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今年高考“3 Ｘ”型数学试卷理科第 1 9题(文科第 2 0题 )是 :设抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ >0 )的焦点为Ｆ ,经过焦点Ｆ的直线交抛物线于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在抛物线的准线上 ,且ＢＣ ∥ｘ轴 ,证明 :直线ＡＣ经过原点 .一、试题的背景揭示该试题是《平面解析几何》(全一册 ,必修 )第 1 0 0页习题八的第 8题 :“过抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ>0 )的焦点的一条直线和这条抛物线相交 ,两个交点的纵坐标为ｙ1 ,ｙ2 ,求证 :ｙ1 ｙ2=-ｐ2 ”的改变题 .二、过抛物线的焦点弦的性质设抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ>0 )的焦点为Ｆ ,经过焦点Ｆ的直线交抛物线于Ａ、Ｂ两点 ,若… 相似文献
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本刊 2 0 0 1年第 10期的文 [1]对 2 0 0 1年全国高考解几试题进行演绎与深化 ,得出 10个命题 ,读后颇受启发 ,但尚觉意犹未尽 .本文对这道试题作进一步的推广与引伸 .显然这道高考试题是《平面解析几何》(必修 ) 99页题 13的逆问题 ,为此 ,我们把这道试题完善为充要条件的形式 ,得到 图 1命题Ａ1 设Ｆ为抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ(ｐ >0 )的焦点 ,经过点Ｆ的直线交抛物线于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在准线上 ,则直线ＡＣ经过抛物线的顶点Ｏ的充要条件是ＢＣ∥ｘ轴 .命题Ａ1揭示了抛物线的焦点、顶点、准线之间的一个相关性质 .我们自然要问 :椭… 相似文献
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1 题目与解法研究2 0 0 1年高考题 19(文 2 0 )题 :设抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ(ｐ>0 )的焦点为Ｆ ,经过点Ｆ的直线交抛物线于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在抛物线的准线上 ,且ＢＣ∥ｘ轴 ,证明直线ＡＣ经过原过Ｏ . 图 1证 1 如图 1,记ｘ轴与抛物线准线ｌ的交点为Ｅ ,过Ａ作ＡＤ⊥ｌ,Ｄ是垂足 ,于是有ＡＤ ∥ＥＦ∥ＢＣ .连结ＡＣ与ＥＦ相交于点Ｎ ,则｜ＥＮ｜｜ＡＤ｜ =｜ＣＮ｜｜ＡＣ｜ =｜ＢＦ｜｜ＡＢ｜,｜ＮＦ｜｜ＢＣ｜ =｜ＡＦ｜｜ＡＢ｜.根据抛物线的几何性质有｜ＡＦ｜=｜ＡＤ｜ ,｜ＢＦ｜=｜ＢＣ｜ ,所以｜ＥＮ｜=｜ＡＤ｜·｜ＢＦ｜… 相似文献
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20 0 1年广东省高考数学第 2 1题 :已知椭圆 :ｘ22 ｙ2 =1的右准线ｌ与ｘ轴相交于点Ｅ ,过椭圆右焦点Ｆ的直线与椭圆相交于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在右准线上且ＢＣ ∥ｘ轴 ,求证 :直线ＡＣ经过线段ＥＦ的中点 .此题对一般性结论仍成立 ,还可以拓广到其它圆锥曲线 .拓广 1 已知椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1的右准线ｌ与ｘ轴相交于点Ｅ ,过椭圆右焦点Ｆ的直线与椭圆相交于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在右准线上且ＢＣ∥ｘ轴 ,求证 :直线ＡＣ经过线段ＥＦ的中点 (ａ >ｂ>0 ) . 图 1证明 如图 1,记直线ＡＣ与ｘ轴的交点为Ｎ ,过Ａ作ＡＤ⊥ｌ,Ｄ是垂足 .… 相似文献
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在抛物线与直线的关系中 ,过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重要 ,这是因为在这一关系中具有一些很有用的性质 ,这些性质常常是高考命题的切入点 .本文对此作一些探讨 .不妨设抛物线方程为 ｙ2 =2 ｐｘ( ｐ>0 ) ,则焦点Ｆ ｐ2 ,0 ,准线ｌ的方程 :ｘ=-ｐ2 .过焦点Ｆ的直线交抛物线于Ａ(ｘ1 ,ｙ1 )、Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 )两点 ,又作ＡＡ1 ⊥ｌ,ＢＢ1 ⊥ｌ,垂足分别为Ａ1 、Ｂ1 .ＡＢ⊥ｘ轴时 ,ｘ1 =ｘ2 =ｐ2 ,Ａ ｐ2 ,ｐ ,Ｂ ｐ2 ,-ｐ ,此时弦ＡＢ叫抛物线的通径 ,它的长｜ＡＢ｜ =2 ｐ .ＡＢ与ｘ轴不垂直也不平行时 ,设弦ＡＢ所在直线的斜率为… 相似文献
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在平面解析几何中 ,关于平行直线有如下结论 :设有两条平行直线ｌ1:Ａｘ Ｂｙ Ｃ1=0和ｌ2 :Ａｘ Ｂｙ Ｃ2 =0 ,则到这两条直线距离相等的直线方程为Ａｘ Ｂｙ Ｃ1 Ｃ22 =0 .证明 设Ｐ(ｘ ,ｙ)是所求直线上任一点 ,由题设以及点到直线的距离公式 ,有｜Ａｘ Ｂｙ Ｃ1｜Ａ2 Ｂ2 =｜Ａｘ Ｂｙ Ｃ2 ｜Ａ2 Ｂ2 . 因为ｌ1与ｌ2 在点Ｐ的两侧 ,所以有Ａｘ Ｂｙ Ｃ1=- (Ａｘ Ｂｙ Ｃ2 ) ,即 Ａｘ Ｂｙ Ｃ1 Ｃ22 =0为所求的直线方程 .运用该结论可以得到一种求直线对称点的新方法 .例 已知Ａ(- 2 ,4 ) ,求它关于直线ｌ:2ｘ- ｙ -1=0的对… 相似文献
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向量作为教材的新增内容 ,在处理某些解析几何问题时有独到之处 .然而笔者最近发现 :一些资料中的高考模拟试题对于这类问题的解答却仍沿用传统方法 ,不能充分体现新教材的特点 .为此 ,本文选取几例 ,用向量方法处理 ,以引起同学们的重视 .例 1 如图 1 ,过点Ａ( -1 ,0 ) ,斜率为ｋ的直线ｌ与抛物线Ｃ :ｙ2 =4ｘ交于Ｐ、Ｑ两点 .( 1 )若曲线Ｃ的焦点Ｆ与Ｐ、Ｑ、Ｒ三点按如图顺序构成平行四边形 ,求点Ｒ的轨迹方程 ;( 2 )设Ｐ、Ｑ两点只在第一象限运动 ,点Ｅ( 0 ,8)与线段ＰＱ中点的连线交ｘ轴于点Ｎ ,当点Ｎ在点Ａ右侧时 ,求直线ＰＱ的斜率… 相似文献
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一道高考题的推广 总被引：1，自引：0，他引：1
20 0 1年全国高考数学试题 (广东、河南卷 )第 2 1题“已知椭圆 ｘ22 ｙ2 =1的右准线ｌ与ｘ轴交于点Ｅ ,过椭圆右焦点Ｆ的直线与椭圆相交于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在右准线ｌ上 ,且ＢＣ∥ｘ轴。求证直线ＡＣ经过线段ＥＦ的中点。”参考答案是这样证明的 :设ｅ是椭圆的离心率 ,如图 ,记直线ＡＣ与ｘ轴的交点为Ｎ ,过Ａ作ＡＤ⊥ｌ,Ｄ是垂足。因Ｆ是椭圆右焦点 ,ｌ是右准线 ,ＢＣ∥ｘ轴 ,即ＢＣ⊥ｌ,根据椭圆几何性质 ,得 :|ＡＦ||ＡＤ|=|ＢＦ||ＢＣ|=ｅ。∵ＡＤ∥ＦＥ∥ＢＣ ,∴|ＥＮ||ＡＤ|=|ＣＮ||ＣＡ|=|ＢＦ||ＡＢ|,|ＦＮ||ＢＣ|=|ＡＦ||ＡＢ|,… 相似文献
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在学习解析几何时,常常会遇到直线与线段相交时求参数范围的问题,这里先介绍一个简单结论,从而简捷地解决此类问题.定理 若直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ=0(Ａ2 Ｂ2≠0)与Ｐ1(ｘ1,ｙ1),Ｐ2(ｘ2,ｙ2)为端点的线段相交,则(Ａｘ1 Ｂｙ1 Ｃ)(Ａｘ2 Ｂｙ2 Ｃ)≤0.证 设直线ｌ与线段Ｐ1Ｐ2相交于点Ｐ(ｘ,ｙ),不妨设Ｐ不重合于Ｐ2,点Ｐ内分线段Ｐ1Ｐ2—的比为λ,则λ≥0,由定比分点坐标公式,得ｘ=ｘ1 λｘ21 λ, ｙ=ｙ1 λｙ21 λ.∵ 点Ｐ(ｘ,ｙ)在直线ｌ上,∴ Ａ·ｘ1 λｘ21 λ Ｂ·ｙ1 λｙ21 λ Ｃ=0,整理,得 Ａｘ1 Ｂｙ1 Ｃ=-λ(Ａｘ2 Ｂｙ2 Ｃ).… 相似文献
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2001年高考数学理科(19)题、文科(20)题 试题设抛物线y=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点.点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O. 本题考查抛物线的概念和性质,直线的方程和性质,运算能力和逻辑推理能力.1 来源1.1 引用《平面解析几何》课本第101页8题: “过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和这抛物线相交,两个交点的纵坐标为y1,y2,求 相似文献
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本期问题图 1 初 1 2 3 . 已知点Ｄ1、Ｄ2 在△ＡＢＣ的边ＡＢ上 ,且ＢＤ1=ＡＤ2 ,过点Ｄ1、Ｄ2 分别作ＢＣ的平行线 ,交ＡＣ于点Ｅ1、Ｅ2 ,点Ｐ1、Ｐ2分别为Ｄ1Ｅ1、Ｄ2 Ｅ2上的任意点 ,ＢＰ1交ＡＣ于Ｎ1,ＣＰ1交ＡＢ于Ｍ1,ＢＰ2 交ＡＣ于Ｎ2 ,ＣＰ2 交ＡＢ于Ｍ2 .求证 :ＡＭ1Ｍ1Ｂ+ ＡＮ1Ｎ1ＣＡＭ2Ｍ2 Ｂ+ ＡＮ2Ｎ2 Ｃ =1 .(郭 璋 北京市朝阳区教育研究中心 ,1 0 0 0 2 8)图 2初 1 2 4. 如图 2 ,小正方形ＡＢＣＤ各边所在直线与大正方形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′分别相交于Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ、Ｐ、Ｑ、Ｍ、Ｎ .求证 :ＥＦ +ＰＱ =ＧＨ+ＭＮ .… 相似文献
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锥体的体积公式为Ｖ =13 Ｓｈ(其中Ｓ是锥体的底面积 ,ｈ为锥体的高 ) .由此可类比地得出抛物线ｙ=ａｘ2 (ａ >0 )与ｘ轴及直线ｘ =ｍ(ｍ >0 )所围成的曲边三角形的面积公式为Ｓ =13 Ｌｍ(其中Ｌ为ｘ=ｍ时的函数值 ,即Ｌ =ａｍ2 ) .下面给出其初等证明 .图 1证明 如图 1 ,设抛物线ｙ=ａｘ2 的焦点为Ｆ(0 ,ａ4) ,准线方程为 ｙ =- ａ4 ,直线ｘ =ｍ与抛物线ｙ=ａｘ2 交于点Ｃ ,与准线交于点Ｂ ,与ｘ轴交于点Ｄ ,准线与 ｙ轴交于点Ａ .则梯形ＡＢＣＦ的面积为Ｓ梯形ＡＢＣＦ =12 ｍ(ａ2 ｌ ａ4)=12 ｍ(34 ａ ｌ) .矩形ＡＢＤＯ(Ｏ为坐标原点 … 相似文献
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《解析几何》旧教材新教材中都有这样一道例题 : 图 1如图 1,我国发射的第一颗人造卫星的运行轨道 ,是以地心 (地球的中心 )Ｆ2 为一个焦点的椭圆 .已知它的近地点Ａ(离地面最近的点 )距地面 4 39ｋｍ ,远地点Ｂ(离地面最远的点 )距地面 2 348ｋｍ ,并且Ｆ2 、Ａ、Ｂ在同一直线上 ,地球半径约为 6 371ｋｍ ,求卫星运行的轨道方程 (精确到1ｋｍ) .如图 1,建立直角坐标系 ,使点Ａ、Ｂ、Ｆ2 在ｘ轴上 ,Ｆ2 为椭圆的右焦点 (记Ｆ1为左焦点 ) .因为椭圆的焦点在ｘ轴上 ,所以它的标准方程为 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1 (ａ>ｂ>0 ) ,则 ａ -ｃ… 相似文献
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新编高中数学教材 (试验本 )在必修课第五章中增加了向量 ,此后向量的应用连绵不断 ,学生比较认同向量在平面几何与立体几何的应用 ,但对向量在解析几何中的应用还很陌生 ,其实向量的应用是不受学科分支制约的 .把向量用到解析几何学中 ,可以使很多解析几何题的运算不再纷繁复杂 .例 1 双曲线 ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1 (ａ >0 ,ｂ>0 )的离心率ｅ=1 52 ,点Ａ与点Ｆ分别是双曲线的左顶点和右焦点 ,Ｂ(0 ,ｂ) ,则∠ＡＢＦ等于 ( ) .(Ａ) 4 5° (Ｂ) 60° (Ｃ) 90° (Ｄ) 12 0°解 不难得Ａ(-ａ ,0 ) ,Ｆ(ｃ,0 ) ,则ＢＡ =(-ａ ,-ｂ) ,Ｂ… 相似文献
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笔者在研究抛物线的有关问题时 ,意外地得到了抛物线切线的几个性质及其判定方法 ,现以定理的形式介绍如下 :定理 1 Ｐ是抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ上一动点 ,Ｍ是点Ｐ在准线上的射影 ,Ｆ为焦点 .过Ｐ点的直线ｌ是该抛物线切线的充要条件是直线ｌ垂直于直线ＭＦ . 图 1说明 设Ｐ点坐标为 (ｘ0 ,ｙ0 ) ,则Ｍ(-ｐ2 ,ｙ0 ) ,Ｆ(ｐ2 ,0 ) ,当Ｐ点为抛物线顶点 ,即 ｙ0=0时 ,定理显然成立 ;当Ｐ点不为抛物线顶点 ,即 ｙ0 ≠ 0时 ,充分性 由题设知直线ＭＦ的斜率 ｋＭＦ =ｙ0- ｐ2 - ｐ2=- ｙ0ｐ.因直线ｌ⊥ＭＦ ,且Ｐ∈ｌ,由直线方程的… 相似文献
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未来需要创造型人才 ,培养学生的创新意识和创新能力是当今数学的一个重要方向 .随着数学教学改革的不断深入 ,学案导学在教学过程中已发挥明显的作用 ,我们在撰写例习题课学案时 ,既注重教材这个丰富资源 ,又结合教学实际 ,借助于课本例习题 ,在培养学生创造思维和探索性思维方面作了一些有益的尝试 .下面是使用学案时对例题教学及深化过程的简录 .例题 斜率为 1的直线经过抛物线 ｙ2 =4ｘ的焦点 ,与抛物线相交于两点Ａ、Ｂ ,求线段ＡＢ的长 .解题思路 设直线ＡＢ的方程为ｙ =ｘ- 1,代入抛物线方程 ｙ2 =4ｘ ,得ｘ2 - 6ｘ 1=0 .( )解得… 相似文献
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2001年高考理科数学第19题(文科第20题) 设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点.点C在抛物线的准线上,且BC//x轴.证明直线AC经过原点O. 这是一道源于教材,而不拘泥于教材的优秀试题.本文对它的来源、解法、推广、启示进行探索,挖掘其教育价值,以期对我们了解高考命题趋势,把握教学重点,正确处理教材有所启发. 相似文献
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陶维林 《中学数学教学参考》2000,(10)
20 0 0年高考第 2 2题是一道平面解析几何题 :如图 1,已知梯形ＡＢＣＤ中 ,|ＡＢ|=2 |ＣＤ|,点Ｅ分有向线段ＡＣ所成的比为λ ,双曲线过Ｃ、Ｄ、Ｅ三点 ,且以Ａ、Ｂ为焦点 .当 23 ≤λ≤34 时 ,求双曲线离心率ｅ的取值范围 .这里介绍用《几何画板》来探究这道题的过程 ,并谈一点想法 .1.首先是作出双曲线 ,找出点Ｅ( 1)如图 2 ,在ｘ轴上取一点Ｂ ,作线段ＯＢ的垂直平分线 .( 2 )在ＯＢ的中垂线上取一点Ｃ .作Ｂ、Ｃ关于 ｙ轴的对称点 ,得到点Ａ、Ｄ .( 3)连结ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ ,用直线连结ＡＣ .( 4 )以Ｃ为圆心、ＣＢ为半径画圆 ,交直线Ａ… 相似文献
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高考试题要做到“重基础、考能力” ,“源于教材、高于教材” ,如何对教材进行合理的利用、选择 ,特别对教材例习题的引申与改造则显得尤为重要 .下面就 2 0 0 1年全国理科试题几何部分 ,看看对课本例习题的选择 .《平面解析几何》Ｐ6 9习题 1 :“求下面各圆的方程 :(1 )过点Ａ(5,2 )和点Ｂ(1 ,3) ,圆心在ｘ轴上 ;(4)过点Ａ(5,2 )和点Ｂ(3,-2 ) ,圆心在直线 2ｘ -ｙ=3上 .”若将两点改为 (1 ,-1 )和(-1 ,1 ) ,直线改为ｘ ｙ-2 =0 ,则为全国试题 2 .《平面解析几何》Ｐ1 30例 2 :“求圆心是Ｃ(ａ ,0 ) ,半径是ａ的圆的极坐标方程” .若将圆… 相似文献
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许多资料上都有这样一习题 :命题 1 Ｏ为原点 ,ＯＡ、ＯＢ是抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ ( ｐ>0 )的两弦 ,若ＯＡ ⊥ＯＢ ,求证 :直线ＡＢ过定点Ｐ( 2 ｐ ,0 ) .证明略 .2 0 0 0年春季高考数学 2 2题就是由此题改编而成 .试题 设Ａ ,Ｂ为抛物线ｙ2 =4 ｐｘ ( ｐ>0 )上原点以外的两个动点 ,已知ＯＡ⊥ＯＢ ,ＯＭ ⊥ＡＢ于Ｍ ,求点Ｍ的轨迹方程 .略解 由命题 1知直线ＡＢ过定点Ｐ( 4 ｐ ,0 ) .∵ＯＭ ⊥ＡＢ ,即ＯＭ⊥ＰＭ .∴Ｍ点的轨迹是以ＯＰ为直径的圆 ,除去Ｏ点 ,即方程为(ｘ- 2 ｐ) 2 ｙ2 =4 ｐ2 (ｘ≠ 0 ) . 如果我们把命题 1中… 相似文献