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数学家波利亚说过:“教师的首要职责之一,就是不要给学生以下述错误,数学题目之间很少有联系.”又说:“在一个问题中找出关系式,我们即可把它用于求解另一个问题.”我们在解题教学中,如果能够注意这一名言,那么就可以达到事半功倍的效果.现根据课本,例说如下:题目 过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和这抛物线相交,两个交点的纵坐标为y1、y2,求证:y1y2=-p2.(课本《平面解析几何》(必修)101页第8题)证明 (略)利用上题的结论很容易解决下面几个问题.例1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点… 相似文献
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纵观近几年的高考试卷 ,不难发现许多考题是由课本上的例题、习题改编而成的 .因此 ,如何发挥例、习题的功效 ,是值得大家研究的一个课题 ,笔者就此谈一谈自己的作法 ,供大家参考 .一、一题多变 ,激活思维的发散性例 1 (解几课本P10 1习题 8)过抛物线y2 =2px的焦点的一条直线和这条抛物线相交 ,两个交点的纵坐标为y1、y2 ,求证 :y1y2 =-p2变题 1:判断例 1的逆命题是否成立 ?若成立 ,请给予证明 .变题 2 :条件同例 1,若两交点的横坐标为x1,x2 ,求证x1x2 =p24变题 3:将例 1中的“焦点F”更一般化为“点M(m ,0 )在抛物线的… 相似文献
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今年高考“3 X”型数学试卷理科第 1 9题(文科第 2 0题 )是 :设抛物线y2 =2px(p >0 )的焦点为F ,经过焦点F的直线交抛物线于A、B两点 ,点C在抛物线的准线上 ,且BC ∥x轴 ,证明 :直线AC经过原点 .一、试题的背景揭示该试题是《平面解析几何》(全一册 ,必修 )第 1 0 0页习题八的第 8题 :“过抛物线y2 =2px(p>0 )的焦点的一条直线和这条抛物线相交 ,两个交点的纵坐标为y1 ,y2 ,求证 :y1 y2=-p2 ”的改变题 .二、过抛物线的焦点弦的性质设抛物线y2 =2px(p>0 )的焦点为F ,经过焦点F的直线交抛物线于A、B两点 ,若… 相似文献
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函数y=x+px(p>0,以下不再说明)在高考题中的应用,可谓出神入化,但对应试者来说却是望难兴叹.为此本文提出:要攻克综合试题难关,必须强化综合思维意识,即把五大数学思想有机地组合起来,既各司其职,又充分发挥其整体的功能.1 图像意识由y=x+px变形得x2-xy+p=0,利用一般二元二次方程的判别式得B2-4AC>0,并注意到p>0,故其图像为双曲线,且渐近线方程为x2-xy=0,即x=0和y=x.又由基本不等式得|y|=x+px=|x|+p|x|≥2p,当且仅当x=±p时等号成立,知其顶点… 相似文献
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在数学教学中 ,有目的有意识地引导学生将课本中习题进行一题多变 ,对加强学生“三基”训练和培养学生思维灵活性、广阔性、深刻性及创造性是十分有益的 .特别是高考复习时 ,能够避免题海战 ,起到举一反三、以一当十之功效 .现以高中《平面解析几何》(必修 )第 99页习题第 8题为例加以说明 .原题 过抛物线 y2 =2 px的焦点的一条直线和这抛物线相交 ,两个交点A、B的坐标分别为 (x1,y1)、(x2 ,y2 ) ,求证 :y1y2 =- p2 .证明 (略 )1 逆向变换变题 1 已知抛物线方程 y2 =2px ,一条直线和这条抛物线相交于A、B两点 ,其坐标分… 相似文献
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在千变万化的诸多变量中,恰恰有些量的变化并不引起其他量的变化,则其他的量与该变量就无关。运用这种无关思想可简洁明快地解答某些数学问题。 例 1、(1)试证抛物线y= x2+(2m+ 1)x+ m2- 1的顶点均共线,而与参数m的取值无关。(2)与各顶点所在直线平行且与抛物线相交的直线,被各抛物线所截得的线段都相等,而与参数m的取值无关。 (2)设与各顶点所在直线 平行的直线为y=x+p,其与抛物线方程联立,再由韦达定理可求出直线和抛物线交点的横坐标之差(x1-x2)2=(x1+ x2)2-4x… 相似文献
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从“巧合”中探寻规律——一类对称问题的巧妙解法赵斌(江苏江阴一中214400)陆海泉(江苏射阳县中学224300)引例求直线x-2y+7=0关于直线x+y-1=0对称的直线方程.解由方程组x-2y+7=0x+y-1=0{得两直线的交点P-53,83.... 相似文献
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求直线方程的另一种形式古浪县二中杜鸿基在解决直线与圆锥曲线有关的综合性问题中,有时需要对直线的斜率分为“存在”与“不存在”两种情况进行讨论。若将直线方程设为x=my+p(m、p为参数)的形式,可避免以上情况而简化解答过程。例1.过抛物线y2=2px的... 相似文献
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定理 过抛物线y2 =2px(p >0 )对称轴上一定点M(x0 ,0 )作一条直线交抛物线于A、B两点 ,若两交点的纵坐标为y1、y2 ,则y1y2 =- 2px0 (定值 ) .证明 设直线AB方程为x=my+x0 ,代入抛物线方程y2 =2px ,得y2 2mpy - 2px2 =0 .因为AB的纵坐标为y1、y2 ,由韦达定理得 y1y2 =- 2px0 .特别地 ,当M(p2 ,0 )时 ,y1y2 =-p2 .(高中《解析几何》课本 10 1页第 8题 )逆定理 一条直线和抛物线y2 =2px(p >0 )相交 ,若两交点的纵坐标为y1、y2 ,且满足y1y2 =A(定值 ) ,则这条直线恒过定点 (- A2… 相似文献
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王启龙 《中学数学教学参考》1998,(4)
一道不等式题的多种证法甘肃省静宁一中王启龙题目:已知a,b∈R,且a+b+1=0.求证(a-2)2+(b-3)2≥18.证明一:综合法∵若x,y∈R,则有x2+y2≥(x+y)22.当且仅当x=y时取“=”.又∵a+b+1=0,∴(a-2)2+(b-... 相似文献
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1 问题提出《数学通报》1995年第8期问题969题:已知a、b、c∈R+,且a+b+c=1,求证:3-3<1-3a2+1-3b2+1-3c2≤6.已见多文对这类问题上界不等式的解法进行探讨〔1〕~〔4〕,但对其下界却少有研究.我们自然要问:其下界的求解方法可否优化?为便于说明,不妨摘抄原文如下:图1对于函数y=1-3x2,它的图像是椭圆3x2+y2=1(x>0,y≥0)在第一象限的部分,是凸的.过A(0,1)、B33,0的直线方程为y=1-3x.对于0<x≤33,有1-3x2>1-3x.∴u=… 相似文献
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性质 设P1、P2是双曲线x2a2-y2b2=1上两点,P(xp,yp)是弦P1P2的中点,直线P1P2的斜率为k,则有 ypxp·k=b2a2.证明较简单,此处从略.应用此性质来解决有关双曲线中点弦的问题,有简捷明快、出奇制胜之感.本文拟谈谈该性质的应用.1 求中点弦例1 直线x+y-2=0被双曲线x23-y2=1所截得的弦的中点是.解 设弦的中点为(x0,y0),则由性质可得y0x0·(-1)=13, ∴ x0+3y0=0.(1)又点(x0,y0)在直线x+y-2=0上,∴ x0+y0-2=… 相似文献
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周承欢 《中学数学教学参考》1997,(7)
互为反函数的图象的交点问题贵州瓮安一中周承欢用方程组y=x,y=f(x){求方程f(x)=f-1(x)的解、求f(x)与f-1(x)图象的交点,为什么有时无解、有时漏解呢?这是因为互为反函数的两个函数的图象,有的不相交,而相交的其交点不一定都在直线y... 相似文献
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设l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,利用两直线方程的不同组合形式,化归为不同性质的方程,从而可使一些问题巧妙解决.1A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0这种组合形式的方程,是大家熟知的经过两条直线交点的直... 相似文献