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1.
武子顺 《中学生数理化(高中版)》2003,(Z1)
一、函数与方程的思想例1 已知函数ｆ(ｘ)=2ｘ-2-ｘ,数列{ａｎ}满足ｆ(ｌｏｇ2ａｎ)=-2ｎ.(1)求数列{ａｎ}的通项公式;(2)求证数列{ａｎ}是递减数列.解:(1)∵ ｆ(ｘ)=2ｘ-2-ｘ,ｆ(ｌｏｇ2ａｎ)=-2ｎ,∴ 2ｌｏｇ2ａｎ-2-ｌｏｇ2ａｎ=-2ｎ,即ａｎ-1ａｎ=-2ｎ.∴ ａ2ｎ+2ｎａｎ-1=0.解得ａｎ=-ｎ±ｎ2+1.因ａｎ>0,故ａｎ=ｎ2+1-ｎ.(2)∵ ａｎ+1ａｎ=(ｎ+1)2+1-(ｎ+1)ｎ2+1-ｎ=ｎ2+1+ｎ(ｎ+1)2+1+(ｎ+1)<1,ａｎ>0,∴ ａｎ+1<ａｎ.∴ 数列{ａｎ}是递减数列.二、分类讨论的思想例2 设{ａｎ}是由正数组成的一个等比数列,Ｓｎ是其前ｎ项和,… 相似文献
2.
问题 :对于函数 ｆ(ｘ) ,若存在ｘ0 ∈Ｒ ,使ｆ(ｘ0 ) =ｘ0 成立 ,则称ｘ0 为 ｆ(ｘ)的不动点 .如果函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 +ａｂｘ-ｃ(ｂ,ｃ∈Ｎ)有且只有两个不动点 0 ,2 ,且ｆ( -2 ) <-12 .( 1 )求函数 ｆ(ｘ)的解析式 ;( 2 )已知各项不为零的数列 {ａｎ}满足4Ｓｎ·ｆ 1ａｎ =1 ,其中Ｓｎ 是数列 {ａｎ}的前ｎ项和 ,求数列通项ａｎ.( 3 )如果数列 {ａｎ}满足ａ1 =4,ａｎ+1 =ｆ(ａｎ) ,求证 :当ｎ≥ 2时 ,恒有ａｎ <3成立 .一、分析与评述( 1 )分析 :由ｆ( 0 ) =0 ,可得ａ=0 ,①又由 ｆ( 2 ) =2可得 ,2ｂ =ｃ+2 ,②再由 ｆ( -2 ) <-12 可得 ,2… 相似文献
3.
邓光明 《长江工程职业技术学院学报》2001,18(4):56
提出问题 :已知 {ａｎ}是等差数列 ,其前ｎ项和为Ｓｎ=3ｎ2 +5ｎ ,求其通项ａｎ。分析问题 :这是数列部分的一道习题 ,学生见到此题首先想到的就是等差数列的通项公式与求和公式 ,但因其首项和公差未知 ,难以求出。其实 ,解此题关键是要理解数列前ｎ项和的概念 ,由Ｓｎ=ａ1+ａ2 +… +ａｎ 的概念 ,前 1项的和就是ａ1,前两项之和为ａ1+ａ2 ,于是得以下解法。解决问题 :方法 1:Ｓ1=ａ1=3+5 =8,Ｓ2 =ａ1+ａ2 =2 2 ,于是ａ2 =ｓ2 -ａ1=14,ｄ =ａ2 -ａ1=6 ,故由等差数列的通项公式得 :ａｎ=ａ1+(ｎ - 1)ｄ =8+(ｎ - 1) 6 =6ｎ +2。方法 2 :由前ｎ… 相似文献
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本文给出等差 (比 )数列中几个常见的几何模型 ,并应用其给出有关问题的巧妙解答 .1 几个常见的几何模型1.1 直线模型模型 1 由等差数列的通项公式ａｎ =ａ1 (ｎ- 1)ｄ =ｄｎ (ａ1-ｄ)知 ,点列 { (ｎ ,ａｎ) }在斜率ｄ =ａｍ -ａｎｍ -ｎ 的直线 ｙ =ｄｘ (ａ1-ｄ)上 .模型 2 由等差数列的前ｎ项和的公式 :Ｓｎ =ｎａ1 ｎ(ｎ- 1)ｄ2 Ｓｎｎ =ａ1 ｎ- 12 ｄ ,故点列 { (ｎ ,Ｓｎｎ) }在直线 ｙ=ｄ2 ｘ (ａ1- ｄ2 )上 .模型 3 由等比数列的定义 ,易知其求和公式满足Ｓｎ 1=ａ1 ｑＳｎ,故点列 { (Ｓｎ,Ｓｎ 1) }在直线 ｙ=ａ1 ｑ… 相似文献
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题目 设ａ0 为常数 ,且ａｎ =3ｎ-1 - 2ａｎ-1 (ｎ ∈Ｎ+ )(Ⅰ )证明对任意ｎ ≥ 1,ａｎ =15[3ｎ+ ( - 1) ｎ-1 · 2 ｎ] + ( - 1) ｎ· 2 ｎ·ａ0 ;(Ⅱ )假设对于任意ｎ ≥ 1有ａｎ >ａｎ-1 ,求ａ0 的取值范围试题是根据新教材数列一章中的一道习题设计的 ,情境新颖 ,背景公平 ,是一道具有一定创新能力的试题 .下面利用递推关系 ,给出如下解法 :Ⅰ )由ａｎ =3ｎ-1 - 2ａｎ-1 ,所以ａｎ+λ· 3ｎ =3ｎ-1 +λ· 3ｎ - 2ａｎ-1 =-2 (ａｎ-1 - 3λ + 12 · 3ｎ-1 )要使 {ａｎ +λ· 3ｎ}成等比数列 ,必须且只须λ=- 3λ+ 12 所以λ =- 15.即 {… 相似文献
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等差、等比数列的通项公式ａｎ,前ｎ项和公式Ｓｎ 经转化都可以看作是关于自然数ｎ的函数 .本文用函数观点把有关等差、等比数列问题转化为平面解析几何中直线斜率来解决 ,同时把两部分知识得以综合应用 .我们知道 ,等差数列的通项公式ａｎ =ａ1 (ｎ-1)ｄ可变形为ａｎ =ｄｎ (ａ1-ｄ) ,所以等差数列的项ａｎ 是项数ｎ的一次函数 ,亦即点 (ｎ ,ａｎ)在直线 ｙ=ｋｘ ｂ (ｋ=ｄ ,ｂ =ａ1-ｄ)上 .由此得 :性质 1 若数列 {ａｎ}为等差数列 ,则它的各项对应的点Ａｎ(ｎ ,ａｎ)在同一条直线上 ,ｎ∈Ｎ .对等差数列前ｎ项和公式Ｓｎ =ｎａ1 ｎ(ｎ… 相似文献
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数列是历届高考的重点 ,在试题中的比重约占总分的 1 0 % .现就近几年高考数列题的速解技巧归结如下 ,供同学们复习参考 .一、巧取特例1 取自然数列ａｎ =ｎ例 1 (1 993年全国高考题 )已知等差数列{ａｎ},公差ｄ >0 ,ａ1 >0 ,Ｓｎ = ｎｉ=11ａｉａｉ 1 ,则ｌｉｍｎ→∞Ｓｎ = .解 特殊数列ａｎ =ｎ满足已知条件 ,这时Ｓｎ =11 · 2 12 · 3 … 1ｎ(ｎ 1 )=(1 -12 ) (12 -13) … (1ｎ-1ｎ 1 )=1 -1ｎ 1 ,故ｌｉｍｎ→∞Ｓｎ =1 .例 2 (1 990年全国高考题 )已知 {ａｎ}是公差不为 0的等差数列 ,如果Ｓｎ 是 {ａｎ}的前ｎ项和… 相似文献
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一、巧变公式 等差 (比 )数列的通项公式与其首项ａ1有关 ,但实际问题中未必给出ａ1,或者根本不需要考虑ａ1,若还用通项公式求解会造成运算繁琐 ,故将等差 (比 )数列 ａｎ 的通项公式变通为 :ａｎ=ａｍ+(ｎ -ｍ)ｄ(ａｎ =ａｍｑｎ-ｍ) ,其中ｎ ,ｍ∈Ｎ .例 1 等比数列 ａｎ 中 ,ａ2 =- 3,ａ5= 36 ,求ａ8.解 ∵ ａ5=ａ2 ｑ3 ,∴ ｑ3 =ａ5ａ2 =- 12 ,∴ ａ8=ａ5ｑ3 =- 4 32 .例 2 在等差数列ａｎ 中 ,ａｍ +ｎ =ｐ ,ａｍ-ｎ =ｑ,求ａｍ 和ａｎ.解 ∵ ａｍ+ｎ =ａｍ-ｎ+[(ｍ+ｎ) - (ｍ -ｎ) ]ｄ ,即=ｑ+ｎ(ｐ- ｑ)2ｎ=ｐ+ｑ2 .∴… 相似文献
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数列是初等数学与高等数学的重要衔接点之一 ,学习数列可以培养我们的归纳、递推能力 ,也可以为进一步学习高等数学打好基础 .因此 ,数列问题以其多变的形式和灵活的解法备受高考命题者的青睐 ,今年的数学高考压轴题再次说明了这一点 .在 2 0 0 3年江苏数学高考题 2 2 (1)中 ,学生得到了递推式ａｎ+ 1 =1ａａ2 ｎ 后 ,如何求ａｎ,不少人感到困难 .为此 ,本文给出求一类递推数列通项的常数分离法 .先看下面的例子 .例 1 数列 {ａｎ}满足ａｎ+ 1 =2ａｎ-1,ａ1= 2 ,求ａｎ.分析 考虑如何将已知数列向熟知的等差、等比数列靠拢 .若注意到ａｎ+… 相似文献
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数列求和是中专数学的重要内容 ,这类问题形式复杂变化多样 ,虽无通法可循 ,但根据不同题型的不同特征 ,也可总结出一些方法 ,本文列举如下 ,供参考 .1 反序相加法例 1 若数列 {ａｎ}为等差数列 ,则ａ1 Ｃ1ｎａ2 Ｃ2 ｎａ3 … Ｃｎｎａｎ 1=(ａ1 ａｎ 1)· 2 ｎ- 1.证明 设Ｓ =ａ1 Ｃ1ｎａ2 Ｃ2 ｎａ3 … Ｃｎｎａｎ 1,(1)将 (1)倒序写出 ,有Ｓ =Ｃｎｎａｎ 1 Ｃｎ- 1ｎ ａｎ Ｃｎ- 2ｎ ａｎ- 1 … ａ1.(2 )(1) (2 )并注意Ｃｒｎ =Ｃｎ-ｒｎ (ｒ≤ｎ) ,得2Ｓ =(ａ1 ａｎ 1)Ｃ0 ｎ (ａ2 ａｎ)Ｃ1ｎ (ａ3 ａｎ- 1)Ｃ2 ｎ … … 相似文献
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对于数列型恒等式和不等式的证明 ,通常都采用数学归纳法 ,但如果用构造数列的方法来证明 ,往往更简洁 ,并且也容易被学生所接受 .1 “ａ1 ａ2 ａ3 … ａｎ ≤Ｓｎ(或≥Ｓｎ)”型对这种类型的恒等式和不等式 ,可以构造数列{ｂｋ} ,使得ｂｋ =Ｓｋ-Ｓｋ- 1(规定Ｓ0 =0 ) ,这样 ,ｂ1 ｂ2 ｂ3 … ｂｎ =(Ｓ1-Ｓ0 ) (Ｓ2 -Ｓ1) (Ｓ3-Ｓ2 ) … (Ｓｎ-Ｓｎ- 1) =Ｓｎ.对ｋ∈Ｎ ,如果有ａｋ ≤ｂｋ(或ａｋ ≥ｂｋ) ,那么ａ1 ａ2 ａ3 … ａｎ ≤Ｓｎ(或≥Ｓｎ)成立 .例 1 (1993年全国高考题改编 )证明 8· 112 · 32 8· 232 · 52 … 相似文献
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在中学阶段经常遇见以下数列求和问题 :(1) 1+2 0 +30 0 +… +ｎ× 10 ｎ-1;(2 ) 1+3× 2 +5 × 2 2 +7× 2 3 +… +(2ｎ- 1) ·2 ｎ-1.上述数列是由一个等差数列 {ａ +(ｎ- 1)ｄ}和等比数列 {ｂｑｎ-1}相应的项相乘而得到的混合数列 { [ａ+(ｎ - 1)ｄ]·ｂｑｎ-1} ,通常采用“错位相减法”进行计算 .为了加强对其解题思路的理解 ,有必要进行一般性探讨 .因为数列通项ｕｎ=[ａ+(ｎ - 1)ｄ]·ｂｑｎ-1=[ａｂ+(ｎ - 1)ｂｄ]ｑｎ-1,为简单起见 ,不妨设此混合数列为ａ1,ａ2 ｑ,ａ3 ｑ2 ,… ,ａｎｑｎ-1,其中ａｎ-ａｎ-1=ｄ(ｎ>1) ,那么上述求和… 相似文献
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数列问题往往是将已知数列转化为两个基本数列而得到解决 .本文通过实例说明 ,对于一类由递推公式ａｎ+ 1=Ａａｎ+Ｂ给出的数列ａｎ ,如何化为基本数列使问题得到解决 .题 已知数列 ａｎ 中 ,ａ1=2 ,ａｎ+ 1=2ａｎ+3(ｎ∈Ｎ ) ,求通项公式ａｎ.解 在ａｎ+ 1=2ａｎ+3两边加 3,得ａｎ+ 1+3=2ａｎ+6 ,即ａｎ+ 1+3=2 (ａｎ+3) ,变形 ,得 ａｎ+ 1+3ａｎ+3=2 .所以 ,新数列 ａｎ+3是以ａ1+3=5为首项 ,2为公比的等比数列 ,从而ａｎ+3=5 · 2 ｎ-1,即所求数列 ａｎ 的通项公式为ａｎ =5 · 2 ｎ-1- 3(ｎ ∈Ｎ ) .有同学要问 ,你是如何想到两边… 相似文献
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与自然数ｎ有关的恒等式ｈ(ｎ) =ｇ(ｎ)的论证通常采用数学归纳法 .但若构造函数ｆ(ｎ) =ｈ(ｎ) -ｇ(ｎ) ,再通过求ｆ(ｎ 1 ) -ｆ(ｎ)的差而获得ｆ(ｎ 1 ) =ｆ(ｎ) =ｆ(1 ) =0 ,就能得到另一种比较好的证明方法 .例 1 已知数列 {ａｎ}的通项公式满足 :ａ1 =ｂ ,ａｎ 1 =ｃａｎ ｄ . (ｃ≠ 0 ,ｃ≠ 1 )求证 :这个数列的通项公式是ａｎ =ｂｃｎ (ｄ-ｂ)ｃｎ- 1 -ｄｃ-1 .证明 :构造函数ｆ(ｎ) =ｂｃｎ (ｄ -ｂ)ｃｎ- 1 -ｄｃ-1 -ａｎ,则ｆ(ｎ 1 ) =ｂｃｎ 1 (ｄ-ｂ)ｃｎ -ｄｃ -1 -ａｎ 1 .∵ａｎ 1 =ｃａｎ ｄ ,∴ｆ(ｎ 1 ) … 相似文献
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方秦金 《中学数学教学参考》2000,(5)
审题是正确、迅速解题的基础和前提 ,但学生常常对此掉以轻心 ,致使解题失误或陷入繁冗之中 .本文把审题中要注意的几个问题归结如下 ,供参考 .一、要善于变换一般的题目 ,都明确给出已知和求解的对象 ,但我们并不能直接由已知推出未知 ,这时 ,在审题中就要对已知条件进行变换 .例 1 已知数列的前ｎ项和为Ｓｎ,且ａｎ=12 (Ｓｎ Ｓｎ - 1 ) (ｎ≥ 2 ) ,Ｓ4=4,求通项ａｎ.审题与思考 :要求ａｎ,必须先求出Ｓｎ,但直接求解无法实现 ,由ａｎ =12 (Ｓｎ Ｓｎ - 1 )变形 ,得ａｎ =Ｓｎ-Ｓｎ - 12 (Ｓｎ-Ｓｎ - 1 )=ａｎ2 (Ｓｎ-Ｓｎ - 1 ) .∵ａ… 相似文献
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在研究等差数列前ｎ项和的比值的过程中 ,发现两类规律 ,一类是两个等差数列前ｎ项和的比值 ,另一类是等差数列前ｍ项和与前ｎ项和的比值。1.设等差数列 {ａｎ}的首项为ａ1,公差为ｄ1,等差数列 {ｂｎ}的首项为ｂ1,公差为ｄ2 ,它们前ｎ项的和分别为Ｓｎ、Ｔｎ,则它们前ｎ项和的比值ＳｎＴｎ有下列性质 :定理 1:等差数列 {ａｎ}与等差数列 {ｂｎ}前ｎ项和的比ＳｎＴｎ是关于ｎ的一次分式函数 ,即ＳｎＴｎ=ａｎ+ｂｃｎ+ｄ。证明 :由Ｓｎ =ｎａ1+ｎ(ｎ - 1)2 ｄ1,Ｔｎ =ｎｂ1+ｎ(ｎ - 1)2 ｄ2 得 :ＳｎＴｎ=ｄ12 ｎ +(ａ1- ｄ12 )ｄ22 ｎ +(ｂ… 相似文献
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在高中《代数》下册封面上 ,有一个数列 {ｎ2 }的求和公式及它的几何模型图 ,该封面设计虽经多次改版却一直保留下来 .本人对此公式颇感兴趣 ,经整理、归纳、总结 ,初步得到了 {ｎα} (ｎ ∈Ｎ ,α为常数 )类数列求和的几种常用方法 .下面记Ｓ(α)ｎ 表示数列{ｎα}的前ｎ项和 ,即Ｓ(α)ｎ =1α+ 2 α+ 3α+… +ｎα.以求数列 {ｎ3}的前ｎ项和为例给以介绍 .1 待定系数法我们知道 ,数列 {ｎ0 }的前ｎ项和Ｓ( 0 )ｎ =ｎ是关于ｎ的一次式 ,数列 {ｎ}的前ｎ项和Ｓ( 1)ｎ =12 ｎ(ｎ +1)是关于ｎ的二次式 ,数列 {ｎ2 }的前ｎ项和Ｓ( 2 )ｎ =16 … 相似文献
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公差ｄ≠ 0的等差数列 ａｎ ,它的前ｎ项和Ｓｎ 是关于ｎ的二次函数 :Ｓｎ =ｎａ1 +ｎ(ｎ- 1)2 ｄ =ｄ2 ｎ2 +ａ1 - ｄ2 ｎ .所以 ,当ｄ >0 ,Ｓｎ 有最小值 ;当ｄ <0 ,Ｓｎ有最大值 .由于函数Ｓｎ 与一般二次函数ｆ(ｘ) =12 ｄｘ2+ａ1 - ｄ2 ｘ(ｘ∈Ｒ)的定义域不同 ,因此在求最值的方法上又有其特殊性 .下面就这类问题探讨几种思考途径 .一、研究通项的符号 ,求Ｓｎ 的最值例 1 一个首项为正数的等差数列ａｎ ,前 3项之和与前 11项之和相等 ,则前几项和最大 ?解 由Ｓ3=Ｓ1 1 ,得ａ4 +ａ5+… +ａ1 0 +ａ1 1 =0 ,∵ ａ4 +ａ1 1 =ａ5+ａ1 0… 相似文献
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题目 1 在等差数列 {ａｎ}、{ｂｎ}中 ,其前ｎ项和分别为Ｓｎ、Ｓ′ｎ,且 ＳｎＳ′ｎ =2ｎ 2ｎ 3,求 ａ3ｂ3.错解 由 ＳｎＳ′ｎ =2ｎ 2ｎ 3,可设Ｓｎ =( 2ｎ 2 )ｋ ,Ｓ′ｎ =(ｎ 3)ｋ (ｋ≠ 1) ,则ａ3=Ｓ3-Ｓ2 =2ｋ ,ｂ3=Ｓ′3-Ｓ′2 =ｋ ,∴ ａ3ｂ3=2ｋｋ =2 .错因 对于等差数列 ,由Ｓｎ =ａ1ｎ ｎ(ｎ- 1)ｄ2 ,知Ｓｎ 是关于ｎ的二次函数、且不含常数项 .因此 ,设Ｓｎ =( 2ｎ 2 )ｋ ,Ｓ′ｎ =(ｎ 3)ｋ不能成为等差数列前ｎ项的和 .正解 由 ＳｎＳ′ｎ =2ｎ 2ｎ 3,且Ｓｎ、Ｓ′ｎ 为等差数列的前ｎ项和 ,可设Ｓｎ =( 2ｎ 2 )ｋｎ… 相似文献
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先看下面的一道题 :等差数列 {ａｎ}中 ,公差ｄ是正整数 ,等比数列{ｂｎ}中 ,ｂ1=ａ1,ｂ2 =ａ2 ,现有选项数据 : 2 ; 3; 4 ; 5。当 {ｂｎ}中所有的项都是数列 {ａｎ}中的项时 ,ｄ可以取。 (填上你认为正确的选项 )。(注 :本文中所提到的数列均指无穷数列 )《中学数学教学参考》2 0 0 1年第 1— 2期上给出这道题的答案是选 , 。其实 ,ｄ可否取某一数据取决于能否找到满足条件的等差数列。对于 ,取等差数列ａｎ=2ｎ -1 ;对于 ,取等差数列ａｎ=3ｎ -2 ;对于 ,取等差数列ａｎ=4ｎ -3;对于 ,取等差数列ａｎ=5ｎ -4。分别利用二项式定理可证 … 相似文献