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活用一元二次方程根的定义解相关问题 ,具有事半功倍之效 ,举例如下。例 1 若m、n是关于x的方程x2 + (P - 2 )x + 1 =0的两根 ,则代数式 (m2 +mp + 1 ) (n2 +np + 1 )的值等于 解 :因为m、n是已知方程的根 ,由根的定义可知 :m2 + (p - 2 )m + 1 =0 n2 + (p - 2 )n + 1 =0变形可得 :m2 +pm + 1 =2m n2 +pn + 1 =2n又由韦达定理可知 :mn =1所以 (m2 +mp + 1 ) (n2 +np + 1 ) =2m× 2n =4mn =4 评析 :解法运用根的定义 ,使得变形过程简洁明快。若按常规解法将求值式展开后 ,运用韦达定理进行计算 ,则项数多 ,过程繁 ,容易出错。例 … 相似文献
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一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当有一个根是“1”时,根据方程根的定义得a+b+c=0,反之,如果a+b+c=0时,方程的根又分别是什么呢?证明:∵a+b+c=0∴b=-a-c则ax2+bx+c=0变为ax2+(-a-c)x+c=0可分解为(ax-c)(x-1)=0解得:x1=1x2=ac也就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,当a+b+c=0时,有一个根是1,另一个根是c/a,借这个特殊性质来巧解题。1、巧求一元二次方程的两个根例1解关于x的方程:mx2-(m-n)x-n=0(m≠0)解:∵m-(m-n)-n=0∴x1=1x2=-(mn).2、巧求代数式的值已知:一元二次方程(ab-2b)x2+2(b-a)x+2a-ab=0有两个相等的实数根,求1a+1b的值。解:方程(ab-2b)x2+2… 相似文献
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配方是代数式的恒等变形之一,是一种重要的数学思想,有着广泛的应用.一、求代数式的值例1(2012年日照卷)已知x1、x2是方程2x2+14x-16=0的两个实数根 相似文献
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《初中数学教与学》2021,(17)
<正>韦达定理及其逆定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理,它在求代数式的值,解方程(组)等方面都有着很广泛的应用.下面举例说明,供大家参考.一、求字母的值例1 已知关于x的一元二次方程x2-2(m-1)x+(m2-2(m-1)x+(m2-1)=0有两个不相等的实根α,β.若α2-1)=0有两个不相等的实根α,β.若α2+β2+β2=4,则m=___.解∵α,β是方程x2=4,则m=___.解∵α,β是方程x2-2(m-1)x+(m2-1)=0的两个不相等的实根,∴α+β=2(m-1),αβ=m2-2(m-1)x+(m2-1)=0的两个不相等的实根,∴α+β=2(m-1),αβ=m2-1,且Δ>0. 相似文献
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胡怀志 《数理化学习(初中版)》2006,(6)
我们知道:若x1是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,则ax12+bx1+c=0,反之若ax12+bx1+c=0(a≠0),则x1是方程ax2+bx+c=0的一个根,活用方程根的定义的正、反两方面知识,进行解题是一种重要的方法,现举例说明·一、正用方程根的定义例1(“祖冲之杯”数学邀请赛题)已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和是m,两根平方和是n,求3an2+c3bm的值·解:设方程的二根是α、β,则aα2+bα+c=0,aβ2+bβ+c=0·两式相加,得a(α2+β2)+b(α+β)+2c=0,即an+bm+2c=0,所以2c=-(an+bm),所以3an2+c3bm=-31·例2(河北省初中数学竞赛题)求作一元二次方程,使它的根是方程x… 相似文献
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一元二次方程是初中数学学习的一个重点,与之有关的问题在中考中屡见不鲜.解答它们,要注意从如下三方面入手:
一、从根的定义入手
例1 (2013年菏泽市中考题)已知m是方程x2-x-2=0的一个实数根,求代数式(m2-m)(m-2/m+1)的值. 相似文献
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在初中代数中 ,求关于已知一元二次方程的两根的代数式的值 ,是常见的一类问题。在解决这类问题时 ,一般情况下 ,利用一元二次方程根与系数的关系来求解 ,但在不少情况下 ,题中所给的代数式与方程两根的和与积并没有明显的联系 ,单独利用根与系数的关系不易求解 ,甚至无法求解。此时就可以先利用一元二次方程根的定义把所给的代数式进行变形 ,使之与方程两根的和与积产生联系 ,再利用根与系数的关系求解。例一 :已知α,β是关于 x的方程 :x2 + ( m- 2 ) x+ 1=0的两个根 ,求 ( 1+ mα+ α2 ) ( 1+ mβ+ β2 )的值。分析一 :考虑用根与系数的… 相似文献
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一、填空题1.关于x的方程(m-1)x2+(m+1)x+3m-1=0,当m时,是一元一次方程;当m时,是一元二次方程.2.当x=时,代数式x2-8x+12的值是-4.3.若连续两个奇数的积是15,则这两个数是.4.某厂2003年的钢产量是a吨,计划以后每一年比上一年的增长率为x,那么2005年的钢产量是吨.5.已知方程3x2-9x+m=0的一个根是1,则m的值是.6.写出一个方程,使它的一个根是1,另一个根满足-1相似文献
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方程的根就是方程的解,利用方程根的定义来解题,往往能起到意想不到的作用。1·正用定义。例1关于x的方程ax2+(a2+2a)x-4=0的一个根是1,求a的值。 相似文献
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王瑜 《数理化学习(初中版)》2002,(7)
若x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根,应用根与系数的关系,可不解方程直接求代数式等的值.这类代数式,都有一个共同的特点,互换字母x1、x2后,原代数式不变,则称它为一元二次方程的根的对称式.本文将从两个方面谈对称式在中考中的应用. 相似文献
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有些与方程有关的竞赛题常常通过构造二次方程来解.题型不同,构造方法各异.1.根据方程根的定义构造例1 若 m~2=m+1,n~2=n+1,且 m≠n,则 m~5+n~5=____(江苏省第四届初中数学竞赛题) 相似文献
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本文拟将一代数定理的应用介绍如下,供同学们参考 [定理] 已知a_0+a_1+a_2+……+a_(n-1)+a_n=0,求证:一元n次方程a_0x~n+a_1x~(n-1)+a_2x~(n-2)+……+a_(n-1)x+a_n=0(a_0≠0)有一个根为1。证明:(略)下面谈一下这个定理的应用: [例1] 已知方程(m+1)(x~2-x)=(m-1)·(x-1)的两根绝对值相等而符号相反,求m的值。解:原方程变形为(m+1)x~2-2mx+(m-1)=0,由题设知m+1≠0,但m+1-2m+m-1=0,∴此方程有一个根为1。而原方程两根绝对值相等、符 相似文献
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我们知道:△=b2-4ac是方程ax2 bx c=0(a≠0)的根的判别式,可简单明了地判断方程根的情况,在这方面,书本上已经介绍了它的一些常规应用,而其他方面的应用,书本上没有作明确说明,在这里,简单地介绍如下:1 在代数式中的应用 例1 若代数式(2m-1)x2 2(m 1)x 4是一完全平方式,求m的值。 分析由代数式为一完全平方式,若令此代数式等于零,则此方程必有两个相等的实数根,故而△=0。 相似文献
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耿京娟 《初中生学习(中考新概念)》2006,(3)
在遇到含有未知系数的二元一次方程组时,要将未知系数看作常数,解出关于x、y的方程,然后按题目要求处理未知数.◆例1已知代数式x2+m x+n,当x=-1时,它的值为5;当x=1时,它的值为-1,求当x=2时,代数式的值.分析:根据代数式的意义,如果能先确定出m和n的值,再将x=2代入该代数式,就可求出它的值,所以,问题的关键是先找出m和n的值.解:当x=-1时,代数式的值为5,即(-1)2-m+n=5,当x=1时,代数式的值为-1,即12+m+n=-1,整理可得方程组mm+-nn==--42⑴!⑵解之mn==1-3!所以原来代数式x2+m x+n为x2-3x+1,当x=2时,x2-3x+1=22-3×2+1=-1.◆例2关于x、y的方程组32x… 相似文献
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关于一元二次方程的根的代数式求值问题,有时只用根与系数的关系求解,计算会很繁难,甚至无法解答。而借助方程根的定义,则可迎刃而解。 一、直接应用方程的根的定义,采用整体代入法求值 例1 已知a是方程x~2-3x+1=0的根,试求代数式(a~3-3a~2-2a)/(a~2+1)的值。 相似文献
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已知:x1、x2是方程x2-x-9=0的两个实数根,求代数式x2+7x22+3x2-66的值(湖北省黄岗市2001年中考数学题) 分析这是一道求一元二次方程两实根的代数式值的问题,首先想到可利用求根公式,分别求出该两个实数根,然后代入,即可求出值来。如果所求得的根为整数、分数,则代入运算比较方便;如果是无 相似文献
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先化简,后求值是求代数式的值的一般方法.但对于求某些条件代数式的值的问题,特别是对于竞赛题,若能灵活地应用已知条件,挖掘隐含条件,巧妙构造算式,则可简化计算过程,从而达到快捷获解之目的.例1若a2+a=1,求a4-3a2+2的值.解:由a2+a=1得a=1-a2.∴原式=(a4-2a2+1)+(1-a2)=(1-a2)2+(1-a2)=a2+a=1.注:这里充分运用了1-a2=a这一降次的隐含条件.例2已知a2+a-1=0,求a3+2a2+3的值.解:由a2+a-1=0得a2+a=1.∴原式=a3+a2+a2+3=a(a2+a)+(1-a)+3=a+(1-a)+3=4.注:这里运用了隐含条件a2+a=1凑配代入而得解.例3已知m+n+k=0,求证:m3+m2k+n2k+n3-mnk=0.证明:… 相似文献
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宋子模 《初中生学习(中考新概念)》2004,(11)
在中考数学试卷中和中考数学复资料中,常常碰到一元二次方程公共的问题.在求这类问题时,一般的方是应用方程的根的定义,并借助方程的相关知识加以解决.现向同学们绍一种巧求的方法.例1 方程x2+mx+6=0与x2-(m+4)-12=0有一个公共根,求这个公共根m的值.解:设这个公共根为α,则α2+mα+6=0 (1)α2-(m+4)α-12=0 (2 ) (1) + (2) 得:2α2- 4α-6 = 0,即α2-2α-3=0,∴α1= -1,α2=3.当α=-1时,m = 7,当α= 3时,m =-5. ∴方程x2+mx+6=0与x2-(m+4)-12=0 . 当m = 7时,公共根是-1;当 =-5时,公共… 相似文献
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李琴堂 《少年天地(小学)》2003,(11)
一、由方程的定义确定参数例1若(m2-m-2)x2+mx+3=0是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是().(A)m≠-1;(B)m≠2;(C)m≠-1且m≠2;(D)一切实数.解:由一元二次方程的定义,得m2-m-2≠0,∴(m-2)(m+1)≠0,∴m≠2且m≠-1.故选(C).二、由方程根的定义确定参数例2方程x2-12x-m=0的一个根是2,那么m的值是.解:由方程根的定义,把x=2代入方程,得22-12×2-m=0,解得m=-20.三、由方程根的情况确定参数例3已知关于x的一元二次方程(1-2k)x2-2k+1√x-1=0有两个不相等的实数根,求k的取值范围.解:∵方程有两个不相等的实数根,∴△=(-2k+1√)2-4(1-2k)×(-1)=-4k… 相似文献