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他山之石 ,可以攻玉 .在教学中 ,如果注意应用增元思想 ,往往能起到化难为易 .出奇制胜的作用 ,有助于培养学生创新思维 ,提高学生解题能力 .1 巧配对 化难为易例 1 已知α、β是方程ｘ2 +ｘ- 1=0的两根 ,求 α2β 的值 .解 由韦达定理知α +β=- 1,αβ=- 1.设Ｍ =α2β,Ｎ =β2α(配对 ) ,则Ｍ+Ｎ =β2α +α2β =α3 +β3αβ(α +β) [(α+β) 2 - 3αβ]αβ =4 ,ＭＮ =α2β· β2α =αβ =- 1,所以Ｍ、Ｎ是一元二次方程ｘ2 - 4ｘ- 1=0的两根 .解方程得Ｍ =2± 5 ,∴ α2β =2 ± 5 .例 2 若α、β是方程 ｙ2 - 2ｙ- 1=0的两根 … 相似文献
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湖北省黄冈市 2 0 0 1年中考数学试卷中设计了一道特别新颖的阅读型试题 :题目 先阅读下列第 (1)题的解答过程 .(1)已知α、β是方程ｘ2 + 2ｘ - 7=0的两个实数根 ,求α2 + 3β2 + 4 β的值 .解法 1:∵ α、β是方程ｘ2 + 2ｘ - 7=0的两个实数根 ,∴ α2 + 2α - 7=0 ,β2 + 2 β - 7=0 ,且α + β =- 2 .∴ α2 =7- 2α ,β2 =7- 2 β .∴ α2 + 3β2 + 4 β =7- 2α + 3× (7- 2 β)+ 4 β =2 8- 2 (α + β) =2 8- 2× (- 2 ) =32 .解法 2 :由求根公式 ,得α =- 1+ 2 2 ,β =- 1- 2 2 .∴ α2 + 3β2 + 4 β =(- 1+ 2 2 ) 2 +3× (… 相似文献
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所谓角的变换 ,就是通过分析已知角 (条件中的有关角 )与所求角 (结论中角 )的差异 ,然后对角进行相应的组合 .如 ,α=(α+β) -β,2α =(α+β) +(α-β) ,2 β=(α+β) -(α-β) ,α+β2 =α -β2 -α2 -β ,α-β2= α+β2 -α2 +β ,α=α+β2 +α-β2 ,90° =( 90°-α) +α等等 ,这些变换式在三角函数式的求值、化简和恒等式证明中常常采用 .本文拟从两个方面来说明角度变换是如何进行的 .一、条件求值问题把已知角看成整体 ,将所求角表示为已知角的和、差、倍、半的形式 ,再利用相关的公式求解 .例 1 已知cosα-β2 =-19,sin α2 -… 相似文献
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《高中数学教与学》2003,(10):27-33
参考公式 :三角函数的积化和差公式sinαcosβ =12 [sin(α+ β) +sin(α -β) ]cosαsinβ=12 [sin(α+ β) -sin(α-β) ]cosαcosβ =12 [cos(α + β) +cos(α-β) ]sinαsinβ =-12 [cos(α + β) -cos(α -β) ]正棱台、圆台的侧面积公式S台侧 =12 (c′+c)l,其中c′、c分别表示上、下底面周长 ,l表示斜高或母线长 .球的体积公式V球 =43 πR3,其中R表示球的半径一、选择题 (本大题共 12小题 ,每题 5分 ,共 60分 ,在每小题给出的 4个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1.(文 )直线 y=2x关于x轴对称的直线方程为 ( ) (A) y=-1… 相似文献
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颜寅 《中学生数理化(高中版)》2003,(2):34-35
58 .问 :已知ｓｅｃα -ｔａｎα =5,求ｓｉｎα. (河南西平县高中一 ( 6 )班 颜 寅 )答 :ｓｅｃα-ｔａｎα=5=5·1=5(ｓｅｃ2 α -ｔａｎ2 α) =5(ｓｅｃα +ｔａｎα) (ｓｅｃα -ｔａｎα) .故ｓｅｃα +ｔａｎα =15.与已知式联立 ,则ｓｅｃα=135,ｔａｎα=- 125.ｓｉｎα =ｔａｎαｃｏｓα =- 1213.(解答 赵振华 )59.问 :若ａ、ｂ、ｃ均是不等于 0的常数 ,求函数ｙ =(ｘ +ａ) 2 +(ｘ +ｂ) 2 +(ｘ +ｃ) 2 的最值 . (浙江天台县平桥中学高三九班 许海燕 )答 :将原函数化为 ｙ =3ｘ2 +2 (ａ +ｂ +ｃ)ｘ +(ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ) .因 3>0 … 相似文献
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《中等数学》2 0 0 2年第 2期数学奥林匹克问题高 1 1 0 :设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ+ .试证 :ａｂ2 + ｂｃ2 + ｃａ2 ≥ 1ａ+ 1ｂ+ 1ｃ.①本文推广不等式① ,得到如下命题 设ｘ1,ｘ2 ,… ,ｘｎ ∈Ｒ+ ,ｎ >1 ,αβ>0 .则ｘα1ｘβ2+ ｘα2ｘβ3+… + ｘαｎ - 1ｘβｎ+ ｘαｎｘβ1≥ｘα - β1+ｘα- β2 +… +ｘα - βｎ ,②等号当且仅当ｘ1=ｘ2 =… =ｘｎ 时成立 .证明 :(用数学归纳法 )( 1 )当ｎ =2时 ,式②左 -右 =ｘα1ｘβ2+ ｘα2ｘβ1-ｘα - β1-ｘα- β2=(ｘα1-ｘα2 ) (ｘβ1-ｘβ2 )ｘβ1ｘβ2.根据ｘ1>0 ,ｘ2 >0 ,αβ >0及幂函数… 相似文献
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韩建新 《数学大世界(高中辅导)》2004,(5):10-12
对于某些三角问题 ,若能合理地构造向量 ,利用向量来解 ,往往可使问题得到快捷方便地解决 ,下面举例说明 .一、求角度【例 1】 若α、β∈ ( 0 ,2 ) ,求满足cosα+cosβ-cos(α + β) =32 的α ,β的值 .解 :原等式化为( 1 -cosβ)cosα+sinβsinα =32 -cosβ ①构造向量a =( 1 -cosβ ,sinβ) ,b =(cosα ,sinα) ,则a·b =( 1 -cosβ)cosα+sinβsinα=32 -cosβ ,｜a｜·｜b｜= ( 1 -cosβ) 2 +sin2 β· cos2 α+sin2 α= 2 -2cosβ因 (a·b) 2 ≤｜a｜2 ·｜b｜2 ,于是有 ( 32 -cosβ) 2 ≤ 2 -2cosβ整理得 (cosβ-12 ) 2 ≤ 0 ,∴c… 相似文献
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《中学数学月刊》2003,(10)
Question 1(a) If f(x+x-1 ) =x3 +x-3 ,determine the function f(x) .(b) Solve the equation2 3 log1 0 x 5 log1 0 x =16 0 0 .(c) L etf(x) =(m2 - 1) x2 +(m- 1) x+n+2 ,(m≠ 1) ,be an odd function and m and n areconstants.Determine whether g(x) =xm +xn is an even or an odd function,or neither.Question 2(a) Express 5 sinθ+12 cosθ in the form Rsin(θ+α) ,where R is positive andα is acute.(b) If sinα+cosα=13,andα∈ (0 ,π) ,determine sin3 α- cos3 α.(c) Ues the relationship eiθ=cosθ+isinθ … 相似文献
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2001-2002年国内外数学竞赛题选解(四) 总被引：1，自引：2，他引：1
22 .设实数α、β、γ满足 βγ≠ 0 ,且1-γ2βγ ≥0 .证明 :10 (α2 + β2 +γ2 - βγ3) ≥2αβ + 5αγ .(第 19届希腊数学奥林匹克 )证明 :由于1-γ2βγ≥0 βγ( 1-γ2 ) ≥0 ,所以 ,10 (α2 + β2 +γ2 - βγ3) ≥10 (α2 + β2 +γ2 - βγ) .因此 ,只须证明10 (α2 + β2 +γ2 - βγ) ≥2αβ + 5αγ .上式等价于30 (α2 + β2 +γ2 ) ≥3( 2αβ + 5αγ + 10 βγ) .由柯西不等式 ,有( 12 + 2 2 + 52 ) (α2 + β2 +γ2 ) ≥(α + 2 β + 5γ) 2 .故只须证明 (α + 2 β + 5γ) 2 ≥6αβ + 15αγ + 30 βγ ,即 α2 + … 相似文献
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李显规 《数学大世界(高中辅导)》2006,(Z2)
【题】已知ccooss42βα ssiinn42βα=1,求证:ccooss42αβ ssiinn24αβ=1.法1(三角换元)∵ccooss2βα2 ssiinn2βα2=1,∴可设ccooss2βα=sinφ,ssiinn2βα=cosφ,则sinφcosβ cosφsinβ=cos2α sin2α=1,∴sin(φ β)=1,∴φ β=2π 2kπ,k∈Z,∴sinφ=sin2π-β 2kπ=cosβ,同理,cosφ=sinβ,∴cos2α=cos2β,sin2α=sin2β,∴ccooss42αβ ssiinn24αβ=cos2β sin2β=1.法2(巧构直线与圆相切模型)由已知Accooss2βα,ssiinn2βα,B(cosβ,sinβ)都在单位圆x2 y2=1上,圆x2 y2=1过点B的切线方程l是cosβx sinβy=1,A点也满足此… 相似文献
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樊友年 《数学大世界(高中辅导)》2004,(4):12-13
下面以三角中的几个基本公式 (定理 )的证明为例 ,谈谈向量基础知识在解题中的灵活应用 ,望能增添同学们学习向量知识的兴趣 .【例 1】 证明cos(α+β) =cosαcosβ-sinαsinβ .课本上采用解析法证明这一公式 ,学习向量后 ,运用平面向量的数量积 (内积 )证明公式显得十分简单 ,这种灵活运用新知识解决问题的思想方法毫无疑义是符合新教材编写精神的 .证 :在单位圆O中 ,设∠P1 Ox =α , ∠P2 Ox =-β ,则P1 ,P2 坐标为P1 (cosα ,sinα) ,P2 (cosβ ,sin( -β) ) .即OP1 =(cosα ,sinα) , OP2 =(cosβ ,-sinβ) .∵∠P1 OP2 =α … 相似文献
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一、根据条件直接猜想例1已知数列{an}中的各项分别为182××132,…,8n(2n-1)2(2n+1)2,…,Sn是数列的前n项和,计算可得S1=98,S2=2254,S3=4489,S4=8810.根据结果猜测Sn的表达式,并用数学归纳法证明.解由S1=1-19,S2=1-215,S3=1-419,S4=1-811,猜想Sn=1-(2n1+1)2(n缀N+).证明如下:(1)当n=1时,S1=1-312=89,等式成立.(2)设当n=k(k≥1,k缀N)时,Sk=1-(2k1+1)2成立.∵an=(2n-1)82(n2n+1)2=(2n1-1)2-(2n1+1)2,∴Sk+1=Sk+ak+1=1-(2k1+1)2+(2k1+1)2-(2k1+3)2=1-[2(k+11)+1]2.由此可知,当n=k+1时,等式也成立.根据(1)、(2)可知,等式对任何n缀N+都… 相似文献
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分析和研究初中学生的心理特点,矫正他们数学学习中的不良心理,对进一步加强基础知识教学、培养能力、发展智力、提高素质有重要意义。一、审题中的心理障碍由于初中生的年龄特征以及知识结构的限制,在初中阶段往往习惯于“静态”思维。如:若方程x2-2ax+a+6=0的两实数根为α和β,求(α-1)2(β-1)2的最小值。错解:由韦达定理,得α+β=aαβ=a+6(α-1)2+(β-1)2=α2+β2-(α+β)+2=(α+β)2-2αβ-2(α+β)+2=4α2-6a-10=4[a-34]2-494当a=34时(α-1)2(β-1)2的最小值是-494但当a=34时原方程无解。原因:审题时没有看清楚方程有实根的隐含条件是… 相似文献
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设α、β为一元二次方程ax~2 bx c=0(a≠0)的二根,利用韦达定理和恒等式α~2 β~2=(α β)~2-2αβ可求得α~2 β~2的值,进而解决一些问题。类似的恒等式还有(α-β)~2=(α β)~2-4αβ,α~3 β~3=(α β)[(α β)~2-3αβ]等。一、求代数式的值例1 a为实数,方程x~2 2x a=0的两根为α,β,求|α| |β|的值解:α β=-2,α·β=a,当△=4-4a≥0,即a≤1时,α,β为实数, 相似文献
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2005年全国初二数学竞赛中有一个问题,从这个问题的解法中不难推出两个公式,下面给出推出的过程:问题已知(2x-3)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0.求代数式a1+a2+…+a7的值.解显然x=0时,有(-3)7=a0.(1)当x=1时,(-1)7=a7+a6+…+a1+a0.(2)(2)-(1)得:a1+a2+…+a7=(-1)7-(-3)7=2186.推广一下,我们不难求得:当x=-1时,(-5)7=-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0.(3)(3)-(1)得:-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=(-5)7-(-3)7=-75938.把指数推广到n,当(2x-3)n=a0+a1x+…+anxn时,则不难得出(-3)n=a0,(4)(-1)n=a0+a1+…+an,(5)(5)-(4)得:a1+a2+…+an=(-1)n-(-3)n,(-5)n=a0-a1+a2-…+(-… 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2008,(4)
1.已知0<α<π4,β为f(x)=cos2x π8的最小正周期,a=tanα 4β,-1,b=(cosα,2),且a·b=m,求2cosc2oαs αs-ins2i(nαα β)的值.(yuodaowei@163.com)解答:由β为f(x)=cos2x 8π的最小正周期,得β=π.因a·b=m,又a·b=cosα·tanα 4β-2,所以cosα·tanα 4β=m 2.因0<α<4π, 相似文献
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集合题的常规处理方法主要有以下几种 :一、定义法【例 1】 (2 0 0 0年上海春季招生备用题 )已知集合A ={x｜x =5n+1 ,n ∈N},B ={x｜x =5n+2 ,n∈N},C={x｜x =5n+3 ,n∈N},D ={x｜x =5n+4,n∈N},若α∈A ,β∈B ,θ∈C ,γ∈D ,则 ( ) .A α2 ∈A ,β2 ∈D ,θ2 ∈D ,γ2 ∈AB α2 ∈A ,β2 ∈B ,θ2 ∈C ,γ2 ∈DC α2 ∈A ,β2 ∈C ,θ2 ∈B ,γ2 ∈AD α2 ∈B ,β2 ∈D ,θ2 ∈D ,γ2 ∈B析解 :设α =5n+1 ,n∈N ,则α2 =(5n +1 ) 2 =5 (5n2 +2n) +1 ∈A ;同理可得β2 =(5n+2 ) 2 =5 (5n2 +4n) +4∈D .θ2 =(5n+3 )… 相似文献
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要学好数学,必须学会阅读数学课本和其它数学书刊,增强自己的阅读能力,有了阅读能力,还能为终身学习以及适应全球知识爆炸、知识日新月异的社会打下坚实基础.对阅读能力的考查受到了广泛重视,许多地方的中考试卷中特地设置了阅读题.例1(沈阳市2004年)阅读下列解题过程:题目:已知方程x2+3x+1=0的两个根为α、β,求αβ姨+βα姨的值.解∵△=32-4×1×1=5>0,∴α≠β.(1)由一元二次方程的根与系数的关系,得α+β=-3,αβ=1.(2)∴αβ姨+βα姨=α姨β姨+β姨α姨=α+βαβ姨=-31=-3.(3)阅读后回答问题:上面的解题过程是否正确?若不正确,指出… 相似文献
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正一、利用公式C0n+C1n+C2n+C3n+…+Cn n=2n求和1.直接利用公式例1求和C1n+C3n+C5n+…解由于奇数项之和与偶数项之和相等,因此奇数项之和等于所有项之和的一半.所以C1n+C3n+C5n+…=1/2×2n=2n-1.2.由公式Cr n=Cn-r n进行转化例2求和1+2C1n+3C2n+…+(n+1)Cn n.解设S=1+2C1n+3C2n+…+(n+1)Cn n,其倒序和为S=(n+1)Cn n+nCn-1n+…+2C1n+1.考虑到Cr n=Cn-r n(0≤r≤n),将以上两式相加得2S=(n+2)C0n+(n+2)C1n+…+(n+2)Cn n=(n+2)·2n,所以S=(n+2)·2n-1 相似文献