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设点P(x_0,y_0),直线l:Ax+By+C=0,求点P(x_0,y_0)到直线l:Ax+By+C=0距离公式的推导无论是原来的旧教材还是现在的新课标教材,都指出由点P(x_0,y_0)向直线l作垂线,垂足为Q,求出Q 相似文献
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公式 如果已知点P的坐标为 (x0 ,y0 ) ,直线l的方程为Ax+By +C=0 ,则点P到直线l的距离为d=｜Ax0 +By0 +C｜A2 +B2 .1 一点质疑此公式是高中教科书 (试验修订本 ·必修 )《数学》第二册 (上 ) (以下简称新教材 )第 7.3节的内容 ,新教材给出了此点到直线距离公式的推导过程 ,并指出了用两点间距离公式推导的繁琐和运算过程的复杂 .其实 ,在教材中 ,编者一再提到的思路自然、运算复杂的推导方法其实是很简单、巧妙的 .具体推导如下 :推导 1 设A≠ 0 ,B≠ 0 ,过P作直线l的垂线 ,垂足为Q(x1,y1) ,则Ax1+By1+c=0 ,y1- y0x1-x0 =BA ,即A… 相似文献
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郭兴甫 《课程教材教学研究(小教研究)》2003,(6)
全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）《数学》第二册（上）第51页“点到直线的距离”在引入中这样写道：“在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为（x0，y0），直线l的方程是Ax+By+C=0，怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢？根据定义，点P到直线l的距离d是点P到直线l的垂线段的长（图7-17，这里略）设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q。由PQ⊥l可知直线PQ的斜率为BA（A≠0），根据点斜式可写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出|PQ|，得到点P到直线l的距离d… 相似文献
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平面解析几何中“点到直线的距离”公式,除了教材中介绍的两种推导方法之外,还可以利用初中代数中的“求二次函数的极值”方法推出.已知:点P (x_o,y_o),直线 l:Ax+By+C=0(A~2+B~2≠0).求:点 P 到直线 l 的距离.解:设 M(x,y)是直线 l 上的任意一点.∵在直线方程 Ax+By+C=0中,A、B 至少有一个不为零,不妨设 B≠0,则 相似文献
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问题 已知点P（x0，y0）是直线l：Ax＋By＋C=0外一点，求点P到直线l的距离.思路1 先由方程思想求出过点P向直线l作垂线时垂足Q（m，n）的坐标，再根据两点间的距离公式求｜PQ｜． 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2017,(3)
<正>在平面内,已知点P(x_0,y_0),直线l:Ax+By+C=0,则点P到直线l的距离公式d=|Ax-By+C|/(A2+B2+B2)2)(1/2)。解析几何中的轨迹问题、最值问题、曲线与直线的位置关系等都与点到直线的距离有关。因此,应用点到直线的距离公式能够解决许多重要问题。一、求轨迹方程例1求两条直线l_1:3x+4y+1=0,l_2:5x+12y-1=0的交角平分线方程。 相似文献
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怎样求点P(x_0,y_0)到直线l∶Ax By C=0的距离?课本先介绍纯解析的方法:求过P且垂直于l的垂线l′与l的交点即垂足Q的坐标.由此即可据两点距离公式求出|PQ|即P到直线l的距离.接着课本又指出:“这个方法虽然思路自然,但是运算很繁,下面介绍 相似文献
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构造是一种重要的数学思想 ,在数学解题教学中 ,教师应注意引导学生依据题目特征 ,类比相关知识 ,通过相关数学模型来促使问题的解决 .本文利用直线与圆有关常用数学模型求解一类数学题 ,供参考 .1 利用点到直线的距离公式解题设 A(x0 ,y0 ) ,直线 l:Ax + By+ C=0 ,则 A到 l的距离 d=| Ax0 + By0 + C|A2 + B2 .例 1 已知实数 a,b满足 a+ b=1.求证 :(a-3) 2 + (b+ 4 ) 2 ≥ 2 .图 1证明 不等式左端可视为点 P(a,b)到点 Q(3,- 4)的距离的平方 ,而点 P(a,b)可看作直线 l:x+ y=1上的任意一点 ,于是问题转化为点 P在直线l上什么位置时线… 相似文献
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徐英新 《数学大世界(高中辅导)》2005,(10)
二册(上)17·3中例11(1):求点P(-1,2)到直线l:2x y-10=0的距离d.通过对点到直线距离的概念的理解会得到多种解法,其中本文给出以下几种.解法1:由点到直线的距离公式求解d=|2×(-1) 2-10|22 12=150=25解法2:由点到直线的距离的定义求解过点P作直线l的垂线,垂足为A,则直线PA的方程是:x-2y 5=0与2x y-10=0联立得x=3,y=4所以A(3,4)P到直线l的距离即为线段PA的长度PA=(-1-3)2 (2-4)2=20=25解法3:由点到直线的距离和两条平行直线间距离的关系求解过点P作l的平行线l′:2x y=0则P到直线l的距离即为l与l′之间的距离所以d=|0-(-10)|22 12=105=2… 相似文献
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一、对教材的分析与思考
“点到直线的距离”是“坐标平面上的直线”一章的最后一节内容．作为直线方程和向量方法的应用，在上海教材中，点P（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C=0的距离公式的推导经过了以下过程：（1）作出点P到直线l的距离PQ；（2）利用向量的数量积以及｜PQ→｜=｜PQ→·n→｜/｜n→｜（其中｜n→｜是直线l的法向量），再利用Q点坐标满足直线l的方程，求出｜PQ→｜，得到公式d=｜ax0＋by0＋c/√a^2＋b^2｜．推导中有两个要点：一是应用数量积的几何意义计算两点之间的距离；二是应用“若点在直线上，则点的坐标满足直线方程”进行整体代换． 相似文献
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推导点到直线的距离公式,《解析几何》课本首先介绍了一种思路:设点 P 到直线 l 的垂线为 l′,垂足为 Q……由 l与 l′的方程求出点 Q 的坐标;由此即可根据两点距离公式求出|PQ|,这就是点 P 到直线 l 的距离。 相似文献
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众所周知,平面上点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0距离公式为d=|Ax0+By0+C|/(A2+B2)～1/2.在平面解析几何中,这是一个十分重要的公式.但是许多同学反映高中教材上关于这个公式的推导相对比较繁琐.那么有没有比较巧妙的方式推导点到直线距离 相似文献
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在中学数学教学中,越来越强调人的作用,弱化文本的作用,提出"用教材教,而不是教教材".笔者以为这样做是有前提的,教师必须首先吃透教材,理解教材中内容安排的意图,才有可能产生高于教材且适应自己学生的教学设计.笔者以"点到直线的距离"教学设计为例谈一下笔者的观点. 相似文献
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温光阳 《中学生数理化(高中版)》2014,(5)
<正>本文就椭圆中是否存在一般性"对偶元素"和证明"椭圆幂定理"作一探究.为行文方便,现给出一般性"对偶元素"的定义如下:在椭圆中,点O1是椭圆直径Q1Q2所确定直线上任意一点(除原点外),若直线l与直径Q1Q2的共轭直径P1P2平行,点O1与直线l在椭圆中心的同侧,记点O1到椭圆中心的距离为d1,记直线l与直线Q1Q2的交点T到椭圆中心的距离为d2,且d1与d2的乘积为直径Q1Q2一半长的平方,则称点O1与 相似文献
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玉邴图 《数理天地(高中版)》2002,(2)
题已知点A(1,0)和直线l:x=3,动点M到A的距离与到l的距离之和为4. (1)求M点的轨迹T. (2)过A作倾斜角为a的直线与T交于P、Q两点,设d=|PQ|,求d=f(a)的解析式. (第12届培训题78题) 解答见本刊2001年第1期27页,此处从略. 由题设及解答知轨迹为抛物线,A为抛物线的 相似文献
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点到直线的距离公式是解析几何重要公式之一。教学中,笔者发现除书中介绍的证法外,还有以下四种证法,现介绍如下: 问题:已知点P（x_0,y_0）和直线L:Ax By C=0,求证:点P到直线L的距离公式为: d=|Ax_o By_o C|/(A~2 B~2)~(1/) 1.整体代入法 证明 设点P到直线L的垂线为L＇,垂足为Q（x,y）.∵L⊥L＇,∴L＇的方程为:B（x-x_o）-A（y-y_o）=0, 点Q的坐标（x,y）满足方程组: 相似文献
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《中学数学教学》“1984年第二期问题解答”栏中有这样一题:“在椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1上求一点 P,使到直线 l:mx+ny=t 的距离最小,并求这个最小值。”原解答首先用综合法,根据过椭圆上一点 P 的切线是△F_1PF_2的过 P 点的外角平分线这一几何性质定出 P 点,然后用代数法,解出 P 点的坐标:(?),从而得出 P 点到直线 l 的距离是:RS=|(m~2a~2+n~2b~2)~(1/2)-t|/(m~2+n~2)~(1/2)。我们认为,这是欠妥的。首先从几何观点来看,从 F′引直线 l的垂线与⊙O 应有两个交点 R 和 R′,因此椭 相似文献
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在教材中点到直线的距离的定义是“点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长”。这实质上是指直线外一点与此直线上各点所成的各线段中最短的线段长。据此定义可推导出此距离公式如下: 设已知点P的坐标为(x_0,y_0);已知直线l的方程为 相似文献
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《平面解析几何》教材中关于点到直线的距离公式的证明较为复杂,本文给出一个简化证明,供大家参考,本证明的核心在于对垂足的处理.证明:已知点 P(x_0,y_0)和直线 l:Ax By C=0,先设 A≠0,B≠0,又设点 P 到直线 l 的垂线为 l′,垂足为 Q(x_1,y_1),由l′⊥l 可知l′的斜率为(B/A)。所以 相似文献