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1.
运用三角变换固然是解三角题的基本方法 ,但由于三角中的诱导公式较多 ,因此就形成了丰富多彩的变换技巧 .本文试图通过挖掘知识间的横向联系 ,针对题目的特点 ,另辟蹊径 ,实施非三角变换 .这对于发展智力、活跃思维、提高能力大有裨益 .1 代数化策略将三角函数用字母代换 ,转化成代数问题求解 .例 1 已知ｓｉｎα-ｃｏｓα =12 ,求ｓｉｎ4α ｃｏｓ4α-ｓｉｎ2 αｃｏｓ2 α的值 .解 :设ｓｉｎα =ａ ,ｃｏｓα=ｂ ,则ａ2 ｂ2 =1ａ-ｂ=12,从而解得 ,ａｂ=38.∴ｓｉｎ4α ｃｏｓ4α -ｓｉｎ2 αｃｏｓ2 α =(ａ2 ｂ2 ) 2-3ａ2 ｂ2 =1 -… 相似文献
2.
黄传龙 《中学生数理化(高中版)》2003,(4):34-37
一、选择题 :1.设集合Ｍ ={ 1,2 } ,则满足Ｍ∪Ｎ { 1,2 ,3 }的集合Ｎ的个数为 ( ) .Ａ .1 Ｂ .4 Ｃ .7 Ｄ .82 .已知方程 2 ｘ+ｘ =0的实根为ａ ,ｌｏｇ2 ｘ =2 -ｘ的实根为ｂ ,ｌｏｇ12 ｘ =ｘ的实根为ｃ ,则ａ ,ｂ ,ｃ的大小关系是 ( ) .Ａ .ｂ>ａ >ｃ Ｂ .ｂ >ｃ >ａ Ｃ .ｃ >ｂ >ａ Ｄ .ａ >ｂ >ｃ3 .已知当α∈ -3π4,-π2 时 ,则下列不等式成立的是 ( ) .Ａ .ｓｉｎα >ｃｏｓα Ｂ .ｓｉｎα >ｔａｎα Ｃ .ｔａｎα >ｃｏｔα Ｄ .ｃｏｓα >ｃｏｔα4.已知ｙ =ａｒｃｓｉｎ(ｓｉｎｘ) ,… 相似文献
3.
在不等式证明中 ,一些不等式表面上看并未显露出三角化的可能 ,如果我们深入挖掘其隐含条件 ,构造等式 ,引进三角代换 ,利用三角知识常能使问题简捷获解例 1 已知ａ >ｂ >0 ,求证 :3 ａ - 3 ｂ <3 ａ -ｂ .证明 ∵ａ >ｂ >0 ,∴ (ａ -ｂ) ｂ =ａ ,于是可设 ａ -ｂ =ａｃｏｓ2 αｂ =ａｓｉｎ2 α 0 <α <π2 .因此原不等式等价于 1- 3 ｓｉｎ2 α <3 ｃｏｓ2 α ,即 3 ｓｉｎ2 α 3 ｃｏｓ2 α >1.∵ 0 <α <π2 ,∴ 0 <ｓｉｎ2 α ,ｃｏｓ2 α <1,于是有 3 ｓｉｎ2 α 3 ｃｏｓ2 α >ｓｉｎ2 α ｃｏｓ2 α =1.故 原不等式… 相似文献
4.
定理 设α、β、γ∈Ｒ ,则有ｃｏｓαｓｉｎ ( β -γ) ｃｏｓβｓｉｎ (γ -α) ｃｏｓγｓｉｎ (α - β) =0 . ( 1)ｓｉｎαｓｉｎ ( β -γ) ｓｉｎβｓｉｎ (γ -α) ｓｉｎγｓｉｎ (α - β) =0 . ( 2 )证明 构造二元一次方程组ｘｃｏｓα ｙｃｏｓβ =ｃｏｓγ ,(ａ)ｘｓｉｎα ｙｓｉｎβ =ｓｉｎγ . (ｂ)由 (ａ)、 (ｂ)两式可得ｘｓｉｎ(α- β) =ｓｉｎ(γ - β) ,(ｃ)ｙｓｉｎ(α- β) =ｓｉｎ(α -γ) . (ｄ) 将 (ａ)式两边同乘ｓｉｎ (α - β)后 ,再将(ｃ)、 (ｄ)两式代入即得 ( 1) .将 (ｂ)式两边同乘ｓｉｎ (… 相似文献
5.
有些三角问题 ,若能根据已知式的结构 ,挖掘出它的几何背景 ,通过构造解析几何模型 ,化数为形 ,利用数学模型的直观性 ,简捷地求得问题的解．一、构造“直线模型”例１已知ｃｏｓα -ｃｏｓβ＝ - ２３,ｓｉｎα -ｓｉｎβ,求ｃｏｓ（α +β）与ｃｏｓα ＋ ｃｏｓβｓｉｎα ＋ ｓｉｎβ 的值．解 :因为点Ａ(ｃｏｓα ,ｓｉｎα)、Ｂ(ｃｏｓβ,ｓｉｎβ)在单位圆ｘ２+ｙ２＝１上．所以直线ＡＢ的斜率ＫＡＢ＝ ｓｉｎα－ｓｉｎβｃｏｓα － ｃｏｓβ＝ - ３４．设直线ＡＢ的方程为 ｙ＝ - ３４ｘ+ｂ ,代入ｘ２+ｙ２＝１得 :２５ｘ２-２４… 相似文献
6.
颜寅 《中学生数理化(高中版)》2003,(2):34-35
58 .问 :已知ｓｅｃα -ｔａｎα =5,求ｓｉｎα. (河南西平县高中一 ( 6 )班 颜 寅 )答 :ｓｅｃα-ｔａｎα=5=5·1=5(ｓｅｃ2 α -ｔａｎ2 α) =5(ｓｅｃα +ｔａｎα) (ｓｅｃα -ｔａｎα) .故ｓｅｃα +ｔａｎα =15.与已知式联立 ,则ｓｅｃα=135,ｔａｎα=- 125.ｓｉｎα =ｔａｎαｃｏｓα =- 1213.(解答 赵振华 )59.问 :若ａ、ｂ、ｃ均是不等于 0的常数 ,求函数ｙ =(ｘ +ａ) 2 +(ｘ +ｂ) 2 +(ｘ +ｃ) 2 的最值 . (浙江天台县平桥中学高三九班 许海燕 )答 :将原函数化为 ｙ =3ｘ2 +2 (ａ +ｂ +ｃ)ｘ +(ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ) .因 3>0 … 相似文献
7.
类似于圆 ,我们把椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1或双曲线 ｘ2ａ2- ｙ2ｂ2 =1上任意一点到中心的连线段叫做椭圆或双曲线的半径 ,用ｒ表示 ,则有椭圆 :1ｒ2 =ｃｏｓ2 αａ2 ｓｉｎ2 αｂ2 (1)双曲线 :1ｒ2 =ｃｏｓ2 αａ2 - ｓｉｎ2 αｂ2 (2 )其中α为半径所在直线的倾斜角 ,(2 )中当α在[ａｒｃｔｇ ｂａ ,π-ａｒｃｔｇ ｂａ]时ｒ不存在 .1 公式证明设直线 ｙ =ｔｇα·ｘ交椭圆ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1于Ａ ,Ｂ的点 ,则｜ＯＡ｜ =｜ＯＢ｜ =ｒ .由ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1,ｙ =ｔｇα·ｘ ,可知 ｜ＯＡ｜=ｒ=ａｂｂ2 ｃｏｓ2 α ａ2 ｓｉｎ2 α,即… 相似文献
8.
严碧友 《中学生数理化(高中版)》2003,(2):18-19
我们知道 ,ａｓｉｎα+ｂｃｏｓα =ａ2 +ｂ2 ｓｉｎ(α +φ) ,其中 φ角所在象限由ａ、ｂ的符号确定 ,φ角的值由ｔａｎφ =ｂａ 确定 ,这个公式称为辅助角公式 .该公式在解题中有广泛的应用 .一、求最值例 1 求函数 ｙ =3ｓｉｎ(ｘ +2 0°) +5ｓｉｎ(ｘ +80°)的最大、最小值 .解 :令θ =ｘ +2 0°,则ｙ =3ｓｉｎθ +5ｓｉｎ(θ +6 0°) =3ｓｉｎθ+512 ｓｉｎθ+32 ｃｏｓθ =112 ｓｉｎθ +52 3ｃｏｓθ=7ｓｉｎ(θ +φ) .∴ ｙ的最大、最小值分别为 7、- 7.二、求值例 2 若函数ｆ(ｘ) =ｓｉｎ2ｘ +ａｃｏｓ2ｘ的图象关于直线ｘ =- … 相似文献
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定理 1 设α ,β ,γ∈Ｒ ,则有ｃｏｓ2 αｓｉｎ( β γ)ｓｉｎ( β-γ) ｃｏｓ2 βｓｉｎ(γ α)ｓｉｎ(γ -α) ｃｏｓ2 γｓｉｎ(α β)ｓｉｎ(α - β) =0 . ( 1) 定理 2 设α ,β ,γ∈Ｒ ,则有ｓｉｎ2 αｓｉｎ( β γ)ｓｉｎ( β -γ) ｓｉｎ2 βｓｉｎ(γ α)ｓｉｎ(γ-α) ｓｉｎ2 γｓｉｎ(α β)ｓｉｎ(α- β) =0 ( 2 ) 证明 沿用文〔1〕、〔2〕的方法 ,构造二元一次方程组ｘｃｏｓ2 α ｙｃｏｓ2 β =ｃｏｓ2 γ , (ａ)ｘｓｉｎ2 α ｙｓｉｎ2 β =ｓｉｎ2 γ . (ｂ)由 (ａ)、(ｂ)两式可得ｘｓｉｎ( β α)ｓ… 相似文献
10.
题目 已知复数ｚ1 =ｉ(1 -ｉ) 3.(Ⅰ )求ａｒｇｚ1 及 ｜ｚ1 ｜ ;(Ⅱ )当复数ｚ满足｜ｚ｜=1 ,求｜ｚ-ｚ1 ｜的最大值 .(Ⅰ )解略 .下面给出 (Ⅱ )的七种解法 :解法 1 (三角形式法 )设ｚ=ｃｏｓα ｉｓｉｎα ,则ｚ-ｚ1 =(ｃｏｓα -2 ) (ｓｉｎα 2 )ｉ;∴ ｜ｚ -ｚ1 ｜=(ｃｏｓα-2 ) 2 (ｓｉｎα 2 ) 2=9 42ｓｉｎ(α-π4)≤ 9 42 =2 2 1 .上式等号当且仅当ｓｉｎ(α-π4) =1时取到 .从而得到｜ｚ-ｚ1 ｜的最大值为 2 2 1 .解法 2 (代数形式法 ) 设ｚ=ａ ｂｉ(ａ ,ｂ∈Ｒ) ,且ａ2 ｂ2 =1 ,则｜ｂ-ａ｜2 =｜ａ2 ｂ2-2ａ… 相似文献
11.
这道题有毛病 总被引：1，自引：0，他引：1
在高三复习中 ,我们在一本资料上看到如下一道“典型例题” .学习中 ,我们发现该题存在很大毛病 .以下谈谈我们的看法 .原题 :已知外接圆半径为 6的△ＡＢＣ的面积为Ｓ ,且Ｓ =ａ2 -(ｂ -ｃ) 2 (ａ、ｂ、ｃ分别为角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边 ) ,ｓｉｎＢ +ｓｉｎＣ =43 .求ｓｉｎＡ的值及Ｓ的最大值 .原解 :Ｓ =12 ｂｃｓｉｎＡ =ａ2 -(ｂ -ｃ) 2 =ａ2-ｂ2 -ｃ2 + 2ｂｃ=2ｂｃ-2ｂｃｃｏｓΑ ,∴ 12 ｓｉｎＡ =2 -2ｃｏｓＡ ,∴ 1 -ｃｏｓＡｓｉｎＡ =14 ,即ｔａｎ Ａ2 =14 ,∴ｓｉｎＡ =81 7.又ｓｉｎＢ +ｓｉｎＣ =43 ,即 ｂ2Ｒ+ ｃ2Ｒ=43 ,∴ｂ+… 相似文献
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题目 已知ｃｏｓ(α π4) =35,2π ≤α <32 π 求ｃｏｓ(2α π4)解法 1 由ｃｏｓ(α π4) =35,可得 ｃｏｓα -ｓｉｎα =3 25… (1)再由ｓｉｎ2 α ｃｏｓ2 α =1,得 :2ｃｏｓ2 α -625ｃｏｓα -72 5=0 ,解得ｃｏｓα =-210 或7210 ,又 π2 ≤α <32 π ,所以ｃｏｓα=-210 ,ｓｉｎα=-7210 ,所以ｃｏｓ2α=ｃｏｓ2 α-ｓｉｎ2 α=-2 42 5,ｓｉｎ2α =72 5所以ｃｏｓ(2α π4) =22 (ｃｏｓ2α -ｓｉｎ2α)=-3 1250 .解法 2 易知ｃｏｓα=-210 ,记ｘ =ｃｏｓ(2α π4)所以ｃｏｓ π4 ｃｏｓ(α π4) ｃｏｓ(2α π4) =[ｃ… 相似文献
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在三角函数的条件求值问题中 ,常需要运用整体观念 ,巧变角 ,沟通条件式和欲求式之间的关系 .现举两例说明 .例 1 已知ｃｏｓα-π3 =1 51 7.,-π2 <α<0 ,求ｃｏｓα的值 .分析 若将条件式ｃｏｓα-π3 直接展开求ｃｏｓα ,虽然思路清晰 ,但无疑有一定的计算量 .若将α-π3 看作整体 ,则ｃｏｓα =ｃｏｓα -π3 +π3=12 ｃｏｓα-π3 -32 ｓｉｎα-π3=1 53 4-32 ｓｉｎα -π3 ,∵ -π2 <α<0 ,∴ -5π6<α -π3 <-π3 ,∴ｓｉｎα -π3 =-81 7,∴ｃｏｓα=1 5+833 4.注 本题通过角的变换α=α-π3 +π3 ,只需求出ｓｉｎα -π3 的值… 相似文献
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文 [1 ]证明了 :若ａ、ｂ、ｃ为△ＡＢＣ的三边 ,则ａ′=ｂ2 ｃ2 ,ｂ′ =ｃ2 ａ2 ,ｃ′ =ａ2 ｂ2 可构成△Ａ′Ｂ′Ｃ′ .采用通用记号 (如△、△′表面积 ,ｐ、ｐ′表半周长 ,ｒ、ｒ′表内切圆半径 ,等等 ) ,则由公式(△′) 2 =△2 ∑ 1ｓｉｎ2 Ａ.可推出 △Ａ′Ｂ′Ｃ′与△ＡＢＣ间的一系列关系 :1 △′≥ 2△ ( =|ａ =ｂ=ｃ) ;2 2 ｐ≤ｐ′<3ｐ ;3 ｒ′≥869ｒｃｏｓ Ａ2 ｃｏｓ Ｂ2 ｃｏｓ Ｃ2 ;4 Ｒ′≥ 82Ｒｓｉｎ Ａ2 ｓｉｎ Ｂ2 ｓｉｎ Ｃ2 ;5 ( ｈａ′ｈａ)2 ( ｈｂ′ｈｂ)2 ( ｈｃ′ｈｃ)2 ≥ 6.二次均值三角形的性… 相似文献
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一、填空题 (本大题共有 12题 ,每题 4分 ,满分48分 ,只要求直接填写结果 ) .1.函数ｙ=ｓｉｎｘｃｏｓ ｘ + π4+ｃｏｓｘｓｉｎｘ + π4的最小正周期Ｔ =.2 .若ｘ =π3 是方程 2ｃｏｓ(ｘ +α) =1的解 ,其中α∈ (0 ,2π) ,则α =.3 .在等差数列 ａｎ 中 ,ａ5=3 ,ａ6 =-2 ,则ａ4+ａ5+… +ａ1 0 =.4.(文 )已知定点Ａ(0 ,1) ,点Ｂ在直线ｘ+ｙ=0上运动 ,当线段ＡＢ最短时 ,点Ｂ的坐标是 . (理 )在极坐标系中 ,定点Ａ 1,π2 ,点Ｂ在直线 ρｃｏｓθ+ ρｓｉｎθ =0上运动 ,当线段ＡＢ最短时 ,点Ｂ的极坐标是 .5 .在正四棱锥Ｐ-ＡＢＣＤ中 ,若… 相似文献
16.
韦艳娇 《中学数学教学参考》2002,(11):34-34
在三角函数部分经常遇到函数奇偶性问题 ,本文研究了 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ) ,ｙ =Ａｃｏｓ(ωｘ φ) (Ａ、ω、φ为常数 )以及 ｙ =ａｓｉｎｘ ｂｃｏｓｘ(ａ、ｂ为常数 )型函数的奇偶性 ,给出了一种解决这类函数奇偶性的方法 .1 函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ) (Ａ、ω、φ 相似文献
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命题 设△ＡＢＣ的面积为△ ,三边长分别为ａ、ｂ、ｃ.则△ＡＢＣ的内接正三角形的最小面积为 △236(ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ) + 2△.图 1证明 :如图 1所示 ,正△ＰＱＲ内接于△ＡＢＣ ,ＢＣ =ａ ,ＣＡ=ｂ ,ＡＢ =ｃ.设∠ＢＲＰ =θ,则易求得∠ＰＱＣ =∠Ａ+ 60° -θ .再设△ＰＱＲ的边长为ｘ ,则分别在△ＢＲＰ和△ＰＱＣ中 ,由正弦定理可得ＢＰ =ｓｉｎθｓｉｎＢｘ ,ＰＣ =ｓｉｎ(∠Ａ + 60°-θ)ｓｉｎＣ ｘ.又因ＢＰ +ＰＣ =ＢＣ =ａ ,故ｘ = ａｓｉｎθｓｉｎＢ+ｓｉｎ(∠Ａ +6 0° -θ)ｓｉｎＣ=ａｓｉｎ(∠Ａ +6 0°)ｓｉｎＣ ·ｃｏｓθ+… 相似文献
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定理 1 如图所示 ,记椭圆Ｃ的切线ｌ与以椭圆长轴为直径的圆Ｏ从左至右依次交于Ａ、Ｂ两点 ,则直线Ｆ1Ａ ⊥ｌ且直线Ｆ2 Ｂ ⊥ｌ(其中Ｆ1、Ｆ2 表示椭圆的左、右焦点 ) .证明 当切点是椭圆的顶点时结论显然成立 ;当切点不是椭圆的顶点时 ,设Ｃ的方程为ｂ2 ｘ2 +ａ2 ｂ2 =ａ2 ｂ2 (ａ>ｂ >0 ) ,则圆Ｏ的方程为ｘ2 + ｙ2 =ａ2 .设直线ｌ与椭圆Ｃ的切点为Ｍ(ａｃｏｓθ ,ｂｓｉｎθ) ,则得切线ｌ的方程为ｂｃｏｓθ·ｘ +ａｓｉｎθ·ｙ=ａｂ . ①由①解出 ｙ并代入ｘ2 + ｙ2 =ａ2 ,整理得(ａ2 ｓｉｎ2 θ +ｂ2 ｃｏｓ2 θ)·ｘ2 - 2ａｂ2… 相似文献
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一、整体代入 解某些涉及若干个量的求值题时要有目标意识 ,将题中一些已知式子视作一个整体代入运算 ,可以避免非必求的量参与运算所带来的困难或麻烦 .例 1 已知ｔａｎαｃｏｔβ =5,求ｓｉｎ(α + β)ｃｓｃ(α - β)的值 .解 :∵ ｔａｎαｃｏｔβ =5,∴ ｓｉｎ(α + β)ｃｓｃ(α - β) =ｓｉｎ(α+ β)ｓｉｎ(α- β) =ｓｉｎαｃｏｓβ +ｃｏｓαｓｉｎβｓｉｎαｃｏｓβ -ｃｏｓαｓｉｎβ=ｔａｎαｃｏｔβ + 1ｔａｎαｃｏｔβ - 1=32 .二、整体变形 对于某些问题 ,只是静止地观察整体 ,或许仍然不能取得满意的效果 ,若作整… 相似文献
20.
裘良 《中学数学教学参考》2001,(10)
广义射影定理定理 在△ＡＢＣ中 ,ＡＤ是高 ,ＡＢ =ｃ,ＡＣ =ｂ.(1 )若Ｄ在边ＢＣ上 ,则ＡＤ2 -ＣＤ·ＢＤ =ＡＣ2-ＢＣ·ＣＤ =ＡＢ2 -ＢＤ·ＢＣ =ｂｃｃｏｓＡ ;(2 )若Ｄ在ＢＣ或ＣＢ的延长线上 ,则ＡＤ2 ＣＤ·ＢＤ =ＡＣ2 ±ＢＣ·ＣＤ =ＡＢ2 ＢＤ·ＢＣ =ｂｃｃｏｓＡ .证明 :(1 )当Ｄ与Ｂ或Ｃ重合时 ,等式显然成立 .当Ｄ在ＢＣ上时 ,如图 ,记∠ＣＡＤ =α ,∠ＢＡＤ =β ,则ｃｏｓＡ =ｃｏｓ (α β)=ｃｏｓαｃｏｓβ-ｓｉｎαｓｉｎ β=ＡＤｂ ·ＡＤｃ -ＣＤｂ ·ＢＤｃ=ＡＤ2 -ＣＤ·ＢＤｂｃ .∴ＡＤ2 -ＣＤ·ＢＤ =ｂｃｃ… 相似文献