(A)5~(1/2)(B)9(C)5 25~(1/2) (D)10分析 方程x~2 y~2-2x 4y=0,即(x-1)~2 (y 2)~2=5,所表示的曲线是一个圆,圆心为P(1,-2),半径为5~(1/2)(如图1),这个圆的一个特点是通  相似文献   

利用圆巧求取值范围     

崔佰华 《数理化解题研究》2011,(2)

一、利用圆的切线的斜率例1已知实数x、y满足x~2+y~2=1,求y+2/x+1的取值范围.解析单从数的角度研究,似乎很难.转换角度,以数形结合来研究,各式都有具体的形象.如图1,设P(x,y)是圆O:x~2+y~2=1上的点,则y+2/x+1是过P(x,y)、A(-1,-2)两点直线PA的斜图1率k_(PA).过A作圆的切线AB和AC,  相似文献   

直线方程yoy=p（x0＋x）的几何意义     

权宽一 《数学教学通讯》2001,(12):44-44

文[1]、[2]、[3]分别给出了直线方程:x_0x y_0y=r~2,(x_0x)/a~2 (y_0y)/b~2=1,(x_0x)/a~2-(y_0y)/b~2=1的3种几何意义,笔者认为直线方程:y_0y=p(x_0 x)(p>0)也有类似的几何意义,而且它揭示了圆及二次曲线内在的一般规律.定理1:若点 P(x_0,y_0)在抛物线 y~2=  相似文献   

错在哪里     

《中学数学教学》1987,(4)

一、北京师大燕化附中史树德来稿题:已知 A={(x,y)|x~2+2y~2-2ax+a~2-2=0},B={(x,y)|y~2-x=0}。在A∩B≠φ的条件下,求实数a的许可值集。解:点集A即椭圆 1/2(x-a)~2+y~2=1 ①点集B是抛物线 y~2=x_0 ②由题意A∩B≠φ,将②代入①并整理得:x~2+2(1-a)x+a~2-2=0 ③方程③必有实根, ∴ 4(1-a)~2-4·(a~2-2)≥0,解得 a ∈(-∝,3/2]。解答错了!错在哪里?  相似文献