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1.
用一不等式巧解一串竞赛题 总被引：2，自引：1，他引：2
田彦武 《中学数学研究(江西师大)》2002,(11):47-49
命题:若ai∈R,bi∈R+(I=1,2,…,n),则∑a2i/bi≥(∑ai)2/∑bi,当且仅当a1/b1=a2/bn=…=an/bn时等号成立. 相似文献
2.
徐希扬 《中学数学研究(江西师大)》2005,(1):40-41
设ai、bi∈R(i=1,2,…,n),则(n∑i=1a2i·n∑i=1b2i≥(n∑i=1aibi)2),等号当且仅当(a1/b1=a2/b2)=…=an/bn时成立,这就是著名的柯西不等式.若在此不等式中作如下代换:令ai=(√xi),bi=(√yi),即得如下定理: 相似文献
3.
构造函数解决与不等式相关问题是很常见的,但通常都是构造单调函数,并利用其单调性来完成解答.本文介绍一种新的构造方法,它不是利用函数的单调性,而是应用函数值在其变量取值范围内有确定符号来解题.下面举例来加以说明.例1已知a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn∈[1,2],且∑ni=1ai2=∑ni=1bi2.求证:∑ni=1ai3bi≤1107∑i=n1bi2.证明:构造函数f(x)=(x-12)(x-2)(x+25),则当21≤x≤2时,f(x)≤0故x3-2101x2+52≤0,即x3≤2101x2-52.又21≤abii≤2,所以abi33i≤1210ba2ii2-52,所以ab3ii≤2101ai3-25bi2.故∑ni=1ai3bi≤2110∑i=n1a2i-52∑i=n1bi2=2101∑i… 相似文献
4.
设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(a12+a22+…+a2n)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立. 相似文献
5.
柯西不等式:设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn∈R,则(a12+a22+…+a2n)(b12+b22+…+b2n)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.柯西不等式具有对称和谐的结构特征,应用关键在于构造两组数ai,bi(i=1,2,…,n),进行合理的变形,找准解 相似文献
6.
任殿宏 《中学数学研究(江西师大)》2002,(10):36-37
设a1,a2,a3,…,an;b1,b2,b3,…,bn是任意两组实数,则有((n∑i=1)aibi)2≤((n∑i=1)ai2)·((n∑i=1)bi2)当且仅当a1/b1=a2/b2=…=an/bn时,取"="号,这就是柯西不等式. 相似文献
7.
8.
文[1]用均值不等式广泛地解决了一类分式不等式的证明 .本文来介绍这类不等式的一般性证法 ,证明中用到柯西不等式及其推论 .柯西不等式设 ai,bi ∈ R( i =1 ,2 ,… ,n) ,则 ( a21 + a22 +… + a2n) ( b21 + b22 +… + b2n)≥( a1 b1 + a2 b2 +… + anbn) 2推论 设 ai,bi ∈ R+( i =1 ,2 ,… ,n) ,则a21b1+ a22b2+… + a2nbn≥( a1 + a2 +… + an) 2b1 + b2 +… + bn下面结合文 [1 ]中的一例阐述推论的应用 .例 1 设 ∑ni=1xi =1 ,xi ∈ R+,i =1 ,2 ,… ,n,证明 :x11 -x1+ x21 -x2+… + xn1 -xn≥ nn -1左边 =x21x1 -x21+ x22x2 -x22+…… 相似文献
9.
近日,笔者在研究两道与数列变换有关的题目时,发现了一些非常有趣的结论.题1已知数列{an}、{bn}、{cn}满足:an+1=|bn-cn|,bn+1=|cn-an|,cn+1=|an-bn|.证明:对于任意正整数a1、b1、c1,存在正整数k,使得ak+1=ak,bk+1=bk,ck+1=ck.(2017,全国高中数学联赛安徽赛区预赛)题2对于数列A:a1,a2,…,an(ai∈N,i=1,2,…,n),定义“T变换”:T将数列A变换成数列B:b1,b2,…,bn,其中,bi=|ai-ai+1|(i=1,2,…,n-1),且bn=|an-a1|.这种T变换记作B=T(A). 相似文献
10.
设两个实数数列{an}、{bn}: (1) 若a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn, 则(1)/(n)∑ni=1aibi≥((1)/(n)∑ni=1ai)((1)/(n)∑ni=1bi); 相似文献
11.
1.已知圆Γ1与圆Γ2交于点P、Q,线段AC、BD分别是圆Γ1、Γ2的弦,满足AB与射线CD交于点P,AC与射线BD交于点X,Y、Z分别是圆Γ1、Γ2上的点,且满足PY∥BD,PZ∥AC.证明:Q、X、Y、Z四点共线.
2.设实数ai、bi(i=1,2,…,n,n∈N+)
满足
a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn,
且有
∑ik=1ak≤∑ik=1bk(i=1,2,…,n-1),①
及∑nk=1ak=∑nk=1bk.②
若对任意实数m,满足ai-aj =m的整数对(i,j)的个数与满足bk-bl＝m的整数对(k,l)的个数相等,证明:对任意的i=1,2,…,n,有ai＝bi. 相似文献
12.
柯西不等式的再推广 总被引：1，自引：0，他引：1
黄毅老师在文 [1]中给出了柯西不等式的一个变形及其推广 ,本文在此基础上作进一步的推广 .引理 1(赫尔德不等式 )已知 ai,bi ∈ R+ ,i = 1,2 ,… ,n且α +β =1,1)若αβ >0 ,则∑ni=1aαibβi ≤ ( ∑ni=1ai)α( ∑ni=1bi)β2 )若αβ <0 ,则∑ni=1aαibβi ≥ ( ∑ni=1ai) α( ∑ni=1bi) β引理 2 已知 xi,yi ∈ R+ ,i =1,2 ,… ,n1)若 r >1或 r <0 ,则∑ni=1xiyri ≥ ( ∑ni=1yi) r( ∑ni =1x 11 -ri ) 1 -r2 )若 0 相似文献
13.
本文将柯西不等式:设ai、bi∈R(i=1,2,…,n),则(n∑i=1aibi)2≤(n∑i=1a2i)(n∑i=1b2i). 相似文献
14.
题目a、b、c是正实数.证明:(a5-a2 3)(b5-b2 3)(c5-c2 3)≥(a b c)3.(2004,美国数学奥林匹克)研究该题,笔者发现可以将其堆广.命题若ai∈R ,i=1,2,…,n,则∏ni=1(a2n-1i-an-1i n)≥∑ni=1ain,n∈ .证明:因为ai∈R ,i=1,2,…,n,所以,(ani-1)(an-1i-1)≥0(n∈N )a2n-1i-ani-an-1i 1≥0a2n-1i-an-1i n≥ani (n-1).记Ani=ani (n-1),则由上式知∏ni=1(a2n-1i-an-1i n)≥∏ni=1(Ani).①下面证明∏ni=1(Ani)≥∑ni=1ain.因为1=an1An1 n-1An1=an1An1 1An1 … 1An1,1=1An2 an2An2 1An2 … 1An2,1=1An3 1An3 an3An3 1An3 … 1An3,……1=1Ann … 相似文献
15.
罗荣洁 《中学数学研究(江西师大)》2005,(9):47-49
柯西不等式为:(a1b1 a2b2 … anbn)2≤(a21 a22 … a2n)(b21 b22十… b2n).其中ai,bi∈R(i=1,2,…,n).当且仅当a1/b1=a2/b2=…=an/bn时取"=",(约定ai=0时,bi=0,i=1,2,…,n).对于许多不等式问题,若善于运用柯西不等式及其等价形式,则往往会使一些棘手的问题变得简单明了.关键是构造适合不等式的条件,并能根据问题探索其等价形式. 相似文献
16.
黄道军 《中学数学研究(江西师大)》2003,(11):15-16
在文[1]中,先利用求多元函数的最值的方法,证明了结论"设a1、b1、c1、a2、b2、c2≥0且a1+b2=b1+c2=c1+a2=1,则a1a2+b1b2+c1c2≤1",接着又构造正三角形证明了该结论,并从这个角度将该结论推广到了"结论1设ai、bi≥0(i=1、2、…、n,n≥4)且a1+b1=a2+b2=…=an+bn=1,则 相似文献
17.
戴志祥 《数理天地(高中版)》2010,(4):23-24
柯西不等式
设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn∈R,则（a1^2;＋a2^2＋…＋an^2）（b1^2＋b2^2＋…＋bn^2）≥（a1b1＋a2b2＋…＋anbn）,当且仅当bi=0（i=1,2,…,n）或存在一个数k,使得ai=kbi（i=1,2,…,n）时,等号成立． 相似文献
18.
杨辉三角中被素数整除的组合数及其个数 总被引：1，自引：0，他引：1
孟凡申 《廊坊师范学院学报(自然科学版)》2010,10(5)
设n为素数,t∈N,a=∑ti=0aini,这里ai∈N,0≤ai≤n-1,0≤i≤t,推出了杨辉三角第a行的组合数被n整除的有a+1-∏ti=0(ai+1)个,第0行至第nt-1行的组合数中,被n整除的有nt+12-n+12t个,斜列a+rr:r=0,1,…,bnt+1-1,(b＞0)中被n整除的有bnt+1-∏ti=0(n-ai)个,得到了ar≡0(modn)和a+rr≡0(modn)成立的充要条件. 相似文献
19.
第一天
1.给定整数,n≥2,对任意互质的正整数
a1,a2,…,an,记
A=a1+a2+…+a口n.
对i=1,2,…,n,设A与ai的最大公约数
为d;ai,a2,…,an中删去ai后余下的n-l个
数的最大公约数为Di.求n(Ⅱ)i=1A-ai/diDi的最小值. 相似文献
20.
第 4 2届国数学奥林匹克试题第 2题是 :对所有正实数a ,b ,c,证明 aa2 +8bc+bb2 +8ca+cc2 +8ab ≥ 1.文 [1]采用文 [3] [4 ]的方法给出其推广为 :若a ,b ,c ∈R+ ,λ ≥ 8,则 aa2 +λbc +bb2 +λca+cc2 +λab ≥ 31+λ( 1) .文 [2 ]给出了 ( 1)式的简证 ,本文进一步把 ( 1)式推广为更一般的形式 :设λ≥n2 - 1,ai ∈R+ (i =1,2 ,… ,n) ,则有an- 11an- 11+λa2 a3 …an+an- 12an- 12 +λa1a3 …an+… +an- 1na2n +λa1a2 …an- 1≥ n1+λ ( 2 )证明 先求正实数x使得an- 11an- 11+λa2 a3 …an≥ nax11 +λ(ax1+ax2 +… +axn) ( 3) … 相似文献