“设而不求”六例     

杨忠 《数理天地(初中版)》2008,(12)

例1已知(x/(a-b))=(y/(b-c))=(z/(c-a)),求x+ y+z的值.解设(x/(a-b))-(y/(b-c))-(z/(c-a))=k,则x=k(a-b),y=k(b-c),z=k(c-a)于是x+y+z =k(a-b)+k(b-c)+k(c-a)=0,所以x+y+z=0.以上解法中,并没有具体求出x,y,z关于a,b,c的表达式.  相似文献   

怎样证明条件等式     

李琴堂 《数学教学通讯》1986,(4)

有关证明条件等式的代数题,是一类综合性比较强的题目,如果能让学生掌握其各种不同的证明方法,对于培养他们的逻辑思维能力和熟练的技能技巧都是大有益处的。下面介绍几种证明条件等式的常用方法。一、将已知条件直接代入欲证等式例1 已知:x=(a-b)/(a b),y=(b-c)/(b c), z=(c-a)/(c a) 求证:(1 x)(1 y)(1 z) =(1-x)(1-y)(1-z) 证明:∵(1 x)(1 y)(1 z) =(1 (a-b)/(a b))(1 (b-c)/(b c))(1 (c-a)/(c a)) =2a/(a b)·2b/(b c)·2c/(c a) (1-x)(1-y)(1-z) =(1-(a-b)/(a b))(1-(b-c)/(b c))(1-(c-a)/(c a)) =2b/(a b)·2c/(b c)·2a/(c a) ∴ (1 x)(1 y)(1 z)=(1-x)(1-y)(1-z) 二、通过已知条件之间的相互变换,得出求证式。例2.设x=by cz,y=cz ax,z=ax by 试证:(a 1)x=(b 1)y=(c 1)z  相似文献   

一个数列问题的推广及应用     

吴文惠 《中学数学月刊》1998,(2)

问题 如果a,b,c成等差数列x,y,z成等比数列,且x,y,z都是正数,求证:(b-c)log_dx (c-a)loh_dy (a-b)log_dz=0.  相似文献   

数学解题的一些通法     

舒仁饶 《云南教育》1980,(2)

数学问题出现的形式形形色色,掌握解决一些类型的通法,可以提高解题技能。本文初步就几种常见的形式,提供一些思考、解题的通法,举例说明。 (一)有关连比的问题用“比值法”例1.已知:x/(a-b)=y/(b-c)=z/(c-a)(a  相似文献   

应用“当且仅当…时取等号”解题     

包志超 《数学教学通讯》1990,(3)

在关于不等式的许多命题中,都有一个“当且仅当…时取等号往往不被重视,其实,在解题时它们是很有作用的。本文介绍解题的一些例子。例1.设a,b,c是三角形的三边,则此三角形为等边三角形的充要条件是:a~2(b+c-a)+b~2(c+a-b)+c~2(a+b-c)=3abc (1) 证明:令b+c-a=x,c+a-b=y,a+b-c=z, 则z,y,z>0,  相似文献   

巧用一个等式解题     

聂宏  杜家红 《少年天地(小学)》2003,(12)

由完全平方公式,得(a-b)2=a2-2ab+b2,(b-c)2=b2-2bc+c2,(c-a)2=c2-2ca+a2,∴(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=2(a2+b2+c2+ab-bc-ca),∴a2+b2+c2-ab-bc-ca=12[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2].这是一个非常重要的等式,巧用它,某些代数题的解答可变得简易、迅捷.例1如果a=1999x+2001,b=1999x+2002,c=1999x+2003,那么a2+b2+c2-ab-bc-ca的值是().(A)1;(B)2;(C)3;(D)4.解:已知三等式两两相减,得a-b=-1,b-c=-1,c-a=2.原式=12[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]=3.例2若a、b、c是不全相等的任意有理数,且x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x、y、z().(A)都小于0;(B)都大于0;(C)至少有…  相似文献   

应用a b≥2(ab)~(1/2)中的常见错误     

莫孝柳 《天津教育》1989,(11)

不等式a b≥2(ab)~(1/2)是中学数学中一个用得很广的基本不等式,但在应用中常见一些错误,现举几例. 一、忽视了a b≥2(ab)~(1/2)成立条件而导致的错误例1 设a、b、c为正数,求证(a b c)~3≥27(a b-c)(b c-a)(c a-b) 错误证法: ∵a b c=(a b-c) (b c-a) (c a-b)>0 ∴(a b-c) (b c-a) (c a-b)≥3((a b-c)(b c-a)(c a-b))~(1/2) 即(a b c)~3≥27(a b-c)(b c-a)(c a-b) 分析:虽a>0,b>0,c>0,但a b-c,b c-a,c a-b不一定都大于0,而x y z≥3(xyz)~(1/2)的中x、y、z必须都大于0.  相似文献   

2103号问题的另证与推广     

陈建花  沈有建 《中学数学研究(江西师大)》2014,(8):26-26

上海姜坤崇老师在《数学通报》2013年第2期“数学问题解答”栏目中用柯西不等式证明了2103号问题,即：设a、b、c为△ABC的三边,x、y、z为正数,求证：x2a/b＋c-a＋y2b/c＋a-b＋z2c/a＋b-c≥xy＋yz＋zx.当且仅当x/b＋c-a=y/c＋a-b=z/a＋b-c时等号成立.经过研究,笔者通过构造函数得到如下解答：  相似文献   

一道课本习题的深化及应用     

黎建平 《数学教学通讯》1994,(5)

高中代数必修本下册 P33第9题是已知 a>b>c,求证:1/a-b+1/b-c+1/c-a>0证明:1/a-b+1/b-c+1/c-a=-a~2-b~2-c~2+ab+bc+ca/(a-b)(b-c)(c-a)=-[(a-b)~2+(b-c)~2+(c-a)~2]/2(a-b)(b-c)(c-a)  相似文献   

一道IMO试题的推广     

陈胜利 《中学教研》2003,(1):38-39

设a,b,c为三角形的三边长,证明: ∑a~2b(a-b)≡a~2b(a-b)+b~2c(b-c)+c~2a(c-a)≥0 (1) 这是第24届IMO的一道试题. 经探讨,我们得到了与(1)类似的如下不等式: ∑a~3b(a-b)≥0 (2) ∑a~4b(a-b)≥0 (3) 证令a=y+z,b=z+x,c=x+y,并记σ_1=x+y+z,σ_2=xy+yz+zx,σ_3=xyz(x,y,z>0),则∑a~3b(a-b)=∑(σ_1-x)~3(z+x)(y-x)=∑(σ_1-x)~3(σ_2-x~2-2xz)=σ_2∑(σ_1~3-3σ_1~2x+3σ_1x~2-x~3)-∑(x+2z)(σ_1~3x-3σ_1~2x~2+3σ_1x~3-x~4)  相似文献   

整式的乘除新题展示     

刘波 《中学生数理化》2007,(9)

一、变形类例1已知14(b-c)2=(a-b)(c-a)且a≠0,则b a c=.解:由已知变形,得(b-c)2=4(a-b)(c-a).∴[(a-b) (c-a)]2=4(a-b)(c-a).∴(a-b)2 2(a-b)(c-a) (c-a)2=4(a-b)(c-a),即[(a-b)-(c-a)]2=0.∴a-b=c-a,即b c=2a.又a≠0,故b ca=2.说明:若直接去括号,然后整理、变形、计算,这样不  相似文献   

△巧引妙连 再创佳绩     

程永康 《时代数学学习》1994,(4)

本刊1993年7—8期“贵多思,勤总结”一文,对题目:“已知(c-a)~2-4(a-b)(b-c)=0,求证:2b=a+c”给出了五种解法.作为前文的补充,这里再给出两种解法. 解法1 已知等式可化为(a-b)(b-c)=((c-a)~2)/4.①因为(a-b)+(b-c)=a-c,设a-b=(a-c)/2+t,则  相似文献   

“多元”问题巧处理     

刘清平 《高中生》2012,(3):29-29

代入消元法 例1已知（b-c）logmx＋（c-a）logmy＋（a-b）logmz=0,设a,b,c依次成等差数列,且公差不为零,求证：x,y,z成等比数列。  相似文献   

分式运算中的分拆变形     

秦唐  孙磊 《少年天地(小学)》2003,(12)

微笑的人是快乐的,微笑的面孔是美丽的。在进行分式运算时,如果能根据题目的结构特点,将一个分式分拆成几个分式或一些整式与分式的代数和,往往能使问题化难为易.一、逆用同分母分式的加法法则进行分拆例1当x变化时,分式3x2+6x+512x2+x+1的最小值是.解:原式=6x2+12x+10x2+2x+2=6x2+12x+12-2x2+2x+2=6-2x2+2x+2=6-2(x+1)2+1.∴当x=-1时,分式最小值是4.二、逆用通分法则进行分拆例2化简2a-b-c(a-b)(a-c)+2b-a-c(b-c)(b-a)+2c-a-b(c-a)(c-b).解:原式=(a-b)+(a-c)(a-b)(a-c)+(b-c)+(b-a)(b-c)(b-a)+(c-a)+(c-b)(c-a)(c-b)=1a-c+1a-b+1b-a+1b-c+1…  相似文献   

巧用代入法 妙求分式值     

于志洪 《山西教育(综合版)》2004,(16):30-31

一、化简代入技巧例1先化简,再求值。ba-b·a3+ab2-2a2bb3÷b2-a2ab+b2,其中a=23,b=-3。解:待求式=ba-b·a(a-b)2b3·b(b-a)=-ab=-23÷(-3)=29。二、求值代入技巧例2已知a(a-2)-(a2-2b)=-4,则a2+b22-ab=。解:∵a(a-2)-(a2-2b)=-4,∴a2-2a-a2+2b=-4,∴-2(a-b)=-4,a-b=2,故a2+b22-ab=(a-b)22=222=2。三、换元代入技巧例3如果x:y:z=1:3:5,那么x+3y-zx-3y+z=。23,则。解:设x=k,y=3k,z=5k,则x+3y-zx-3y+z=k+9k-5kk-9k+5k=5k-3k=-53。四、和积代入技巧例4已知x=樤3+樤2,y=樤3-樤2,试求2xyx2-y2+xx+y-yy-x的值。解:由题设得,x+y=2樤3,x-y=2樤2,xy=1…  相似文献   

巧用三角命题证明代数等式     

宋锦芳  张艳 《中学数学月刊》1997,(1)

在三角中有这样一个命题,若α β γ=kπ,k∈Z,则tgα tgβ tgγ=tgαtgβtgγ。现利用这一命题证明一个代数等式。 题 求证:(a-b)/(1 ab) (b-c)/(1 bc) (c-a)/(1 ca)=(a-b)/(1 ab)·(b-c)/(1 bc)·(c-a)/(1 ca)(a、b、c∈R) ①。  相似文献   

用一个代数恒等式解一类竞赛题     

审端春  徐淑琼  刘伟 《数学教学通讯》1999,(4)

利用配方法容易证明下面的代数恒等式:a~2 b~2 c~2-ab-bc-ca=1/2[(a-b)~2 (b-c)~2 (c-a)~2](*)上式左右两边关于 a、b、c 轮换对称,并且右边是三个非负数之和的一半,同时隐含着(a-b) (b-c) (c-a)=0这一条件.下面举例说明它在解一类竞赛题中的应用.  相似文献   

谈构造二次方程应注意的问题     

邹振兴 《中学数学月刊》2000,(12)

构造法是解决数学问题的常用方法.许多成功的“构造”所产生的精巧的构思、灵活的手法、优美的形象、简捷的过程,令人赏心悦目,拍案叫绝.但若构造法运用不当,也可能走弯路,产生多余的思维环节,甚至导致错误.这里仅就构造二次方程应该注意的问题作出如下分析.1　构造二次方程,应注意二次项的系数是否为零,以保证解题的周密性例　已知14(b-c)2=(a-b)(c-a)(a≠0),求b ca的值(1999年全国初中数学竞赛题).原解　此题可用构造方程法解,原式化简得:(b-c)2=4(a-b)(c-a),视(b-c),(a-b),(c-a)为一元二次方程的系数,可知一元二次方程(a-b)x2 (b-c)x (c-…  相似文献   

一道竞赛题的新证法     

李康海 《数学教学通讯》2006,(3):F0003-F0003

2005年全国高中数学联赛加试第二题为:设正数a、b、c、x、y、z满足cy bz=a,az cx=b,bx ay=c.求函数f(x,y,z)=1 x2x y21 y 1z 2z的最小值.本文给出不同于标准答案的一种简捷证明.证明:由已知得b(az cx-b) c(bx ay-c)-a(cy bz-a)=0.即2bcx a2-b2-c2=0所以x=b2 2cb2c-a2同理y=a2 2  相似文献   

因式分解十八法     

彭立欣  康美娈 《教育实践与研究》1999,(4)

[方法一]提取公因式法 例1 分解因式:5(x-y)~3—45(y-x)~2-20(y-x) 解:原式=5(x-y)~3-45(x-y)~2+20(x-y) =5(x-y)[(x-y)~2-9(x-y)+20] =5(x-y)(x-y-4)(x-y-5) [方法二]公式分解法 例2 分解因式:(a-b)~3+(b-c)~3+(c-d)~3 解:原式=(a-b)~3+(b-c)~3+[(c-b)+(b-a)]~3 =(a-b)~3+(b-c)~3-[(b-c)+(d-b)]~3 =(a-b)~3+(b-c)~3-(b-c)~3-3(b-c)~2(a-b)-3(b-c)(a-b)~2-(a-b)~3 =-3(b-c)~2(a-b)-3(b-c)(a-b)~2 =-3(a-b)(b-c)[(b-c)+(a-b)] =-3(a-b)(b-c)(c-a) =3(a-b)(b-c)(c-a)。  相似文献