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圆中线段的比例式或等积式的证明，通常是应用平行线分线段成比例定理、射影定理、相似三角形的性质、相交弦定理及推论、切割线定理及推论来解决．例1已知，如图1，△ABC是圆O的内接三角形，圆O的直径BD交AC于E．AF⊥BD于F，延长AF交BC于G。求证：AB2＝BG·BC．（1993年北京市中考题）分析要证明AB2＝BG·BC，只须证这显然是要证明△ABG∽△CBA·由题意知BH是圆O的直径，且AF⊥BD，故连结AH可得∠1＝∠D．又∠D＝∠C，所以∠C＝∠1，并且∠ABG＝∠CBA是公共角．于是△ABG∽△CBA结论得进．（证明过程略）例2如图… 相似文献
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一、原题再现题目(苏科版《数学》八(下)练习)如图1,在△PAB中,点C、D在边AB上,PC=PD=CD,∠APB=120°,△APC与△PBD相似吗?为什么?略解本题由PC=PD得出∠ACP=∠PDB,利用三角形内角和定理与推论得出∠A+∠B=60°,∠A+∠APC=60°,得出∠B=∠APC,从而判定△APC∽△PBD.点评本题容易得出∠ACP=∠PDB, 相似文献
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弦切角定理是圆中级为重要的一个定理．应用十分广泛，在中考试题中出现的频率很高．为帮助同学掌握好这个定理的应用，特以1994年中考题为例，介绍它的应用．一、证两角相等例1如图1，AB是圆O的直径，点D在AB的延长线上，DC切圆O于C，CE⊥AB于几求证：（B平分∠DCE．（1994年武汉市中考题）分析注意到CD是圆O的切线，∠DCB＝∠A，欲证∠DCB＝∠ECB，只须征∠ECB＝∠A．∵∠ACB＝∠CEB＝90°，∴∠ECB＝90°－∠ABC＝∠A，问题获证．二、证等边三角形例2如图2，圆O的弦AB的延长线和切线EP相交于P，E为切点，∠APE的… 相似文献
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学习了三角形全等的判定以后，可以利用全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等，对应角相等）解决许多类型的几何问题，如下面几例．一、证明线段相等例1在△凸ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分钱交AC于E，交BC边上的高于D，过D作直线平行于BC交AC于F．求证：AE＝CF．证明如图1，作DM⊥AB交AB于M，作FN⊥EC交BC于N．∵BE是∠B的平分线．二、证明角相等例2如图2，已知AC＝AB，DE＝DB，∠CAD＝∠EDA＝60°．求证：∠AFB＝∠BGC证明∵AC＝AB，DE＝DB，又∠CAD＝∠EDA＝60°，．．bABC和凸BDE都是等边三角… 相似文献
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几何学习中，有时会遇到一类与三角函数有关的证明问题。解答此类问题的关键在于利用或构造直角三角形，将三角函数转化为线段的比加以考虑。例１如图△ABC中，以BC为直径的⊙O和AB、AC分别交于D、E。求证：DE＝BC·cos∠A。证明：连BE，因为BC为⊙O的直径，则∠BEC＝９０°，从而△ABE为Rt△，cos∠A＝AEAB。∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB。∴AEAB＝DEBC。又∵cos∠A＝AEAB，∴DE＝BC·cos∠A。例２如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为D，C在⊙O上。求证：ctg２∠BOC２＝ADBD。证明：由… 相似文献
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姚宜如 《初中生世界(初三物理版)》2003,(17)
在一些涉及相似三角形的几何证明题中，有关面积之比的重要性质在证题中发挥着重要的作用．灵活运用面积比，可以巧证几何题．例１如图１，已知：△ABC中，∠C＝９０°．求证：AC２＋BC２＝AB２．这是大家熟悉的勾股定理．它的证明方法很多，利用相似三角形的面积之比进行证明，是其中一种较好的证明方法．证明：作CD⊥AB于D．∵∠ACB＝９０°，CD⊥AB，∴△ACD∽△CBD∽△ABC．∴S△ACDS△ABC＝AC２AB２，S△CBDS△ABC＝BC２AB２．∴AC２AB２＋BC２AB２＝AC２＋BC２AB２＝S△ACD＋S△CBDS△ABC＝１，∴A… 相似文献
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有些几何题，若能根据题目内容，运用补形法构造出特殊的四边形，不仅可使解题过程简洁明了，而且有助于培养学生的开拓意识和创造性思维．一、构造平行四边形例１如图１，已知在六边形ABCDEF中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F，且AB＋BC＝１１，AF－CD＝３，求BC＋DE的长．解：延长FA、CB交于点G，延长FE、CD交于点H．由题意知，BC∥EF，CD∥AF，易证△ABG和△DEH均为等边三角形，四边形FGCH为平行四边形．于是有GA＋AF＝CD＋DH，∴AF－CD＝DH－GA＝DE－AB．∵AF－CD＝３，故DE－AB＝３．因AB＋BC＝１１… 相似文献
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几何题中有不少问题的证明都是通过全等三角形来实现的．这里，如何构造全等三角形自然成为解决问题的关键．本文就角平分线条件构建全等三角形谈些思路．思路Ｉ过已知边上一点作角平分线的垂线，延长此垂线段与另一边相交得全等三角形，例１如图１，在西△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝３∠Ｃ，∠Ａ的平分线为ＡＤ，ＢＰ⊥ＡＤ，Ｐ是垂足．求证：ＢＰ＝１／２（ＡＣ－ＡＢ）．证明延长ＢＰ交ＡＣ于Ｑ．∵ＡＰ平分∠ＢＡＣ，且ＡＰ⊥ＢＱ，∴Ｒｔ△ＡＰＢ≌Ｒｔ△ＡＰＱ．∵∠１＝∠２，∴∠ＡＢＣ＝∠１＋∠３＝∠２＋∠３＝（∠３＋∠Ｃ）＋∠３＝… 相似文献
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在有关三角形的证明题中，经常出现求证一个三角形为等边三角形的问题．等边三角形是一类极特殊的三角形，具有许多特殊的性质，而课本对其判定方法未详细讲述，所以许多同学证明这类问题时不得其法．本文举例总结一些常见的证明方法．一、证三边都相等（运用定义证明）例1如图1，在等边三角形ABC的三边上分别取点D、E、F，使AD＝BE＝CF求证：△DEF是等边三角形．证明∵△ABC是等边三角形．∴AB＝ BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°∴AD＝BE＝CF，∴AF＝BD＝CE∴DE＝EF＝FD，即△DEF是多边三角形．二、证三个角都相等例2△A… 相似文献
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先看一个题目：已知：如图１，AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝１２０°．求证：１AB＋１AC＝１AD．分析：求证结论是一个形式优美的等式，可以采用常见的策略，变等式．两边同乘AD，得ADAB＋ADAC＝１，用比例线段来证明．证明：过点D作DE∥AC，交AB于点E，则∠２＝∠３．∵∠１＝∠２＝１２∠BAC＝１２×１２０°＝６０°，∴∠１＝∠３＝６０°．∴AE＝ED＝AD．由ED∥AC，得EDAC＝BEAB．∴ADAC＝AB－ADAB．∴ADAB＋ADAC＝ADAB＋AB－ADAB＝ABAB＝１．∴１AB＋１AC＝１AD．仔细观察求证的等式，若令AB… 相似文献
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在解题过程中，先观察联想，探求解题思路，寻找条件和结论之间的联系，再从广度和深度上发掘所解题目的内涵.在解题之后，作探索性的变化，形成一个题组、一个系列,这样训练对提高解题能力很有好处.例１如图１，已知⊙O与⊙A相交于B、C两点，⊙O经过点A，过A作⊙O的弦AF交BC于D、⊙A于E.求证：AB２＝AD·AF．观察分析要证AB２＝AD·AF，只要证△ABD与△AFB相似即可.证明连接FB、AC，∵AB＝AC∴A B＝A C，∴∠BFA＝∠CBA．又∵∠BAF＝∠DAB，∴△ABD∽△AFB．初中生之友∴ABAD＝AFAB．∴AB２＝AD·AF．解题… 相似文献
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马善明 《初中生世界(初三物理版)》2003,(17)
解几何题有时要作辅助线，作辅助线的方法甚多，因题而异．本文试图通过实例说明怎样捕获题目和图形所提供的信息，采取“补形”的方法，实现题设信息和结论信息间的逻辑沟通，从而完成解题任务．ABCD中，∠A＝６０°，∠B＝∠D＝９０°，BC＝２，CD＝３，求AB．信息源：∠A＝６０°，∠B＝∠D＝９０°．产生信息：６０°角作为直角三角形的一个锐角时，直角三角形三条边的比是l∶３√∶２．补全图形：①延长AD交 BC的延长线于E．或②延长AB交DC的延长线于F．略解：由CD＝３，∠DCE＝∠A＝６０°，∠CDE＝∠… 相似文献
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大家都知道，三角形三个内角的和等于１８０°．对于这个定理的证明，除了课本所介绍的外，还有其他的证法．看一看，以下证法你能想到吗？已知：△ＡＢＣ．求证：∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝１８０°．证法１如图１所示，过点Ａ作ＡＥ／／ＢＣ，则∠１＝∠Ｃ．∠Ｂ＋∠ＢＡＥ＝１８０°（两直线平行，同旁内角互补）．而∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＣ＋∠１，所以∠Ｂ＋∠ＢＡＣ＋∠Ｃ＝１８０°（等量代换）．证法２如图２，过点Ａ作ＥＤ／／ＢＣ，则∠Ｉ＝∠Ｂ，∠２＝∠Ｃ．而∠１＋∠ＢＡＣ＋∠２＝１８０°（平角定义），所以∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠ＢＡＣ＝１８… 相似文献
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人教版初中《几何》第二册有这样一道习题：“如图１，△ABC和△CDE都是等边三角形，求证：AD＝BE．”此题看似平常，但只要我们对其作深入挖掘，便能得出一系列结论，这对于激发同学们的学习兴趣，培养同学们的思维能力是极为有益的．证明过程如下：在△ACD和△BCE中，AC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝１２０°，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE．∴∠１＝∠２，AD＝BE．一、条件不变，拓宽结论在条件不变的前提下，我们可从这道题引出下面一些结论：（１）CM＝CN；（２）△CMN为等边三角形；（３）MN∥BD；（４）∠AFE＝１２０°．分… 相似文献
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张成元 《初中生世界(初三物理版)》2002,(32)
三角形的内角和定理及其推论以及周角等于３６０°的结论，在求解几何应用问题中有着广泛的应用．下面举两例以增强同学们的数学应用意识．例1一个零件的形状如图１，按规定∠A应等于９０°，∠B、∠C应分别是２１°和３２°，检验工人量得∠BDC＝１４８°，就断定这个零件不合格，这是为什么？（１９９９年宁夏中考试题）解：延长BD交AC于M，或延长CD交AB于N，利用三角形内角和定理的推论可得，∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C．若零件合格，则∠A＝９０°，∠B＝２１°，∠C＝３２°，∴∠BDC＝９０°＋２１°＋３２°＝１４３°．而检… 相似文献
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三角形中位线定理和梯形中位残定理分别揭示了三角形的中位线与第三边及梯形的中位线与上、下底之间的位置关系和数量关系．应用这两个定理既可以判定两线段的平行关系又可以确定线段之间的信半关系与和差关系．它们在几何证题中有着举足轻重的作用．现举例说明，供参考．例1如图1，已知AF是△ABC中∠A的平分线，D为BC的中点，CE⊥AF于E，BF⊥AF于F．求证：DE＝DF．分析要证DE＝DF ∠DEF＝∠DFE．因为∠DEF与∠BAF是同位用，∠DFE与∠CAF是内错角，且∠BAF＝∠CAF，所以，要证∠DEF＝∠DFE DE／／BA且DF／／A… 相似文献
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证明三角形全等一般有下面三种思路．一、两个三角形中，已知两边对应相等，需证出它们的夹角对应相等，或者第三边对应相等．例１已知：如图１，Ｂ为ＡＣ的中点，ＢＥ=ＢＤ，∠１=∠２．求证；∠Ａ=∠Ｃ．分析显然需证△ＡＢＥ≌△ＣＢＤ，已有ＡＢ=ＢＣ，ＢＥ=ＢＤ，还需要证明它们的夹角∠ＡＢＥ=∠ＣＢＤ，而∠１=∠２，它们的夹角相等是显然的．证明∠１＝∠２（已知），∠１＋∠３＝∠２＋∠３（等式性质），即∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＤ．在△ＡＢＥ和△ＣＢＤ中，ＡＢ＝ＢＣ，ＢＥ＝ＢＤ，∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＤ，△ＡＢＥ≌△ＣＢＤ（ＳＡＳ… 相似文献
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证明共线的四条线段的等积式，一般都要进行代换．本文列举用不同形式代换的五种方法．一、利用相等的线段代换例１如图１，过圆心O的直线l垂直于弦AB，交⊙O于D、M两点，作⊙O的另一条弦AE，并延长交l于点C，连结BE交DM于点F．求证：OD２＝OC·OF．分析：OD是⊙O的半径，可用半径OE代换OD，证OE２＝OC·OF，即证△OEF∽△OCE．证明：作直径EN，连结BN，则∠EBN＝９０°，故∠N＋∠BEN＝９０°；又∠A＋∠C＝９０°，∠A＝∠N，所以∠C＝∠BEN；又∠EOF是公共角，所以△OEF∽△OCE，OE∶OC＝OF∶OE．∴OE２… 相似文献