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第 36届IMO第 1题是 :设A、B、C、D是一条直线上依次排列的四个不同的点 .分别以AC、BD为直径的两圆相交于X和Y ,直线XY交BC于Z .若P为直线XY上异于Z的一点 ,直线CP与以AC为直径的圆相交于C及M ,直线BP与以BD为直径的圆相交于B及N .试证 :AM、DN、XY三线共点 .此题证法多 .为了 相似文献
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崔志荣 《河北理科教学研究》2013,(6)
1 试题概况
在一次高二的检测考试中,遇到了这样一道压轴题:已知椭圆C:x/a2+y/b2=1(a＞b＞0),圆O:x2+y2=b2,点A、F分别是椭圆C的左顶点和左焦点,点P是圆O上的动点.
(1)若P(-1,√3),PA是圆O的切线,求椭圆C的方程;
(2)若PA/PF是常数,求椭圆C的离心率;
(3)当b=1时,过原点且斜率为k的直线交椭圆C于D、E两点(其中点D在第一象限内),它在x轴上的射影为点G,直线EG交椭圆C于另一点H.问是否存在正实数a,使得对于任意k＞0,都有DE上DH?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由. 相似文献
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正1试题概况在一次高二的检测考试中,遇到了这样一道压轴题:已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(ab0),圆O:x2+y2=b2,点A、F分别是椭圆C的左顶点和左焦点,点P是圆O上的动点.(1)若P(-1,3(1/2)),PA是圆O的切线,求椭圆C的方程;(2)若PA PF是常数,求椭圆C的离心率;(3)当b=1时,过原点且斜率为k的直线交椭圆C于D、E两点(其中点D在第一象限内),它在轴上的射影为点 相似文献
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1.(保加利亚)设A,B,C,D是一条直线上依次排列的四个不同的点,分别以AC,BD为直径的两圆相交于X和Y,直线XY交BC于Z,若P为直线XY上异于Z的一点,直线CP与以AC 相似文献
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一、定理及其证明定理若X、Y是任意两空间元素,P、Q分别为X、Y上的点,n为X、Y的公共法向量,则X和Y之间的距离可统一表示为d=P ·nn.说明1.空间元素包括:点、线、面;空间距离包括:两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、两平行直线间的距离、两异面直线间的距离、平行的直线和平面间的距离、两平行的平面之间的距离.2.当X、Y为两点时,P、Q即为X、Y,取P 为n,此时可认为X、Y都对应0,因0⊥n,故可认为n是X和Y的公共法向量;当X、Y为点和直线时,则X和Y可确定一个平面,取n为此平面的法向量,此时n可认为是X和Y的公共法向… 相似文献
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已知两圆方程:⊙O1:x2 y2 D1x E1y F1=0,⊙O2:x2 y2 D2x E2y F2=0(其中两圆不共圆心,将两圆方程左右分别相减得l:(D1-D2)x (E1-E2)y (F1-F2)=0.结论1当两圆相交时,l即为公共弦所在的直线方程.不妨设两圆的交点为A、B,则A、B一定同时满足⊙O1和⊙O2的方程,故A、B必定满足两圆方程相减所得的直线方程l,由两点确定一条直线,l即为公共弦AB所在直线方程.结论2当两圆相切时,l即为公切线方程.公切点为P,则P同时满足两圆方程,故P一定在l上,而l的一个方向向量为a=(E1-E2,D2-D1),两圆圆心连线所在直线的一个方向向量为b=(D2-D1,E2-E1).… 相似文献
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今年的IMO第一题是平面几何问题,具有较强的逻辑性。但总的看来似乎跟下面的一道著名陈题有关: 若A、M、X、Y四点共圆,D、N、X、Y四点共圆,A、M、N、D四点共圆。那么AM、DN、XY互相平行或共点。(见图1)。 证 若AM∥XY、DN不平行于XY,设DN交XY于K点,连KM交圆于A′。则KM·KA′=KX·KY=KN·KD,故M、A′、N、D四点共圆,即A′点在圆AMND上,∴圆MND和圆MXY交于点M、A、A′,但此两圆不重合,且M、A不重合,M、A′不重合,∴A、A′点重合。∴AM∩XY=K和AM∥XY矛盾,∴当AM∥XY时,必有DN∥XY。同时也由上述证明知。若DN和XY交于K点,那么K点也在AM上,即AM、XY、DN共点,故知命题成立。而IMO_36第一题是:设A、B、C、D是一条直线上依次排列的四个点,分别以AC、BD为直径的两 相似文献
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在立体几何中,解决线面成角、空间距离(点与面、线与面、面与面)、体积等问题时,同学们苦于找不到相应的平面角和相应的距离而陷入困境,觉得无从下手.其实,这些问题的解决都与垂足定位有关.1辅助垂面法面面垂直的性质定理说明:如果2个平面垂直,那么,其中一个平面内的任意一点(或任意一条直线)在另一平面内的射影在两平面的交线上.为此欲找一点P(或者一条直线l)在平面α内的射影,只需过点P(或者过直线l)找一个平面β与α垂直,则点P(或者直线l)在α内的射影在两平面的交线上.例1如右图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=2,D为AB中点,将△… 相似文献
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定理 圆心不共线的三圆两两相交,则三条公共弦共点。 为方便起见,我们给出统一的解析证明, 设⊙O_i(i=1,2,3)的方程为:x~2 y~2 D_ix E_iy F_i=0. 将它们两两相减得公共弦方程: l_1:(D_-D_2)x (E_1-E_2)y F_1-F_2=0, l_2:(D_2-D_3)x (E_2-E_3)y F_2-F_3=0, l_3:(D_3-D_1)x (E_3-E_1)y F_3-F_1=0. 由于圆心不共线,故设l_1与l_2的交点P的坐标为(x_0,y_0),易验证:P∈l_3,即l_1,l_2,l_3,交于点P. 本文巧用定理证明两道IMO试题. 例1 (1MO36-1)设A,B,C,D是一条直线上依次排列的四个不同点,分别以AC,BD为直径的圆相交于X,Y,直线XY交BC于Z,若P为直线XY上异于Z的一点,直线CP与以AC为直径的圆相交于C及M,直线BP与以BD为直径的圆相交于B及N,试证AM,DN,XY三线共点. 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2016,(12)
<正>问题:过圆x2+y2+y2=r2=r2内的一定点M,作直线与圆交于A、B两点,作直线与圆交于C、D两点,过A、B两点分别作圆的切线交于点P,过C、D两点分别作圆的切线交于点Q,则直线PQ是一条定直线。解:设A(xA,yA)、B(xB,yB)、C(xC,yC)、D(xD,yD)、M(x0,y0)、P(xP,yP)、Q(xQ,yQ)。则过A点的圆的切线方程为: 相似文献
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定义1 如果A、C、B、D依次为直线上的四个点,满足(CA→CB)=(DA→DB)(有向线段),则称(A、B,C、D)为调和点列.如果不在这条直线上有一点X,则称X(ABCD)(包含XA、XB、XC、XD这四条直线)为调和线束当且仅当(A、B,C、D)为调和点列. 相似文献
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一、选择题1.在△ABC中,点F分AC所成的比为2:1,G为BF的中点,直线AG与BC交于点E,则点E分BC所成的比是( ). A 1/4; B 1/3; C 2/3;D 3/82.直线z将圆:z。+.y。一2X--4y=0平分,且不过第四象限,那么z的斜率的取值范围是( ). A[0,1/2-]; B Eo,1]; C Eo,23;D Eo,1/2)3.定点M(x。,yo)不在直线z:f(x,.y)=0上,则f(x,y)--f(x。,Y。)=O表示的直线是( ).A过点M且与1垂直; B过点M且与z平行; c不过点M且与z垂直;D不过点M且与z平行4.圆z。+y。一4z+2y+f=0交Y轴于A、B 2点,圆心为P,若么APB=90",则C是( ).A一3;B 3;c 8;D 2订5.直线l过点(一… 相似文献
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王勇 《中学生数理化(高中版)》2003,(3):29-32
一、选择题: 1.三个不重合的平面可以把空间分成( ). A.4个或6个部分 B.4个或6个或8个部分 c.4个或6个或7个部分 D.4个或6个或7个或8个部分 2.在空间,如果用32,Y,g表示直线或平面,若命题“z上Y,X上z,则Y//g”成立,那么z,Y,z所分别表示的元素应该是( ). A.z,Y,g都是直线 B.z,Y,￡都是平面 C.z,Y为平面,z为直线D.z为直线,Y,z为平面 3.在正四面体ABcD中,E与F 9N~AB与CD上的点,并且等=而CF—A(^>o).设EF分别与AC、BD所成的角为a、卢,则口+卢的值等于( ). A.60。 B.90。 C.120。D.随着^的变化而变化 4.已知平面口∥平面卢,直线le… 相似文献
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例1已知平面α∥平面β,直线l奂α,点Pl,平面α、β间的距离为8,则在平面β内到点P的距离为10,且到直线l的距离为9的点的轨迹是()A.一个圆B.两条直线C.四个点D.两个点解析如图所示,设点P在平面β内的射影是O,则OP是平面α、β的公垂线段,OP=8.在平面β内到点P的距离等于10的点到点O的距离等于6,故点的集合是以O为圆心,以6为半径的圆.在平面β内到直线l的距离等于9的点的集合是两条平行直线m、n,它们到点O的距离都等于92-82姨=17姨<6,所以直线m、n与这个圆均相交,共有四个交点.因此,所求点的轨迹是四个点.选C.例2已知正方体ABCD—… 相似文献
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本文探讨2个尺规作图问题:1?过圆外一点,作直线与圆相切.2?过圆外两点(这两点与圆心不共线),作圆与已知圆相切.希望能起到抛砖引玉的作用,让更多的尺规作图问题得到关注讨论.1过圆O外一点A作与圆O相切的直线问题已知:⊙O以及⊙O外一点A,求作直线过点A且与⊙O相切.作法:1?连结AO;2?取线段AO的中点B;3?以点B为圆心,BA长为半径作⊙B,交⊙O于点C、D;4?作直线AC、AD;则,直线AC、AD为所求. 相似文献
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2004年高考(江苏卷)第四大题:在棱长为4的正方体ABCD—A1B1C1D1中,O是正方形A1B1C1D1的中心,点P在棱CC1上,且CC1=4CP(图1).(1)求直线AP与平面BCC1B1所成角的大小;(2)设点O在平面D1AP上射影为H,求证D1H⊥AP;(3)求点P到平面ABD1的距离.解(1)连结BP,∵AB⊥平面BC1,∴∠APB为直线AP与平面BCC1B1所成角的大小.在RtABP中,AB=4,BP=12+42=17,∴tan∠APB=ABBP=417=41717.故直线AP与平面BCC1B1所成角为arctan41717.(2)∵点O在平面D1AP的射影为H,∴OH⊥AP,∵PC⊥平面AC,AC为AP在平面AC上射影,AC⊥BD.∴BD⊥AP… 相似文献