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在直角坐标系中 ,若以原点为极点 ,ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系 ,那么可得两坐标系下圆锥曲线的方程对应如下 :ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1 1ρ2 =ｃｏｓ2 θａ2 ｓｉｎ2 θｂ2 ;ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1 1ρ2 =ｃｏｓ2 θａ2 - ｓｉｎ2 θｂ2 ;ｙ2 =2ｐｘ ρ=2 ｐｃｏｓθｓｉｎ2 θ .我们称上述极坐标方程为圆锥曲线的非统一极坐标方程 ,其中 ρ的几何意义是 :圆锥曲线上的点与极点所连线段的长 .利用这一特性求解与圆锥曲线上的点与极点所连线段有关的圆锥曲线问题干净利落 .例 1 如图 1,已知直线ｌ过坐标原点 ,抛物线Ｃ的顶点在原点 ,焦点在ｘ… 相似文献
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圆锥曲线的定义的应用、方程及性质是高中解几的重点,也是难点.如何解圆锥曲线的综合问题呢?除了注重利用基本知识、基本概念外,还应注意以下四个方面: 1 灵活应用定义(几何意义)及图形解决问题 圆锥曲线定义是解决问题的出发点,涉及到抛物线的焦半径、焦点弦问题可以优先考虑利用抛物线定义转化为点到准线的距离,这样可以使问题简单化. 例1若(3,2)A,F为抛物线22yx=的焦点,P为抛物线上的任意点,求||||PFPA 的最小值及取最小值时的坐标. 解 抛物线2y= 2x的焦点(1/2,0)F, 准线为1/2x=-.如图, 设P到准线的距离为 ||PH,则||||PHPF=, 因此… 相似文献
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高中课标教材(人教A版选修2-1)P69例4是一道耐人寻味的题目,给人以角度多,思维入口宽的探索空间,具有着推理、探究、拓展的问题价值.斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A、B两点,求线段AB的长.1.问题的求解思路思路1将直线方程与抛物线方程联立,可以求出A、B两点坐标,利用两点间的距离公式求出 相似文献
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直线与圆锥曲线的位置关系问题涉及到解析几何主要研究对象 ,所用到的知识点较多 ,综合性强 .这里介绍的是一类直线与圆锥曲线相交问题的处理方法 .例 1 已知椭圆Ｃ中心在坐标原点 ,与双曲线ｘ2 -3ｙ2 =1有相同的焦点 ,直线ｙ =ｘ+1与椭圆Ｃ相交于Ｐ、Ｑ两点 ,且ＯＰ⊥ＯＱ ,求椭圆Ｃ的方程 .分析 本题是有关直线与椭圆的交点问题 ,一般方法是将直线方程代入到椭圆方程 ,消元得ｘ(或ｙ)的一元二次方程 ,利用韦达定理和已知条件 (本题是ＯＰ ⊥ＯＱ) ,结合椭圆Ｃ与双曲线的焦点之间的关系求出椭圆方程 ,这是解决有关直线与圆锥曲线相交问题… 相似文献
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一、求弦长 求直线与圆锥曲线相交所截得的弦长，可以联立它们的方程，解方程组求出交点坐标，再利用两点间距离公式即可求出，但计算比较麻烦．实际上，不求出交点坐标，利用韦达定理，可得应用方便的弦长公式： 相似文献
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《数学通报》2 0 0 3年第 4期刊登了王申怀先生关于圆锥曲线是椭圆、双曲线和抛物线的一种解析证明 ,读完深受启发 .本文再给出一种更加直观易懂的解析证明 ,和读者一起分享圆锥曲线的解析含义 .椭圆、双曲线、抛物线之所以称为圆锥曲线 ,是由于它们是直圆锥面和平面相交的曲线 .为了从解析的观点说明这一事实 ,我们首先建立空间坐标系 ,为方便起见 ,选坐标原点O在直圆锥的顶点 ,z轴为对称轴 ,设直圆锥的母线与对称轴的夹角为α ,准线方程为x2 +y2 +z2 =r2z =h (0 相似文献
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在今年高三数学圆锥曲线一章的复习过程中有这样两道题目.题目1如图1,抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上.(Ⅰ)写出该抛物线的方程及其准线方程;(Ⅱ)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求y1+y2的值及直线AB的斜率. 相似文献
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在数学教学中 ,加深对数学概念的理解是培养学生的解题能力的主要环节 ,也是教学中的重点 .在解析几何的学习中经常遇到求圆锥曲线的一般方程、轨迹以及与圆锥曲线的焦点、准线、焦半径、离心率等有关的问题 ,若直接利用圆锥曲线的定义 ,并结合三角、平面几何的知识 ,解这类问题就比较简单 .1 求圆锥曲线的一般方程例 1 求焦点是 F(3,- 3) ,准线是 y=1的抛物线的方程 .解 :设 P(x,y)为所求抛物线上的任意一点 ,则由抛物线的定义得(x- 3) 2 (y 3) 2 =|y- 1 |,两边平方并整理得 (x- 3) 2 =- 8(y 1 ) .此即为所求抛物线的方程 .2 求轨迹方… 相似文献
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《解析几何》(必修 )第 1 0 1页介绍了抛物线的通径 :经过抛物线y2 =2px的焦点F ,作一条直线垂直于它的对称轴 ,和抛物线相交于P1 、P2 两点 ,线段P1 、P2 叫做抛物线的通径 .类似的 ,我们也可以定义椭圆和双曲线的“通径” :过椭圆 (双曲线 )的焦点 ,作垂直于长轴 (或实轴 )的直线 ,则直线被椭圆 (双曲线 )截得的线段叫做椭圆 (双曲线 )的“通径” .不难求出抛物线的通径长为 2p ,椭圆和双曲线的“通径”长都是2b2a .圆锥曲线的“通径”是一条重要的线段 ,值得我们重视 .现举例说明如下 :一、“通径”在高考中的体现【例 1】 ( 1 995年… 相似文献
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石小胜 《数理化学习(高中版)》2014,(7):57-57
直线与圆锥曲线相交问题一直是高考的热点和难点,其中有不少题都直接或间接涉及到有关弦长问题,且部分学生在求解有关弦长问题的时候,只会机械的套用弦长公式,造成解题运算量大,不能有效的解决这类问题。下面就弦长的本质,弦长公式,焦点弦,圆的弦长四个方面来探寻解决弦长问题的思路。一、利用两点距离公式直接求解图1例1如图1,设抛物线y2=2px（p＞0）,Rt△AOB内接于抛物线,O为坐标原点,AO⊥BO,AO所在的直线方程为y=2x,｜AB｜=5√13,求抛物线方程。 相似文献
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极坐标的应用十分广泛,涉及圆锥曲线焦点弦的有关问题,可建立焦点极坐标系,利用椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程ρ=ep/1-ecosθ,或建立直角坐标系,运用坐标关系x=ρcosθ y=ρsinθ,把问题转化为极坐标,用极坐标法解.此法使问题化难为易、化繁就简,具有解法新颖巧妙、过程简单等特征. 一、求值问题:求圆锥曲线焦点弦长,与焦点弦有关的角、线段、点线距离、图形面积等,用极坐标法解,可避免解方程组求交点坐标、运用直标公式作繁琐运算. 例1 椭圆长轴|A_1A_2|=6,焦距 相似文献
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1．了解三类圆锥曲线——椭圆、双曲线、抛物线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2．掌握椭圆、双曲线的第一定义．会用定义解决简单的轨迹问题．3．掌握圆锥曲线的标准方程,会求中心在坐标原点。对称轴为坐标轴的圆锥曲线的标准方程． 相似文献
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有关圆锥曲线弦的二端点与原点连线的斜率问题 ,涉及解析几何中许多重要的知识点 ,在各种考试的试题中经常出现 .若用常规方法解决 ,运算量大、过程冗繁 .本文通过实例介绍这类问题的一种简捷解法 .例 1 (1993年上海市高考试题 )抛物线 ｙ=- 12 ｘ2 与过点Ｍ(0 ,- 1)的直线ｌ相交于Ａ、Ｂ两点 ,Ｏ为坐标原点 .若直线ＯＡ与ＯＢ的斜率之和为1,求直线ｌ的方程 .解 设直线ｌ的方程为 ｙ =ｋｘ- 1,即 1=ｋｘ-ｙ .代入抛物线方程 2 ｙ· 1+ｘ2 =0得 2ｙ(ｋｘ- ｙ) +ｘ2 =0 .整理后两边同时除以ｘ2 ,有 2 (ｙｘ) 2 - 2ｋ· (ｙｘ) - … 相似文献
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直线和圆锥曲线相交的问题是解析几何中的重要内容之一,也是高考的热点内容.韦达定理在解决此类问题中起着重要作用,特别是在解决有关弦长、两条直线互相垂直、弦中点、对称、轨迹、定点问题时能化难为易,化繁为简. 1 韦达定理在圆锥曲线有关弦长方面的应用 例1 已知抛物线 24yx=的顶点为O, 点A(5,0)倾斜角为/4p 的直线l与线段OA相 交,但不过O,A两点,且 交抛物线与M,N两点, 求△AMN面积最大时,直线l的方程. x O y A N M 解 设直线l的方程为yxb= .联立方程yxb= 和24yx=,得22(24)0xbxb - =.由0D>,得1b<. 设1122(,),(,)MxyNxy,则 2121… 相似文献
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圆锥曲线切线的有关问题,一般都是从曲线上的切点来讨论的。求圆锥曲线的切线方程,总是先求出切点坐标,再求出其方程,本文想用待定系数法来解与二次曲线切线有关的问题,解法上的特色是并非一定先求出切点坐标. 例1 求分别过点(2,3~(1/2))与(0,1)的双曲线的切线方程。解设所求的切线方程为 Ax By=C(1) 由x~2-y~2=1 Ax By=C 得(B~2-A~2)x~2 2ACx-C~2-B~2=0 此方程有重根的条件是 A~2-B~2=C~2(2) 过点(2,3~(1/2))的切线方程,由(1)得 相似文献
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直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题,是解析几何中的重要内容之一,也是高考的一个热点问题.这类问题一般有以下三种类型:(1)求中点弦所在直线方程问题;(2)求弦中点的轨迹方程问题;(3)求弦中点的坐标问题.其解 相似文献
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<正>直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题是解析几何中的重要内容之一,也是高考的热点问题,这类问题一般有以下几种类型:(1)求中点弦所在的直线方程问题;(2)求弦中点的轨迹方程问题;(3)弦长为定值时,弦的中点坐标问题等.其解法有点差法、待定系数法、参数法以及中心对称变换法等,但最常用的方法为点差法和待定系数法.一、求中点弦所在直线方程问题【例1】已知一直线与椭圆x24+y22=1交于A、B 相似文献
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蔡上鹤 《中学数学教学参考》2001,(12)
156.求轨迹方程的基本方法是什么 ?答 :轨迹是动点按照一定的规律即轨迹条件运动而形成的 ,这个轨迹条件一旦用动点坐标的数学表达式表示出来 ,轨迹方程就产生了 .因此 ,求轨迹方程的基本方法是 (图 1 )这里所谓的“坐标化” ,就是把轨迹条件中的各个数、量用动点坐标表示出来 .轨迹条件可以表现为不同的形式 ,其中使它转化为有利于坐标化的形式正是困难所在 .1 57.关于直线和圆锥曲线的关系 ,主要有哪些问题 ?答 :( 1 )直线和圆锥曲线位置关系的制定 ;( 2 )切线方程及与相切有关的问题 ;( 3 )弦长及与弦长有关的问题 ;( 4)弦的中点及与此有… 相似文献