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新教材的特点之一是引入向量,并且用坐标表示向量.这便为用“数”的方法,研究立体几何“形”的问题,建立了崭新的平台.1垂直用空间向量的观点处理立体几何的线面关系,把几何问题代数化,降低立体几何的难度.图1例1如图1,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,当CDCC1的值为多少时,能使A1C⊥平面C1BD?请给出证明.解:设CDCC1=x,CD=2,则CC1=2x.因为BD⊥平面ACC1A1,所以BD⊥A1C.所以只须求满足:A1C.C1D=0即可.设AA1=a,AD=b,DC=c,则A1C=a+b+c,C1D=a-c.所以A1C.C1D=(a+b+c)(a-c)=a2… 相似文献
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近日,我校高三一次练习试卷上有这样一道题：已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足（a-c）·（b-c）=0,则｜c｜的最大值是___？ 相似文献
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王小红 《中学数学教学参考》2008,(10):12-13
例（2008年浙江高考卷理科第9题）已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量．若向量c满足（a-c）·（b-c）=0,则｜c｜的最大值是（）． 相似文献
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贵刊文[1]利用向量式给出了三角形“奇心”的定义：若O为△ABC所在平面内一点,且满足1/a·OA＋1/b·OB＋1/c·OC=0（a,b,c分别为内角A,B,C的对边）,则称点O叫做AABC的奇心． 相似文献
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第一试一、填空题(每小题8分,共64分)1.已知正实数a、b、c满足(1+a)(1+b)(1+c)=8.则abc+9/abc的最小值是____.2.设O是锐角△ABC所在平面内一点(在△ABC外),CD⊥AB于点D.若→OA=a,→OB =b,→OC=c,则→OD＝____(用a、b、c表示).3.函数f(x)=│sinx+1/2sin 2x｜(x∈R)的值域是____. 相似文献
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王其钧 《数理天地(高中版)》2005,(Z1)
1.定理 设P、Q、M、N是空向任意四点,则PM2-PN2=QM2-QN2(?)PQ⊥MN. 证明 如图1,设 (PM|→)=a,(PN|→)=b,(PQ|→)=c,由PM2-PN2=QM2-QN2,得 a2-b2=(a-c)2-(b-c)2,即 a·c-b·c=0, (a-b)·c=0,所以 PQ⊥MN. 反之,若PQ⊥MN,则可逆推过去得出 PM2-PN2=QM2-QN2.于是定理得证.这个定理给出了异面直线垂直的一个充要 相似文献
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一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若向量a,b满足a=b=1,a⊥b,(2a 3b)⊥(ka-4b),则k为(A)-6(B)6(C)3(D)-32.把函数y=2x-2 3的图像按向量a平移,得到函数y=2x 1-1的图像,则a为(A)(3,-4)(B)(-3,4)(C)(3,4)(D)(-3,-4)3.在四边形ABCD中,AB·BC=0,BC=AD,则四边形ABCD是(A)直角梯形(B)菱形(C)矩形(D)正方形4.已知点O是△ABC所在平面内的一点,且(OB-OC)·(OB OC-2OA)=0,则△ABC为(A)等腰三角形(B)等边三角形(C)直角三角形(D)斜三角形5.已知0≤θ<2π,向量OP1=(c… 相似文献
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设三角形 ABC外心为 O,重心为 W,垂心为 H ,则 O,W,H三点共线 ,且 |OH |=3|OW|,这便是著名的欧拉线问题 .但平面几何证法较麻烦 ,笔者用向量坐标法去证 ,感觉过程较为简洁 .证 以外心 O为原点 ,过 O平行于 BC的直线为 x轴 ,BC的中垂线为 y轴 ,建立直角坐标系 .设 AD是 BC上的高 ,并设各点坐图 1标如下 :A(a,b) ,B(- c,d) ,C(c,d) ,H (a,y) ,则 BH =(a+c,y- d) ,AC=(c- a,d- b) ,因为 BH⊥ AC,有 BH· AC=0 ,即 (a+c) (c- a) +(y- d) (d- b) =0 ,解之得 y=- a2 +c2 +bd- d2- d+b .因为 O是外心 ,所以|OA|=|OB|=|OC|,即 a… 相似文献
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《中学课程辅导(初一版)》2005,(Z1)
一、用于求值^例1已知a=1999x 2000,b=1999x 2001,c=1999x 2002,则多项式a2 b2 c2-a b-b c-c a的值为()A.0B.1C.2D.3(2002年全国竞赛题)解题思维:由已知与所求式的结构特点,把所求式配方成(a-b)2 (b-c)2 (a-c)2的形式解之.解:由已知可得a-b=-1,b-c=-1,a-c=-2,所求式=21(2a2 2b2 相似文献
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高中数学新教材的向量内容中有一个很重要的定理 ,其应用面也比较大 ,对向量知识的进一步理解和掌握也具有积极的意义 .一、定理的叙述与证明定理 :如果不共线向量 a,b,c有公共起点 ,满足 c=λa +μb.那么三个向量的终点在同一直线上的充要条件是λ +μ =1(这里λ,μ∈ R) .证明 :如图 ,设向量 a =OA,b = OB,c =OC.必要性 :如果点 C在直线BC上 ,设 BC =λCA (λ∈ R) ,则BC = λ1+λBA所以 c=b+BC= b +λ1+λBA =b+λ1+λ( a- b) =11+λa +λ1+λb,因此 11+λ+λ1+λ=1.充分性 :如果λ+μ =1,则λ=1-μ,所以 c=( 1-μ) a +μb =a … 相似文献
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刘延彬 《中学数学研究(江西师大)》2006,(2):34-35
题目:△八工3C的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,且OH=m(OA OB OC),则实数m=(2005年河南高考OB)二O, :.(m一1)〔〕A·(OCOBZ)=0, :.(m一1)〔〕A·(OC-OB) m(OCZ数学试卷巧题) 思路一:所给问题是一个填空题特例法来解决. 解法一:令△ABC为等腰直角三角形,则O为BC中点,A与H重合,故O月二m·乙一 B(〔无A OB OC)可变为aA=m OA,.‘.m=1. 思路二:考虑利用三角形故考虑用OB)二O冷A(H)(m一1)〔无A·BC=0 同理(m一1)OB·(执一1)(扒.CA=O (m一1)OC·(〔从(m一1)OC任3A=0①(口八一OC)=0净②OC一OB)二0冷③若三角形… 相似文献
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本刊1993年7—8期“贵多思,勤总结”一文,对题目:“已知(c-a)~2-4(a-b)(b-c)=0,求证:2b=a+c”给出了五种解法.作为前文的补充,这里再给出两种解法. 解法1 已知等式可化为(a-b)(b-c)=((c-a)~2)/4.①因为(a-b)+(b-c)=a-c,设a-b=(a-c)/2+t,则 相似文献
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有些选择题、填空题计算很复杂、判断很模糊、题意很抽象,用画图促进计算是一种高效成功的方法.一、求值例1设向量a,b,c满足a+b+c=0,a⊥b,(a-b)⊥c,若|a|=1,则 相似文献
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1 定理定理 1 若A、B、C三点共线 (如图 1) ,且AC=λCB ,O为任意一点 ,则有OC =OA+λOB1+λ .证明 ∵OC =OA +AC =OA +λCB=OA+λ(OB- OC) , 图 1∴OC =OA+λOB1+λ .变式 若A、B、C三点共线 ,且AC=mn CB ,O为任意一点 ,则有OC =nOA +mOBn+m .定理 2 若OC =λOA +μOB (λ ,μ∈R) ,则A、B、C三点共线的充要条件是λ +μ =1.证明 (必要性 )如果A、B、C在一直线上 ,则存在一个实数m ,使得AC =mCB ,由定理 1得OC =OA +mOB1+m =11+m OA+m1+m OB .令λ=11+m,μ =m1+m,所以λ+μ =1.(充分性 )如… 相似文献
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熊福州 《河北理科教学研究》2015,(2):33-35
题目 已知→a,→b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量→c满足(→a-→c)·(→b-→c)=0,则|→c|的最大值是()
A.1 B.2 C.√2 D.√2/2
错解:因→a ⊥→b,所以→a·→b=0,由(→a-→c)·(→b-→c)=0得→a·→b-→c·(→a+→b)+|→c| 2 =0,即得|→c|2=→c·(→a+→b),两端平方得|→c| 4=[→c·(→a+→b)]2,|→c|4=(→c)2·(→a+→b)2,即|→c|4=(→c)2[(→a)2+(→b)2+2→a· →b],即|→c| 4=|→c|2[1+1+0],即|→c| 4=2|→c|2,|→c|2 =2,即|→c|=√2,所以,|→c|为定值,最大值和最小值都是√2,故正确选项为C. 相似文献
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2004全国高中数学联赛第4题:O为ABC内部一点,且有OA+2OB+3OC=0,则ABC的面积与AOC的面积之比为()(A)2(B)23(C)3(D)35原解OA+2OB+3OC=0可变形为(OA+OC)+2(OB+OC)=0.(*)如图1,取AC中点M,BC中点N,则OA+OC=2OM,OB+OC=2ON,代入(*)有2OM+4ON=0,OM=-2ON.∴M、O、N共线,且|OM|=2|ON|,∴S OAM=S OMC=2S ONC.设S ONC=S,则S OAM=S OMC=2S,∴S OAC=4S,S MNC=3S.∵MN为ABC中位线,∴S ABC=4S MNC=12S,∴SS OABACC=142SS=3.现提供另一种解法,并将问题推广到一般情形.另解如图2,分别延长OB到B1,OC到C1… 相似文献
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笔者最近对有心圆锥曲线的一些特殊点和线作了些研究 ,得到了一组十分有趣的性质 ,现说明如下 ,供读者参考 .定理 1 设直线l经过双曲线x2a2 -y2b2 =1(a >0 ,b>0 )的焦点F ,交双曲线的两条准线于A ,B两点 ,O是双曲线的中心 ,e是离心率 ,l的倾斜角为θ(θ∈ ( 0 ,π) ) ,则OA ⊥OB的充要条件是sinθ=1e2 .证明 由对称性 ,不妨设l的方程为y=k(x -c) (其中k=tanθ) ,将y =k(x-c)分别与x=-a2c 和x=a2c 联立 ,解得两交点A( -a2c,-a2 c2c k) ,B( a2c,a2 -c2c k) .故OA⊥OB kOA·kOB =-1 yAxA·yBxB=-1 k(a2 c2 )a2 · k(a2 -c2 )a2 =… 相似文献