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1.
二次曲线中有许多美妙的性质 ,恰当地运用这些性质能优化我们的解题。本文介绍一个简洁优美的焦点三角形公式 ,并举例说明它的应用。定理 Ｐ是椭圆ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1 (ａ >ｂ >0 )或双曲线ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1 (ａ >0 ,ｂ>0 )上一点 ,Ｆ1(-ｃ,0 ) ,Ｆ2 (ｃ,0 )是左右两焦点 ,设 |ＰＦ1|·|ＰＦ2 |=λ2 ,则焦点△Ｆ1ＰＦ2的面积Ｓ =ｂλ2 -ｂ2 。证明 (以椭圆为例 )设 |ＰＦ1|=ｒ1,|ＰＦ2 |=ｒ2 ,∠Ｆ1ＰＦ2 =α ,则ｒ1+ｒ2 =2ａ ,α∈ (0 ,π) ,在△Ｆ1ＰＦ2中 ,由余弦定理可得 :ｃｏｓα =ｒ21+ｒ22 -4ｃ22ｒ1ｒ2=(ｒ1+ｒ2 ) 2 -4ｃ2 -2ｒ… 相似文献
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圆锥曲线上的一点和焦点的连结线段叫做这点的焦半径 ,从圆锥曲线的统一定义出发 ,可以证得圆锥曲线的焦半径的计算公式 :(证法从略 )1° 设Ｐ(ｘ1 ,ｙ1 )为椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1上任意一点 ,Ｆ1 、Ｆ2 为左、右焦点 ,则 |ＰＦ1 | =ａ ｅｘ1 ,|ＰＦ2 |=ａ -ｅｘ1 .2° 在双曲线 ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1中 ,Ｆ1 、Ｆ2 为左、右焦点 ,若Ｐ(ｘ1 ,ｙ1 )在双曲线右支上 ,则 |ＰＦ1 | =ｅｘ1 ａ ,|ＰＦ2 | =ｅｘ1 -ａ ;若Ｐ(ｘ1 ,ｙ1 )在双曲线左支上 ,则 |ＰＦ1 | =- (ｅｘ1 ａ) ,|ＰＦ2 | =- (ｅｘ1 -ａ) .3° 设Ｐ(ｘ1 ,ｙ1 )为抛物线 ｙ2… 相似文献
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命题 1 已知椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ｃ2 =ａ2 -ｂ2 ) ,则椭圆上存在点Ｐ ,它与两焦点Ｆ1、Ｆ2 连线互相垂直的条件是ｂ≤ｃ <ａ .证 :设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) Ｆ1(-ｃ ,0 ) ,Ｆ2 (ｃ ,0 )∵ＰＦ1⊥ＰＦ2∴ (ｙ0 -0 ) (ｙ0 -0 ) (ｘ0 ｃ) (ｘ0 -ｃ) =0即 :ｘ20 ｙ20 =ｃ2亦即 :｜ＰＯ｜=ｃ(Ｏ为坐标原点 )又∵椭圆短半轴是ｂ ,长半轴是ａ ,Ｐ又在椭圆上∴ｂ≤ｃ <ａ命题 2 已知Ｐ是椭圆ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ｃ2 =ａ2 -ｂ2 )上的点 ,且ｂ≤ｃ <ａ ,Ｆ1、Ｆ2 为其焦点 ,若∠Ｆ1ＰＦ2 =90° ,则△ＰＦ1Ｆ2 的面积为定值ｂ2 .证 :由已知得 : ｜… 相似文献
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1 两个结论通过对圆锥曲线的研究 ,笔者发现椭圆、双曲线有如下性质 .定理 1 设Ｆ1,Ｆ2 是椭圆的两个焦点 ,ＰＱ是椭圆过Ｆ2 的焦点弦 (ＰＱ不过Ｆ1) ,则三角形ＰＦ1Ｑ的旁切圆恒与边ＰＱ相切于焦点Ｆ2 (如图 1)证明 如图 1,设圆Ｏ与△ＰＦ1Ｑ三边ＰＱ、 图 1ＰＦ1、Ｆ1Ｑ或其延长线分别相切于点Ｆ′2 、Ｒ、Ｓ ,则由圆的切线性质有｜ＰＦ′2 ｜=｜ＰＲ｜ ,｜ＱＦ′2 ｜ =｜ＱＳ｜ ,｜Ｆ1Ｒ｜=｜Ｆ1Ｓ｜ .于是｜ＰＦ1｜ ｜ＰＦ′2 ｜=｜Ｆ1Ｒ｜ ,｜ＱＦ1｜ ｜ＱＦ′2 ｜ =｜Ｆ1Ｓ｜,∴｜ＰＦ1｜ ｜ＰＦ′2 ｜=｜ＱＦ1｜ ｜Ｑ… 相似文献
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圆锥曲线方程中的两个变量有其固有的取值范围和关系 ,方程中的特征量也有其确定的取值范围和关系 .如椭圆方程ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1 (ａ>ｂ >0 )中的变量ｘ、ｙ满足 -ａ≤ｘ≤-ａ ,-ｂ≤ｙ≤ｂ,方程本身正反映了变量ｘ、ｙ间的这种关系 ;椭圆的特征量间的关系有 0 <ｅ =ｃａ <1,ａ >ｂ>0 ,ａ2ｃ >ａ ,ａ2-ｂ2 =ｃ2 ;椭圆的左、右顶点到相应准线的距离 ａ2ｃ -ａ是椭圆上的点到准线的距离的最小值 ;椭圆上的点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )到焦点Ｆ1 (-ｃ,0 )、Ｆ2 (ｃ,0 )的距离分别为｜ＰＦ1 ｜ =ａ+ｅｘ0 、｜ＰＦ2 ｜=ａ -ｅｘ0 ,所以有ｂ2≤｜ＰＦ1 ｜… 相似文献
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近日读了西北师大《数学教学研究》上的一篇文章 (见文 [1]) ,该文研讨了关于三角形三边ａ、ｂ、ｃ的一个不等式Ｐ 3Ｑ ≥Ｒ ,(1)其中Ｐ = ａ3 =ａ3 ｂ3 ｃ3 ,Ｑ =ａｂｃ ,Ｒ = ａ2 ｂ=ａ2 ｂ ａｂ2 ｂ2 ｃ ｂｃ2 ｃ2 ａ ｃａ2 .今将不等式 (1)中的Ｒ改记为Ｆ ,从而不等式(1)改写为Ｐ 3Ｑ ≥Ｆ ,(2 )其中Ｐ = ａ3 ,Ｑ =ａｂｃ ,Ｆ = ａ2 ｂ .本文将指出 ,不等式 (2 )本质上等价于著名的欧拉不等式 .首先 ,易知不等式 (2 )可以改写为 ａ3 5ａｂｃ≥ (ａ ｂ) (ｂ ｃ) (ｃ ａ) .(3) 其次 ,由熟知的恒等式 (其中Ｒ、ｒ分别表示三角… 相似文献
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定理 1 如图所示 ,记椭圆Ｃ的切线ｌ与以椭圆长轴为直径的圆Ｏ从左至右依次交于Ａ、Ｂ两点 ,则直线Ｆ1Ａ ⊥ｌ且直线Ｆ2 Ｂ ⊥ｌ(其中Ｆ1、Ｆ2 表示椭圆的左、右焦点 ) .证明 当切点是椭圆的顶点时结论显然成立 ;当切点不是椭圆的顶点时 ,设Ｃ的方程为ｂ2 ｘ2 +ａ2 ｂ2 =ａ2 ｂ2 (ａ>ｂ >0 ) ,则圆Ｏ的方程为ｘ2 + ｙ2 =ａ2 .设直线ｌ与椭圆Ｃ的切点为Ｍ(ａｃｏｓθ ,ｂｓｉｎθ) ,则得切线ｌ的方程为ｂｃｏｓθ·ｘ +ａｓｉｎθ·ｙ=ａｂ . ①由①解出 ｙ并代入ｘ2 + ｙ2 =ａ2 ,整理得(ａ2 ｓｉｎ2 θ +ｂ2 ｃｏｓ2 θ)·ｘ2 - 2ａｂ2… 相似文献
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邓建书 《中学生数理化(高中版)》2003,(4):26-28
1 .反弹琵琶 ,独辟蹊径例 1 在椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 )上取一点Ｐ ,Ｐ与长轴两端点Ａ、Ｂ的连线分别交短轴所在直线于Ｍ、Ｎ两点 ,设Ｏ为原点 ,求证 :|ＯＭ |·|ＯＮ|为定值 .证明 :设Ｍ ( 0 ,ｍ)、Ｎ( 0 ,ｎ) ,则ｌＰＡ:ｙ=ｍ - 00 +ａ(ｘ +ａ) ,①ｌＰＢ:ｙ =ｎ - 00 -ａ(ｘ -ａ) . ②①×② ,得 ｙ2 =- ｍｎａ2 (ｘ2 -ａ2 ) .又 ｙ2 =ｂ2 1- ｘ2ａ2 ,故ｂ2 ａ2 -ｘ2ａ2 =- ｍｎａ2 (ｘ2 -ａ2 ) .ｍｎ =ｂ2 ,为定值 .即 |ＯＭ |·|ＯＮ| =ｂ2 ,为定值 .评注 :本题没有设出Ｐ点坐标进而求出Ｍ、Ｎ两… 相似文献
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焦点弦长公式的几种形式及其应用 总被引：1，自引：1，他引：0
圆锥曲线的焦点弦是解析几何教学的一个重点和难点,也是各类考试的热点问题,解题中有着广泛的应用.但解答这类问题,一般演算繁长且易出差错.为此,本文利用直线的参数方程推导出不同形式的焦点弦长公式,可以在不同的题设条件下使用,简便快捷,学生兴趣盎然,课堂效果好,现说明如下.命题1 ＡＢ是过抛物线ｙ2=2ｐｘ(ｐ>0)或椭圆ｂ2ｘ2 ａ2ｙ2=ａ2ｂ2(ａ>ｂ>0)或双曲线ｂ2ｘ2-ａ2ｙ2=ａ2ｂ2(ａ>0,ｂ>0)的焦点Ｆ的弦,椭圆和双曲线的半焦距为ｃ.若ＡＢ的倾斜角为α,则(1) |ＡＢ|抛物线=2ｐｓｉｎ2α;(2) |ＡＢ|椭圆=2ａｂ2ｂ2 ｃ2ｓｉｎ2α;(3) … 相似文献
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一、选择题 (每小题 6分 ,满分 36分 )1.已知集合Ｐ ={ｘ|ｘ2 =1}和Ｑ ={ｘ|ｍｘ =1} .若Ｑ Ｐ ,则实数ｍ可取值的个数为 ( ) .(Ａ) 0 (Ｂ) 1 (Ｃ) 2 (Ｄ) 32 .若ａ、ｂ是任意实数 ,且ａ >ｂ ,则下列不等式一定成立的是 ( ) .(Ａ)ａ2 >ｂ2 (Ｂ) ｂａ <1(Ｃ)ｌｇ(ａ -ｂ) >0 (Ｄ) 12ａ<12ｂ3.如果圆ｘ2 +ｙ2 =ｋ2 至少覆盖函数ｆ(ｘ)= 3ｓｉｎπｘｋ 的一个最大值点和一个最小值点 ,则ｋ的取值范围是 ( ) .(Ａ) |ｋ|≥ 3(Ｂ) |ｋ|≥ 2(Ｃ) |ｋ|≥ 1(Ｄ) 1≤ |ｋ|≤ 24 .已知ＯＰ =(2 ,1) ,ＯＡ =(1,7) ,ＯＢ =(5 ,1)… 相似文献
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1 圆锥曲线焦点弦的长度取值范围定理 1 椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1 (ａ >ｂ >0 )的离心率ｅ=ｃａ ,ｐ为焦点到相应准线的距离 ,ｐ =ｂ2ｃ .设椭圆焦点弦ＡＢ的长度为ｄ ,则ｄ∈ 2ｅｐ ,2ｅｐ1-ｅ2 ,即ｄ∈2ｂ2ａ ,2ａ .证明 以椭圆的左焦点为极点 ,建立极坐标系 ,椭圆的极坐标方程为 ρ =ｅｐ1-ｅｃｏｓθ.不妨设ＡＢ为过左焦点的弦 ,Ａ( ρ1,θ) ,Ｂ( ρ2 ,π θ) ,θ∈〔0 ,π) ,则 |ＡＢ|=ρ1 ρ2 =ｅｐ1-ｅｃｏｓθ ｅｐ1-ｅｃｏｓ(π θ)=2ｅｐ1-ｅ2 ｃｏｓ2 θ.当ｃｏｓθ=0 ,即θ =π2 时 ,|ＡＢ|ｍｉｎ=2ｅｐ =2ｂ2ａ ;当ｃｏ… 相似文献
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包含△ＡＢＣ的三边ａ ,ｂ ,ｃ的三角形不等式 ,形式各异 ,多姿多采 ,而传统证明方法却只能因题制宜 ,灵活多变 ,无一定法 ,颇具难度 .本文介绍一种统一的新证法 :“Ｐ-Ｑ -Ｒ”法 .定理 设ａ ,ｂ ,ｃ为△ＡＢＣ的三边 ,记Ｐ =ａ3 ｂ3 ｃ3= ａ3,Ｑ =ａｂｃ= ａ ,Ｒ =ａ2 ｂ ａｂ2 ｂ2 ｃ ｂｃ2 ｃ2 ａ ｃａ2 = ａ2 (ｂ ｃ) = ｂｃ(ｂ ｃ) ,则 2Ｐ ≥Ｐ 3Ｑ ≥Ｒ≥ 12 (Ｐ 9Ｑ)≥ 6Ｑ ,Ｐ 3Ｑ ≥Ｒ >Ｐ 2Ｑ .当且仅当正三角形时各等号成立 ; 、 分别为循环和、循环积 )证明 (ⅰ )依平均值不等式 ,立得Ｐ =ａ3 ｂ3 ｃ3≥ 3ａｂｃ=… 相似文献
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向量是新编高中数学的基本内容 .向量的引入可以启迪学生从一个新的角度分析、解决一些综合问题 ,有益于开发学生智力 ,提高学生能力 .下面就近几年高考题中的部分解析几何题目用向量法给予解答、阐述 .1 利用两个非零向量 ａ =(ｘ1,ｙ1) , ｂ =(ｘ2 ,ｙ2 )的数量积 ａ· ｂ=ｘ1ｘ2 +ｙ1ｙ2 .例 1 (2 0 0 0年全国高考题 )椭圆 ｘ29+ｙ24 =1的焦点为Ｆ1、Ｆ2 ,点Ｐ为其上的动点 ,当∠Ｆ1ＰＦ2 为钝角时 ,点Ｐ横坐标的取值范围是 .解 由题意设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,Ｆ1(- 5 ,0 ) ,Ｆ2 (5 ,0 ) ,则ＰＦ1=(- 5 -ｘ0 ,-ｙ0 ) ,ＰＦ2 =(5 -ｘ0 ,-… 相似文献
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命题 若椭圆或双曲线的中心在原点 ,焦点在ｘ轴上 ,离心率为ｅ且经过点Ｐ(ｘ1,ｙ1) ,则其方程为 ｙ2 - ｙ21=(ｅ2 - 1) (ｘ2 -ｘ21) .证明 以椭圆为例 ,设椭圆中心在原点 ,焦点在ｘ轴上 ,则其标准方程为 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ>0 ) .若椭圆的离心率为ｅ ,经过点Ｐ(ｘ1,ｙ1) ,则有 ｅ2 =ｃ2ａ2 =ａ2 -ｂ2ａ2 ,ｘ21ａ2 ｙ21ｂ2 =1,解得 ａ2 =ｘ21 ｙ211-ｅ2 ,ｂ2 =(1-ｅ2 )ｘ21 ｙ21.所以椭圆方程为ｘ2ｘ21 ｙ211-ｅ2 ｙ2(1-ｅ2 )ｘ21 ｙ21=1,即 ｙ2 - ｙ21=(ｅ2 - 1) (ｘ2 -ｘ21) .对于双曲线亦可用同样的方法证明命题成立… 相似文献
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对于形如ｘ1≤ｘ≤ｘ2 的不等式 ,如果利用定比分点公式来证明 ,往往会收到很好的效果。具体方法如下 :把ｘ1、ｘ、ｘ2 分别对应数轴上的三点Ｐ1、Ｐ、Ｐ2 ,Ｐ是有向线段Ｐ1Ｐ2 的分点 ,按定比分点公式λ =(ｘ -ｘ1) / (ｘ2 -ｘ)。如果λ >0 ,则Ｐ是Ｐ1Ｐ2 的内分点 ,此时ｘ1<ｘ <ｘ2 ;当λ =0时 ,有ｘ =ｘ1;当λ不存在时 ,有ｘ =ｘ2 。因此当λ≥ 0时 ,即可说明ｘ1≤ｘ≤ｘ2 。下面通过举例加以阐述。例 1 若 |ａ|<1 ,|ｂ|<1 ,求证 -1 <ａ ｂ1 ａｂ<1。证明 设 -1、(ａ ｂ) / ( 1 ａｂ)、1分别对应数轴上三点Ｐ1、Ｐ、Ｐ2 ,Ｐ是Ｐ1Ｐ… 相似文献
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20 0 1年广东省高考数学第 2 1题 :已知椭圆 :ｘ22 ｙ2 =1的右准线ｌ与ｘ轴相交于点Ｅ ,过椭圆右焦点Ｆ的直线与椭圆相交于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在右准线上且ＢＣ ∥ｘ轴 ,求证 :直线ＡＣ经过线段ＥＦ的中点 .此题对一般性结论仍成立 ,还可以拓广到其它圆锥曲线 .拓广 1 已知椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1的右准线ｌ与ｘ轴相交于点Ｅ ,过椭圆右焦点Ｆ的直线与椭圆相交于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在右准线上且ＢＣ∥ｘ轴 ,求证 :直线ＡＣ经过线段ＥＦ的中点 (ａ >ｂ>0 ) . 图 1证明 如图 1,记直线ＡＣ与ｘ轴的交点为Ｎ ,过Ａ作ＡＤ⊥ｌ,Ｄ是垂足 .… 相似文献
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《解析几何》旧教材新教材中都有这样一道例题 : 图 1如图 1,我国发射的第一颗人造卫星的运行轨道 ,是以地心 (地球的中心 )Ｆ2 为一个焦点的椭圆 .已知它的近地点Ａ(离地面最近的点 )距地面 4 39ｋｍ ,远地点Ｂ(离地面最远的点 )距地面 2 348ｋｍ ,并且Ｆ2 、Ａ、Ｂ在同一直线上 ,地球半径约为 6 371ｋｍ ,求卫星运行的轨道方程 (精确到1ｋｍ) .如图 1,建立直角坐标系 ,使点Ａ、Ｂ、Ｆ2 在ｘ轴上 ,Ｆ2 为椭圆的右焦点 (记Ｆ1为左焦点 ) .因为椭圆的焦点在ｘ轴上 ,所以它的标准方程为 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1 (ａ>ｂ>0 ) ,则 ａ -ｃ… 相似文献
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20 0 1年高考试题第 1 4题 :双曲线 ｘ29-ｙ21 6 =1的两个焦点为Ｆ1 、Ｆ2 ,点Ｐ在双曲线上 ,若ＰＦ1 ⊥ＰＦ2 ,则点Ｐ到ｘ轴的距离为 .这道题是一道基础题 ,容易得到答案为1 65.如果我们适当改变原题的条件 ,结果将会怎样呢 ?将双曲线的分母字母化 ,得 :思考题 1 双曲线ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1 (ａ>0 ,ｂ >0 )的两个焦点为Ｆ1 、Ｆ2 ,点Ｐ在双曲线上 ,若ＰＦ1 ⊥ＰＦ2 ,则点Ｐ到ｘ轴的距离为 .解 设 ｜ＰＦ1 ｜=ｒ1 ,｜ＰＦ2 ｜=ｒ2 ,｜Ｆ1 Ｆ2 ｜ =2ｃ,由双曲线定义及勾股定理 ,得｜ｒ1 -ｒ2 ｜=2ａ ,ｒ21 ｒ22 =(2ｃ) 2 .∴ｒ1 ｒ2 =ｒ21 … 相似文献
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求二次曲线中变量及参数范围问题是一个重要题型 ,也是高考命题的热点 .解这类题不仅要求学生概念清楚 ,还必须具有扎实的基础知识及灵活应变的能力 .而学生在此类问题面前往往不知从何入手 ,常常在多个变量面前理不清思路 ,找不到解题方法 .为此本文介绍几种方法 .1 转化为一元二次方程用判别式法待解题目通过转化得到一个关于某个未知数的一元二次方程 ,用根的判别式的性质去处理 ,可得要求的范围 .例 1 设Ｐ是椭圆ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1上一点 ,Ｆ1、Ｆ2是焦点 ,且∠Ｆ1ＰＦ2 =90° ,求证 :离心率ｅ≥ 22 .证明 由椭圆定义 ,得 |ＰＦ1| |… 相似文献
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题目 :过抛物线ｙ=ａｘ2 (ａ>0 )的焦点Ｆ作一直线交抛物线于Ｐ、Ｑ两点 ,若线段ＰＦ与ＦＱ的长分别是ｐ ,ｑ则1ｐ 1ｑ 等于 ( ) Ａ 2ａ Ｂ 12ａ Ｃ 4ａ Ｄ 4ａ解法一 :取ａ =14,则Ｆ(0 ,1 ) ,过Ｆ的一直线方程为ｙ=1 ,代入ｘ2 =4ｙ得ｘ=± 2 .∴ｐ=ｑ=2 .由此知1ｐ 1ｑ =1 =4× 14=4ａ ,应选Ｃ 解法二 :以焦点Ｆ为极点 ,Ｆ到准线的垂线段的反向延长线为极轴建立极坐标系 ,因焦准距ｐ′ =12ａ,故抛物线的极坐标方程是ρ=ｐ′1 -ｃｏｓθ=12ａ(1 -ｃｏｓθ) ,设ｐ=｜ＦＰ｜=12ａ(1 -ｃｏｓθ) ,则ｑ=｜ＦＱ｜ =12ａ(1 ｃｏ… 相似文献