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1.
函数是中学数学研究的最主要的内容之一,函数的思想方法贯穿于整个高中数学.运用函数思想解题,重在对问题中的变量的动态进行研究,从变量的运动变化寻找解题的突破口.函数和方程在一定条件下可以互相转化,本文通过转化,多角度利用函数思想确定一类方程中的参数,下面举例说明.例1若方程a x=x a的根只有一个,求实数a的取值范围.解法一(1)a=0时,方程有唯一根x=0;(2)a≠0时,原方程等价于x=x/a 1.方程根的个数等于函数y=x与函数y1x1=a .图象的交点个数.函数y=x图象为折线,函数y=x/a 1图象为过定点(0,1)的直线,可得1/a≥1或1/a≤?1时两函数图象有… 相似文献
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李侠 《数理化学习(高中版)》2010,(8)
通常函数与方程思想在解题中的应用主要表现在两个方面:许多有关方程的问题可以用函数的方法解决;反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决.一、解函数、方程问题解方程f(x)=0就是求函数f(x)当函数值为零时自变量x的值;求方程f(x)=g(x)的根或根的个数就是求函数y=f(x)与y=g(x)的图象的交点横坐标或交点个数. 相似文献
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数形结合思想方法是中学数学教学中的重要思想方法之一.本文谈谈自己利用数形结合思想解决数学问题的教学尝试.一、利用数形结合解决方程问题将方程两边分别视为两个函数的解析式,通过考查这两个函数的图象,可以很直观地得到问题的解答.例1方程√｜1-x2｜=x-a有两个不相等的实数根,求a的范围.解:原方程的解可视为函数y=x-a(y0)与函数y=√｜1-x2｜的图象交点的横坐标.y=x-a(y0)的图象为平行于y=x的直线簇,y=√｜1-x2｜的图象是由半圆y2=1-x2和等轴双曲线x2-y2=1(y0)在x轴以上的部分的图象.由图1知,0相似文献
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李彦龙 《数学大世界(高中辅导)》2005,(5):16-16,21
三次方程的根的个数,该如何求呢?利用导数,便可以解决.下面讨论:方程ax3 bx2 cx d=0(a>0)的根.分析:函数y=ax3 bx2 cx d的图象与x轴有几个交点,方程便有几个根.解:由题意得:f′(x)=3ax2 2bx c∵a>0∴y=f′(x)图象开口向上,且Δ=4b2-12ac(1)当Δ>0时,即4b2-12ac>0,b2>3ac时∴方程f′(x)=0有两个不同的实根,x1,x2不妨设x1x2时f′(x)>0,x1相似文献
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关于x的含参数a的方程f(x,a)=0,在一定条件下可确定a为x的隐函数。若方程能转化为x在某区间上的显函数a=g(x)形式,那么,解这类含参数方程f(x,a)=0,可通过观察直线a=p(p为常数)与a=g(x)的图象的公共点的情况,便能获得方程f(x,a)=0的解的个数及相应参数的取值范围。这一解题思想方法可简化解题过 相似文献
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1问题研究关于x的方程ax=xα(a>0且a≠1,α≠0,x>0)根的个数.为了研究方便,这里我们仅考虑x>0时的情况.下面给出两个处理方案:方案1转化为研究指数函数y=ax与幂函数y=xα(x>0)图象的交点个数. 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2019,(11)
<正>如果函数y=f(x)在x=a处的函数值等于零,即f(a)=0,则称a为函数y=f(x)的零点,因此函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的根。函数的零点把函数和方程紧密地联系在一起。函数的零点是函数的一个重要性质,在分析解题思路、探究解题方法中发挥着重要作用。一、利用函数零点研究方程的根由于函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的根,所以在研究方程的有关问题(比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等)时,都可以将方程问题转化 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2017,(12)
<正>涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题,一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,再借助函数的大致图像判断零点、方程根、交点的情况,归根到底还是研究函数的性质,如单调性、极值,然后通过数形结合的思想找到解题的思路。例(2016年高考江苏卷)已知函数f(x)=ax+bx+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1)。设a=2,b=1/2。 相似文献
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绝对值是初中数学中的重要概念 .掌握了绝对值概念和一元一次方程知识之后 ,就可解一些比较简单的绝对值方程 ,这是初中数学竞赛中常见题型 .现在我们例举常用方法 ,介绍绝对值方程的解题思路 .一、运用 | x| =a (a为非负数 ) ,则 x =± a例 1 (第一届“希望杯”初一竞赛题第二试试题 )方程 |1990 x - 1990 |=1990的根是 .解 :方程两边同除以 1990 ,可化简得 :|x - 1|=1,去掉绝对值号 ,可得 x - 1=± 1,∴ x1=2 ,x2 =0 (注意 :这两根都适合 )例 2 (太原市 1992年初中数学竞赛题 )方程||2 x - 1|- 1|=2的解的个数是 ( )( A) 1. ( … 相似文献
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白建华 《山西教育(综合版)》2005,(1)
函数思想就是把字母看作变量,把代数式看作函数,利用函数的图象和性质、导数等工具去分析问题、转化问题,从而使问题得到解决. 方程思想就是分析数学问题中变量间的数量关系,建立方程或方程组,通过解方程或方程组,或运用方程的性质去分析、转化问题,使问题得到解决.方程思想与函数思想密切相关.对函数y=f(x),当y=0时,就转化为方程f(x)=0;也可以把函数y=f(x)看作二元方程y-f(x)=0.函数与方程的这种相互转化十分重要. 函数与方程思想,几乎渗透到高中数学的各个领域,在解题中应用非常广泛,也是历年高考的热点. 一.把代数式看作函数,利… 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2008,(9)
如果函数y=f(x)在x=a处的函数值等于零,即f(a)=0,则称a为函数y=f(x)的零点,因此函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的根.函数的零点把函数和方程紧密地联系在一起,函数的零点是函数的一个重要特性,在分析解题思路、探求解题方法中发挥着重要作用,有些看似复杂的问题,借助零点都能迎刃而解.本文举例探讨函数零点在解题中 相似文献
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<正>一般地,使函数y=f(x)的值为0的实数x称为函数y=f(x)的零点.因此,函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根.从图象上看,函数y=f(x)的零点就是它的图象与x轴交点的横坐标.一般地,若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线且f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点.我们经常会遇到函数与方程的有关问题,下面我们看这样几个题目. 相似文献
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在求解三角函数有关问题时,如果能利用三角函数的图象特征解题,将起到事半功倍的作用.下面举例说明.例1如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=π8对称,那么a=.解析:利用正弦余弦函数的图象当自变量取对称轴时函数值取得最大或最小值这一特征得:|sin2.π8+acos2.π8|=a2+1=|22+22a|,解得a=1.例2已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R)(A>0,ω>0,-π<φ≤π)的图象在y轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为M(2,22),与x轴在原点左侧第一个交点为N(-1,0),求函数f(x)的解析式.图1解析:由y=sinx的图象可知,从图象与x轴的交点到达图象最高点(在同… 相似文献
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函数的零点是新课标新增内容之一,是函数的重要性质,它是沟通函数、方程、图象的一个重要媒介.因此处理函数零点问题时,需充分运用等价转化、函数与方程、数形结合等思想方法.
函数零点常用等价关系：
1.函数y=f（x）有零点方程f（x）=0有实数根函数y=f（x）的图象与x轴有交点. 相似文献
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20 0 4年全国高考上海卷第 2 0题是一个有关函数与方程的综合性问题 ,命题组分别给出了用函数思想 (数形结合 )和方程方法解答的两种参考答案 .本文给出导数解法 ,并将该问题推广 .试题 已知二次函数 y =f1 (x)的图象以原点为顶点且过点 ( 1,1) ,反比例函数y= f2 (x)的图象与直线 y=x的两个交点间的距离为 8,f(x) =f1 (x) f2 (x) .( 1)求函数y=f(x)的表达式 ;( 2 )证明 :当a >3时 ,关于x的方程f(x) =f(a)有三个实数解 .由于本题的第 ( 1)小题是常规问题 ,不作讨论 ,本文只探索第 ( 2 )小题 .1 与函数思想相结合的导数解法解法 1 由 ( 1)… 相似文献
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《初中数学教与学》2021,(5)
<正>我们知道,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根;反之,一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根;反之,一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根是二次函数y=ax2+bx+c=0 (a≠0)的根是二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象与x轴交点的横坐标.在求解相关问题时,它们之间的这种关系如果能够灵活地运用,则不仅可以使解题过程大为简化,而且还可以获得巧解.下面举例说明.一、判断二次函数图象与x轴的交点情况 相似文献
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零点定理是必修1(人教版)的内容,是新教材新增的一个重要定理,有着广泛的应用.什么是零点呢?对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.零点定理:如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且满足f(a).f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c 相似文献
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何苗 《中学生数理化(高中版)》2006,(6)
单调性是函数重要的性质,判断函数单调性应看函数的图象.从左向右,若图象上升,则函数递增;若图象下降,则函数递减.用定义证明函数单调性的方法是作差比较法,要在证明的区间内设任意x10;(2)a<0.(此题为高中课本习题)分析:投石问路,取a=1时,函数y=x3的图象如右图,观察图象知,在R内x增大y增大.猜测当a>0时,函数y=ax3在R上是增函数.(1)证法1:设任意-∞相似文献