共查询到20条相似文献，搜索用时 218 毫秒
1.
王兆华 《中学数学教学参考》1994,(8)
不等式a b/2≥ab~(1/2)(a,b∈R )是中学数学重要不等式之一.其应用广泛,技巧性强,加强这一不等式的教学,对提高学生的分析问题、综合应用知识的证题能力和创造思维能力,以及诱发学生对数学的美感,增长他们创造数学美的能力是大有好处的.本文从不同的角度给出这一不等式的几种证法,以供参考. 定理如果a,b∈R ,那么a b/2≥ab~(1/2)(当且仅当a=b时,取“=”号). 证法一:(用二次根式的性质证) 当a≠b时,(a~(1/2)-b~(1/2))~2>0; 当a=b时,(a~(1/2)-b~(1/2))~2=0. 故(a~(1/2)-b~(1/2))~2≥0. 即a b-2ab(1/2)≥0. 故a b/2≥ab~(1/2). 证法二:(用面积证)如图1所示, 当 a≠b 时,S_(正方形ABCD)>4S_(矩形AB_1C_1D_1); 当a=b时,S_(正方形ABCD)=4S_(矩形AB_1C_1D_1), 故 S_(正方形ABCD)≥4S_(矩形AB_1C_1D_1) (a b)~2≥4aba b/2≥ab~(1/2). 相似文献
2.
形如“a/b=c~2/d~2”的题目,是较复杂的线段成比例的问题,由于求证式两边不是同次幂的比,证明较困难.这里举例说明几种思考方法,以供参考. 一、用线段的积代换c~2或d~2,使问题转化为证明简单的线段比例式例1 已经⊙O的弦AB的延长线和切线EP交于点P,E为切点,C 相似文献
3.
不等式a b≥2(ab)~(1/2)是中学数学中一个用得很广的基本不等式,但在应用中常见一些错误,现举几例. 一、忽视了a b≥2(ab)~(1/2)成立条件而导致的错误例1 设a、b、c为正数,求证(a b c)~3≥27(a b-c)(b c-a)(c a-b) 错误证法: ∵a b c=(a b-c) (b c-a) (c a-b)>0 ∴(a b-c) (b c-a) (c a-b)≥3((a b-c)(b c-a)(c a-b))~(1/2) 即(a b c)~3≥27(a b-c)(b c-a)(c a-b) 分析:虽a>0,b>0,c>0,但a b-c,b c-a,c a-b不一定都大于0,而x y z≥3(xyz)~(1/2)的中x、y、z必须都大于0. 相似文献
4.
问题1 已知a＞0,b＞0,且a＋b =1,求证：（a＋1/a）（b＋1/b）≥25/4.
本题经常出现在学生平时的测试题,甚至竞赛题中．关于这道题,有很多种证法,比如比较法,分析法,三角换元法,利用均值不等式或柯西不等式和对勾函数性质证明等等．下面笔者介绍本题三种常见的证法并对其加以拓广． 相似文献
5.
目前已有人把(a+1/a)(b+1/b)≥25/4(a>0,b>0,a+b=1)推广为:设x_i>0(i=1,2,…,n)且x_1+x_2+…+x_n=k,则(x_1+1/x_1)(x_2+1/x_2)…(x_n+1/x_n)≥(n/k+k/n)~n当且仅当x_1=x_2=…=x_n=k/n时取等号。本文对该不等式进一步作了推广,得出两个新的结果。欲知情况如何,请看该文。 相似文献
6.
形如b/a=c~2/b~2(a、b、c、d表示线段)的比例的证明,同学们常感到棘手,本文举例说明说它的一种证明方法—凑比法。其思路是将b/a凑成b/x·x/a,若待定线段x使得b/x=c/d且x/a=c/d,则b/a=b/x·x/a=c~2/d~2。例1 如图1,自⊙O外一点P作⊙O的切线PA,过P作割线PCB,求证:PB/PC=(AB)~2/(AC)~2 分析:设PB/PC=PB/x·x/PC(x为待定线段),先证明PB/x=AB/Ac,由此确定出x,再证明 相似文献
7.
安振平先生在《中学数学月刊》2 0 0 3年第 7期《一个三角形中的不等式》一文中给出了不等式 :命题 1 在△ ABC中 ,三边长 a,b,c,则a - b ca b- c ab c - a bc ≤ 3. ( 1 )现在给出 ( 1 )左式的下界 :命题 2 在△ ABC中 ,三边长为 a,b,c,则 a - b ca b- c ab c - a bc >2 . ( 2 )证明 设2 x =a - b c,2 y =b- c a,2 z =c- a b则a =x y,b =y z,c=z x,且 x,y,z >0 .∴ a - b ca b - c ab c - a bc=2 xx y 2 yy z 2 zz x= 2 ( xx y yy z zz x)>2 ( xx y yy z zz x)>2 ( xx y z yy z x zz x y) =2 .这个… 相似文献
8.
1982年全国中学生数学竞赛试题中有一道选择题是要判断“当a≠b,a>0,b>0时(a+1/a)(b+1/b),(ab~(1/2)+1/ab~(1/2))~2及((a+b)/2+2/(a+b))~2中哪个最大?”,答案是这三个数中没有最大的,由此产生下列问题:设a≠b,a>0,b>0,A=(a+1/a)(b+1/b),B=(ab~(1/2)+1/ab~(1/2))~2,C=((a+b)/2+2/(a+b))~2试比较A、B、C的大小? 相似文献
9.
在初中平面几何中经常遇到证明线段“a+b=c”的问题.对于这一类问题一般有两种思考方法:(1)加长法.将线段 a(或 b)延长,使延长的线段等于 b(或 a),再设法证明延长后的整体线段等于 c;(2)截短法.在线段 c 上截取一段等于 a,再设法证明剩余的 相似文献
10.
利用不等式(a b)/2≥ab~(1/2)求函数最值,必须注意等式成立的条件,否则可得出错误的结果。兹举例如下: 例过点(1,4)作一直线,使在二坐标轴上的截距为正且其和最小,求直线方程。 <错解> 设直线方程为y=k(x-1) 4,则k<0。截距a=1-4/k,b=4-k,及-k均大于0,由不等式 相似文献
11.
不等式(a b/2)≥ab~(1/2)(a≥0,b≥0)~*的证明和应用在中学数学教材中占有一定的地位。1980年高考数学复习大纲也列入了这部份内容。对它进行系统的复习,使学生自觉的掌握和运用这个基本不等式,对于解代数、三角、以至几何等有关问题是有一定帮助的。 相似文献
12.
范灵超 《数学大世界(高中辅导)》2005,(9)
不等式a b≥2ab(a、b∈R )(当且仅当a=b时等号成立)a b2≥ab(a、b∈R )(当且仅当a=b是等号成立),其中a b2、ab分别是a与b的算术平均数、几何平均数,故简称其为“均值”不等式或“均值”定理.另外均值不等式可推广为三个(或多个)变元的形式,即:a b c≥33abc(a、b、c∈R )(当且仅当a=b=c时等号成立)a1 a2 a3 … an≥na1a2a3…an(a1,a2,a3,…,an∈R )(当且仅当a1=a2=a3=…=an时等号成立)均值不等式的功能除用于比较数的大小及证明不等式外,主要用于求函数的最值,在使用均值不等式求最值时必须具有三个缺一不可条件,即为:一正:诸元皆正;二定:… 相似文献
13.
不等式证明是竞赛题中的重点和难点.本文针对几道国际竞赛题的特殊形式,通过添项变形利用b2/a+a≥2b(a,b∈R+)这一简捷不等式给出巧妙解法. 相似文献
14.
缑凯宾 《数理化学习(高中版)》2007,(21)
对于求函数y=x a/x b(a>0,a、b均为常数)的最值,当x>0时,可利用均值不等式求其最值,当条件不具备时,可利用函数y= x a/x b的单调性求最值.我们利用函数单调性定义或导数知识可知该函数在(-∞,-a~(1/2)]与[a~(1/2), ∞)上为增函数,在[-a~(1/2),0)与(0,a~(1/2)]上为减函数,该数学模型渗透在多种求函数的最值问题之中,在高考题中较为多见,下面 相似文献
15.
刘卓平 《中学生数理化(高中版)》2005,(13)
已知a,b,m都是正数,并且aa/b.(人教版高中代数第二册(上)P12例2) 本题在教材中是作为比较法证明不等式的例子给出的,其证法很多. 这里,我们首先用直线斜率和函数方法对它加以证明. 思路一:将要证的结论变形为a-(-m)/b-(-m)>a-0/b-0,会使我们联想到直线的斜率公式,可把问题转化为确定两条直线斜率的大小.于是不难得到如下的证明方法. 证法一:根据已知条件作出示意图,显然即 相似文献
16.
苏进文 《中学数学研究(江西师大)》2007,(5):18-19
文[1]在文末提出猜想：f（x）=a/cos^nx＋b/sin^x（0〈x〈π/2,a、b为大于0的常数，n∈N^＊当且仅当x=arctan n＋2√b/a时，取最小值（2/an＋2＋2/bn＋2）n＋2/2,文[2]用相当长的篇幅且非常繁杂的方法证明了文[1]提出的猜想是正确的．本文将直接运用均值不等式给出文[1]猜想的一个简单漂亮的初等证明． 相似文献
17.
18.
这是一道常见的题目:已知a、b、c∈R~ ,且a b c=1,求证:1/a 1/b 1/b≥9(*).灵活利用不等式(*)及其证法,我们可以巧妙地解答与之相关的数学命题.证明1:因为a、b、c∈R~ ,a b c=1.所以1/a 1/b 1/c=(a b c)/a (a b c)/b (a b c)/c=3 (b/a a/b) 相似文献
19.
先证明对于任意正实数a,b都有a+b≥2（ab）1/2.证明:a,b都大于0,所以(a1/2-b1/2)2≥0,所以a-2（ab）1/2+b≥0,所以a+b≥2（ab）1/2.当a=b时,a+b=2（ab）1/2. 相似文献
20.
本文从不等式acosθ+bsinθ≤a2+b2(1/2)(a,b,θ∈R,ab≠0)(或其等价形式)的结构出发,联想代数或几何模型,得到了该不等式的六种证法. 相似文献