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1.
向量作为一种工具在解题中的应用极广,巧用公式a·b≤a·b解题,方法新颖、运算简捷.本文举例说明该公式的应用.1在求值中的应用例1若α,β∈(0,π),求满足等式cosα+cosβ-cos(α+β)=23的α,β的值.解原等式可化为(1-cosβ)cosα+sinβsinα=32-cosβ.构造向量a=(1-cosβ,sinβ),b=(cosα,sinα),则a·b=(1-cosβ)2+sin2β·cos2α+sin2α=2-2cosβ,a·b=(1-cosβ)cosα+sinβsinα=32-cosβ.因为(a·b)2≤a2b2,所以(23-cosβ)2≤2-2cosβ,即(cosβ-12)2≤0,所以cosβ=21,β=3π.又α,β地位相同,故α=3π,即α=β=3π.2在求最值和值域中的… 相似文献
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秦远 《数理天地(高中版)》2005,(Z1)
柯西不等式 设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn均是实数,则有 (a1b1 a2b2 … anbn)2 ≤(a12 a22 … an2)(b12 b22 … bn2)等号当且仅当ai=λbi(λ为常数,i=1,2,…,n)时成立. 向量形式 设n维向量α(a1,a2,…,an),β(b1,b2,…,bn),则有 α·β≤|α|·|β|,当且仅当α∥β时取等号. 推论1 设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn均是实数,则有(a12 a22 … an2)~(1/2) (b12 b22 … bn2)~(1/2) 相似文献
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邱承雍 《数理化学习(初中版)》2003,(1)
设x1、x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根,那么x1=(-b+(b2-4ac))/2a,x2=(-b-(b2-4ac))/2a,x1+x2=-(b/a),x1·x2=c/a,由此,得 相似文献
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柯西不等式:设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn∈R,则(a12+a22+…+a2n)(b12+b22+…+b2n)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.柯西不等式具有对称和谐的结构特征,应用关键在于构造两组数ai,bi(i=1,2,…,n),进行合理的变形,找准解 相似文献
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文[1]用均值不等式广泛地解决了一类分式不等式的证明 .本文来介绍这类不等式的一般性证法 ,证明中用到柯西不等式及其推论 .柯西不等式设 ai,bi ∈ R( i =1 ,2 ,… ,n) ,则 ( a21 + a22 +… + a2n) ( b21 + b22 +… + b2n)≥( a1 b1 + a2 b2 +… + anbn) 2推论 设 ai,bi ∈ R+( i =1 ,2 ,… ,n) ,则a21b1+ a22b2+… + a2nbn≥( a1 + a2 +… + an) 2b1 + b2 +… + bn下面结合文 [1 ]中的一例阐述推论的应用 .例 1 设 ∑ni=1xi =1 ,xi ∈ R+,i =1 ,2 ,… ,n,证明 :x11 -x1+ x21 -x2+… + xn1 -xn≥ nn -1左边 =x21x1 -x21+ x22x2 -x22+…… 相似文献
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在历年的全国高中数学联赛中 ,考查不等式的问题已屡见不鲜 ,尤其是利用构造不等式解决与最值有关的问题一直是近几年的考查热点 .笔者在多年的竞赛辅导中发现 ,全国高中数学联赛中的不等式问题有以下几种常见类型 .1 基本不等式法例 1 设 n为正自然数 ,a,b为正实数 ,且满足 a+ b=2 ,则 11+ an+ 11+ bn的最小值是 .(1990年全国高中数学联赛题 )解 ∵ a,b>0 ,∴ ab≤ (a+ b2 ) 2 =1,anbn≤ 1.故11+ an+ 11+ bn=1+ an+ bn+ 11+ an+ bn+ anbn≥ 1,当 a=b=1时上式等号成立 ,故最小值是 1.例 2 设 a=lgz+ lg[x(yz) -1+ 1],b=lgx-1+lg(xyz+ 1)… 相似文献
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设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(a12+a22+…+a2n)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立. 相似文献
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恰当地应用好向量和导数,许多最值问题便迎刃而解,并且利用向量和导数来求最值,容易被学生接受.为了便于比较.一、用|a||b|≥a.b求最值例1已知x,y,z∈R ,且x y z=1,求x1 4y z9的最小值.解:令a=(1x,2y,3z),b=(x,y,z),则|a|2=1x 4y 9z,|b|2=1,(a.b)2=(1 2 3)2=36.由|a|2|b|2≥(a.b)2得,1x 4y 9z≥36,当且仅当1x=2y=3z时等号成立,即x=16,y=31,z=21.∴1x 4y 9z的最小值为36.例2已知ai,bi∈R ,且∑ni=1ai=∑ni=1bi=1,求a1a 12b1 a2a 22b2 … ana 2nbn的最小值.解析:令p=(a1a1 b1,aa2 2b2,…,anan bn,q=(a1 b1,a2 b2,…,an bn),则|p|2=a1a 21b1 a… 相似文献
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<正>设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则a1bn+a2bn-1+…+anb1(反序和)≤a1c1+a2c2+…+ancn(乱序和)≤a1b1+a2b2+…+anbn(顺序和),当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时,反序和等于顺序和. 相似文献
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<正>一、习题再现人教B版选修4-5《不等式选讲》第43页习题2-1第9题:设a1,a2,…,an为实数,b1,b2,…,bn为正数,求证:a12/b1+a22/b2+…+an2/bn≥(a1+a2+…+an)2/(b1+b2+…+bn).这道习题,其实就是柯西不等式的变式,其辐射面广、功能强大,尤其在高考题,自主招生,数学竞赛中应用十分普遍.恰当使用该变式,往往获得让人赏心悦目的解答. 相似文献
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郭兴甫 《数理天地(高中版)》2003,(5)
柯西不等式:对于任意实数ai,bi(i=1,2,…,n)有 (a1b1 a2b2 … anbn)2≤(a12 a22 … an2)(b12 b22 … bn2),当且仅当ai=kbi(k为常数)时成立. 柯西不等式揭示了任意两组实数积之和的平方与平方和之积间的大小关系,应用十分广泛.下面以近十年来的“希望杯”试题为例,供同学们参考. 相似文献
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当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性,重视知识的交汇性.向量是新课程中新增的内容,具有代数与几何形式的双重身份,它是新、旧知识的一个重要交汇点,成为联系这些知识的桥梁.向量与三角函数的交汇是当今高考命题的必然趋势,以下几例,重在为备考中的考生总结题型规律,探究解题策略.一、向量与三角函数性质的交汇例1已知向量a=(cos3x2,sin3x2),b=(cosx2,-sinx2),且x[0,π2].求:(1)a·b及｜a+b｜;(2)若f(x)=a·b-2λ｜a+b｜的最小值是-32,求λ的值.解(1)a·b=cos3x2·cosx2-sin3x2·sinx2=cos2x.｜a+b｜=(cos3x2+cosx2)2+(sin3x2-sinx2)2… 相似文献
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张希荣 《数学大世界(高中辅导)》2003,(10)
本文主要谈谈平面向量数量积的性质|a·b|≤|a||b|在证明不等式、求函数最值方面的应用。一、证明不等式【例1】已知a_1,b_1,a_2,b_2∈R,求证: 相似文献
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柯西不等式(a21 a22 … a2n)(b21 b22 … b2n)≥(a1b1 a2b2 … anbn)2及其变式(a21/b1) (a22/b2) … (a2n/bn)≥((a1 a2 … an)2/b1 b2 … bn)(a1,a2,…an;b1,b2,…,bn∈R ),在证(解)不等式中有重要应用,这是众所周知的.然而在使用柯西不等式时:(1)怎样更直接、更有效地使用它,使证(解)过程更简洁;(2)如何在证(解)那些形式上与柯西不等式相差甚远的不等式时使用它.这些却是常被忽视的问题.以下通过几例具体说明. 相似文献
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一、选择题1.下列关系正确的是()A.A =-B B.a·b仍是一个向量C.A -A =C D.｜a·b｜=｜a｜·｜b｜2.若向量a、b反向,则下列等式成立的是()A.｜a｜-｜b｜=｜a-b｜B.｜a+b｜=｜a-b｜C.｜a｜+｜b｜=｜a-b｜D.｜a｜+｜b｜=｜a+b｜3.平面上有三个点C(2,2),M(1,3),N(7,k),若∠MCN=90°,则k的值为()A.6B.7C.8D.94.下列各组中的两个向量,其中共线的一组是()A.a=(-2,3),b=(4,6)B.a=(2,3),b=(3,2)C.a=(1,-2),b=(7,14)D.a=(-3,2),b=(6,-4)5.若｜a｜=3,｜b｜=4,(a+b)(a+3b)=33,则a与b的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°6.… 相似文献
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设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则a1bn+a2bn-1+…+anb1(反序和)≤a1c1+a2c2+…+ancn(乱序和)≤a1b1+a2b2+…+anbn(顺序和),当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时,反序和等于顺序和. 相似文献
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构造向量巧证不等式 总被引：1，自引：0，他引：1
向量是高中教材的新增内容 ,作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学后 ,给中学数学带来无限生机。笔者在阅读文 [1 ]发现 ,该文所举的各个例子 ,均可通过构造向量 ,利用向量不等式 :m·n≤ |m|·|n|( )轻松获证 ,显示了向量在证明不等式时的独特威力。例 1 已知a、b、c∈R ,且a +2b +3c=6,求证a2+2b2 +3c2 ≥ 6。证明 构造向量 :m =(a ,2b ,3c) ,n =( 1 ,2 ,3 ) ,由向量不等式 ( )得6=a +2b +3c≤a2 +2b2 +3c2 · 1 +2 +3 ,∴a2 +2b2 +3c2 ≥ 6。例 2 已知 :a、b∈R+ ,且a +b =1 ,求证(a +1a) 2 +(b +1b) 2 ≥2 52 。证明 构造… 相似文献
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一、考查向量的坐标表示、性质及运算例1(2004年河南、河北、山东、山西、安徽、江西高考题)已知a,b为单位向量,它们的夹角为60°么,那a+3b=_____.A.姨7B.姨10C.13D.4姨解法一(解析法)∵a+3b=(a+3b)2=姨姨a2+9b2+6a·b.∵a2=a=1,(3b)2=3b=96×a×b×cos60°=3.22,∴a+3b=姨13.选C.解法二(数形结合法)如图1所示,设A B=a,BC=3b,则A C=a+3b,且∠A BC=120°.在△ABC中,由余弦定理解得A C=姨13.选C.小结熟记向量的运算公式,熟悉向量的性质,理解向量的几何意义,是解决向量问题的关键.二、综合考查向量与三角例2(2004年湖南高考题)已知向量… 相似文献