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擂题 (4 8) (陆伟成提供 ) 设ａ、ｂ、ｃ∈ (0 ,2 ) ,且ａ2 ｂ2 ｃ2 ａｂｃ=4 ,求证 :ａｂｃ≥ (2 -ａ2 ) (2 -ｂ2 ) (2 -ｃ2 )≥ (4ａ2 -ａ4 -2 ) (4ｂ2 -ｂ4 -2 ) (4ｃ2 -ｃ4 -2 )。本擂题共收到解答 1 3份 ,其中正确的 8份 ,按时间顺序 ,作者分别是黄军华 (长沙市湖南师大附中 ,4 1 0 0 0 6,本擂题奖金获得者 ) ,杨学枝 (福建福州 2 4中 ,3 5 0 0 1 5 ) ,张顺 (黑龙江宾县教科所 ,1 5 0 4 0 0 ) ,令标 (安徽当涂青山中学 ,2 4 3 1 5 1 ) ,杨彪 (湖南城步茅坪镇中学 ,4 2 2 5 0 3 )。来稿中所采用的方法主要有 :三角法、代数法。黄军… 相似文献
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教材中有些习题 ,解答起来十分简单 .教学中若对这些习题深入钻研 ,或给以应用环境 ,或创设变化情境 ,便能设计出对培养学生运算能力及探索研究问题能力十分有益的题组来 .举例如下 :题 1 (新教材第 11页习题 6 .2第 1题 )求证 : ａ +ｂ22 ≤ ａ2 +ｂ22 .针对这一习题 ,我设计了如下的三个题组 :1 公式的应用例 1 设ａ、ｂ∈Ｒ+ ,ａ +ｂ=1,求证 :(1)ａ2 +ｂ2 ≥ 12 ;(2 )ａ4+ｂ4≥ 18;(3) (ａ +1ａ) 2 +(ｂ+1ｂ) 2 ≥ 2 52 ;(4) (ａ+1ａ2 ) 2 +(ｂ +1ｂ2 ) 2 ≥ 812 .证明 (1)∵ ａ2 +ｂ22 ≥ ａ +ｂ22 =14 ,∴ａ2 +ｂ2 ≥ 12 .(2… 相似文献
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题 1 已知 14(ｂ -ｃ) 2 =(ａ -ｂ) (ｃ -ａ) ,且ａ≠0 ,则 ｂ+ｃａ =.解法 1(配方法 )由已知 ,得 (ｂ -ｃ) 2 - 4(ａ -ｂ) (ｃ-ａ) =0 .配方 ,得 (ｂ +ｃ) 2 - 4ａ(ｂ+ｃ) +4ａ2 =0 .∴ (ｂ +ｃ- 2ａ) 2 =0 .∴ ｂ +ｃ=2ａ ,即ｂ +ｃａ =2 . (安徽 李庆社提供 )题 2 在△ＡＢＣ中 ,有一内角为 36° ,过顶点Ａ的直线ＡＤ把这个三角形分成两个等腰三角形 ,试画出满足上述条件的△ＡＢＣ .想一想 ,你能画出几个满足条件的三角形 ?图 1 解法 1 如图 1所示 .(四川 侯国兴提供 )题 3 甲、乙两种化合物只含Ｘ、Ｙ两种元素 ,甲、乙中… 相似文献
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一年一度的佳节———元旦 ,就要来临了 ,为了欢度节日 ,特为数学爱好者 ,提供一组结果均为 2 0 0 3的函数趣题以资助乐 .1 设对于函数 :ｆ(ｘ) =ｘ +3ｘ - 2 ,ｇ(ｘ) =ａｘ +ｂｘ +ｃ ,且有 ｆ[ｇ(ｘ) ] =2 0 0 6ｘ +42 0 0 1ｘ - 1,试求ａ、ｂ、ｃ之值 .解 由题目条件得 :ｆ[ｇ(ｘ) ] =ｇ(ｘ) +3ｇ(ｘ) - 2=ａｘ +ｂｘ +ｃ +3ａｘ +ｂｘ +ｃ - 2=(ａ +3)ｘ +(ｂ +3ｃ)(ａ - 2 )ｘ +(ｂ - 2ｃ) .由题设知(ａ +3)ｘ +(ｂ +3ｃ)(ａ - 2 )ｘ +(ｂ - 2ｃ) =2 0 0 6ｘ +42 0 0 1ｘ - 1,整理得 :( 5ａ - 10 0 15)ｘ2 +( 5ａ +5ｂ - 10 0 15ｃ- … 相似文献
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高中新教材《全日制普通高级中学教科书》(试验修订本·必修 )第二册 (上 )第 1 6页习题 6 3第 2题 :已知ａ≠ｂ,求证ａ6 ｂ6>ａ4 ｂ2 ａ2 ｂ4 。此题出题本身欠完善。人教社编的教师数学用书第 1 5页的解答同样也欠完美。为此 ,解此题的更大的教育价值 ,是可以将它作为一道引导学生进一步探讨完善的探究题。实际上 ,将本题改为 :已知ａ≠ｂ,求证ａ6 ｂ6≥ａ4 ｂ2 ａ2 ｂ4 。或改为 :已知ａ2 ≠ｂ2 ,求证ａ6 ａ6>ａ4 ｂ2 ａ2 ｂ4 。或改为 :已知ａ >0 ,ｂ>0 ,且ａ≠ｂ,求证ａ6 ｂ6>ａ4 ｂ2 ａ2 ｂ4 ,均更完善。因为有 : ａ6 ｂ6-(ａ4 … 相似文献
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题 设ａ、ｂ、ｃ∈ ( 0 ,2 ) ,且ａ2 ｂ2 ｃ2 ａｂｃ=4 ,求证 :ａｂｃ≥ ( 2 -ａ2 ) ( 2 -ｂ2 ) ( 2 -ｃ2 )≥ ( 4ａ2 -ａ4 -2 ) ( 4ｂ2 -ｂ4 -2 ) ( 4ｃ2 -ｃ4 -2 )。 (注 第一位解答正确者将获得奖金 5 0元 )。数学竞赛专栏——有奖解题擂台 (4 8)$上海东沪职业技术学院@陆伟成! (邮编 :2 0 0 1 2 6) 相似文献
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人民教育出版社中学教学室编著的《全日制普通高级中学教科书 (试验修订本 ·必修》数学第二册(上 )》的教师教学用书 ,是广大中学数学教师的重要工具书 ,可笔者在使用该书的过程中 ,发现有的习题的解答欠妥 ,现例举之以与作者及读者共同商讨 .例 1 方程ｘ2 + ｙ2 + 2ａｘ-ｂ =0表示什么图形 (教科书Ｐ79页练习第 1题 ( 3)题 )教师教学用书Ｐ50 页 ,给出的答案是以 ( -ａ ,0 )为圆心 ,ａ2 +ｂ2 为半径的圆 .剖析 : 笔者认为此答案欠妥 ,因为ｘ2 +ｙ2 +2ａｘ -ｂ =0 ,配方可化为 (ｘ+ａ) 2 + ｙ2 =ａ2 +ｂ2 ,而ａ2 +ｂ2 ≥ 0 ,当ａ2 +ｂ2 =… 相似文献
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题 已知ａ、ｂ、ｃ为正数 ,证明 :ａ + 1ｂ ,ｂ + 1ｃ ,ｃ+ 1ａ三数中至少有两个不小于 2。证明 不妨设ａ≥ｂ≥ｃ>0 ,则ａ + 1ｂ -2 =ａｂ+ 1 -2ｂｂ≥ ｂ2 -2ｂ + 1ｂ =(ｂ-1 ) 2ｂ ≥ 0 ,∴ ａ + 1ｂ ≥ 2。同理可证 :ｂ + 1ｃ ≥ 2 ,故原命题成立。证明有错 !错在哪里 ?错在ａ + 1ｂ ,ｂ + 1ｃ ,ｃ+ 1ａ 不具备轮换性 ,这种设证方法不具备一般性 ,实际上 ,此题是个错题 ,可举出反例如下 :设ａ =2 ,ｂ =12 ,ｃ=1 ,则ａ + 1ｂ <2 ,ｂ + 1ｃ >2 ,ｃ + 1ａ<2。正确的命题应该是 :已知ａ、ｂ、ｃ为正数。证明 :ａ + 1ｂ ,ｂ + 1ｃ,ｃ+ 1ａ… 相似文献
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灵活运用一元二次方程的根的判别式 ,可使许多看似与判别式无关的题目得到巧妙解答。请看下面三例 (例 1 ,例 2原题均选自《初中生辅导》2 0 0 1年第 7期《相反数性质的妙用》) :例 1 已ａ,ｂ ,ｃ为实数 ,且ｂ +ｃ=8,ｂｃ=ａ2 - 1 2ａ + 5 2。求ａ + 2ｂ +3ｃ的值。解 :由ｂ +ｃ =8,得ｂ =8-ｃ。代入ｂｃ =ａ2 - 1 2ａ + 5 2 ,得 :ａ2 - 1 2ａ + (ｃ2 - 8ｃ + 5 2 ) =0∵ａ是实数 ∴ ( - 1 2 ) 2 - 4(ｃ2 - 8ｃ+ 5 2 )≥ 0 ∴ｃ2 - 8ｃ+ 1 6≤ 0即 (ｃ- 4) 2 ≤ 0 ∴ｃ =4 ∴ｂ =8- 4=4把ｃ =4,ｂ =4代入ｂｃ =ａ2 - 1 2ａ + 5 2 ,得 :… 相似文献
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数学竞赛题难度大 ,要解答竞赛题 ,学生不但要掌握数学基础知识、基本技能和基本思想方法 ,而且还需掌握一些常用的解题策略 ,这对提高学生解数学题的能力、培养学生良好的数学素养是大有裨益的 .1 特殊值法———用满足题设条件的特殊值代入来求得正确的答案例 1 若ａ ｂ ｃ=0 ,则ａ3 ａ2 ｃ-ａｂｃ ｂ2 ｃ ｂ3的值是 ( )(Ａ) - 1 (Ｂ) 0 (Ｃ) 1 (Ｄ) 2(第九届“希望杯”全国数学邀请赛初二二试试题 )分析 设ａ =0 ,ｂ=0 ,ｃ =0代入ａ3 ａ2 ｃ-ａｂｃ ｂ2 ｃ ｂ3=0 ,故选 (Ｂ) .例 2 若 14 (ｂ-ｃ) 2 =(ａ-ｂ) (ｃ-… 相似文献
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人民教育出版社编著的《全日制普通高级中学教科书 (试验修订 )·数学 (第一册上 )》第 89页习题2 .8第 4题已知 :ｆ(ｘ) =ｌｇ1-ｘ1+ｘ,ａ ,ｂ ∈ ( - 1,1) ,求证 :ｆ(ａ) + ｆ(ｂ) =ｆ( ａ +ｂ1+ａｂ) .教学之余 ,留有如下思考 ,愿与同仁共同探究 1 编选意图降低了题目自身的要求该题设问内容包含两层意思 :其一是隐含意 ,在已知条件ｆ(ｘ) =ｌｇ1-ｘ1+ｘ,ａ、ｂ∈ ( - 1,1)下 ,ｆ(ａ)、ｆ(ｂ)、ｆ( ａ +ｂ1+ａｂ)都有意义 ,其二是 ｆ(ａ)、ｆ(ｂ)、ｆ( ａ +ｂ1+ａｂ)在数值上满足 ｆ(ａ) + ｆ(ｂ) =ｆ( ａ +ｂ1+ａｂ) .现给出第一种证… 相似文献
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20 0 0年 7月 19日举行的第 41届国际数学奥林匹克竞赛的第 2题为 :设ａ ,ｂ ,ｃ是正实数 ,且满足ａｂｃ =1,求证 : (ａ -1 1ｂ) (ｂ -1 1ｃ) (ｃ-1 1ａ)≤ 1.《中等数学》杂志 2 0 0 0年第 4期上刊登了此题 ,本文给出另一种证法 .证明 :由题设条件易知正实数ａ ,ｂ ,ｃ中有两个不小于 1,另一个不大于 1;或者有两个不大于 1,另一个不小于 1.此时在ａ -1 1ｂ,ｂ-1 1ｃ,ｃ -1 1ａ中至多有一个负值 .当ａ -1 1ｂ,ｂ -1 1ｃ,ｃ -1 1ａ中有一个负值时 ,原不等式显然成立 ,下面只要证明它们均为正值的情形 .∵ａｂｃ =1,∴ａ -1 1ｂ=… 相似文献
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高中《生物》（必修本）对碱基配对原则是这样定义的：ＤＮＡ的结构中,碱基对的组成有一定的规律,这就是嘌呤与嘧啶配对（嘌呤间或嘧啶间不能配对）,而且,陈嘌呤（Ａ）一定与胸腺嘧啶（Ｔ）配对,鸟嘌呤（Ｇ）一定与胞嘧啶（Ｃ）配对,反之亦然。碱基间的这种一一对应的关系叫做碱基互补配对原则。对这一原则本人在教学中帮学生予以一定的引伸,并将之灵活运用于实际解题中。１引伸 ＤＮＡ由两条脱氧核苷酸链构成：设一条为ａ链,其互补链为ｂ链,据定义,则： Ａａ－Ｔｂ Ｇａ－Ｃｂ Ｔａ一Ａｂ Ｃａ－Ｇｂ 将其可引伸为： （１）Ａａ… 相似文献
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在中学数学里有这样一类问题 ,问题中含有三个量 ,比如用ａ、ｂ、ｃ表示 ,问题的特征是出现 (或隐含着 )ａ ｂ ｃ(可简记为 ａ) ,ａｂ ｂｃ ｃａ(可简记为 ａｂ) ,ａｂｃ等三元对称表达式 .对于这一类问题有时可以借助于辅助函数ｆ(ｘ) =(ｘ -ａ) (ｘ -ｂ) (ｘ -ｃ)去方便地解决 .本文借用文〔1〕中的两个例题 (这是两个常见的例题 ,其中有一个来自一道ＩＭＯ试题 )说明这种解 (证 )题方法 .例 1 设ａ ,ｂ ,ｃ∈ ( 0 ,1) ,求证 :ａ( 1-ｂ) ｂ( 1-ｃ) ｃ( 1-ａ) <1. ( 1)(文〔1〕中的例 5,所用字母有所不同 )分析 欲证的不等式可以… 相似文献
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《中学生理科月刊》2001,(7)
一、选择题 (每小题 6分 ,共 3 6分 )1 若ｘ -2 +ｙ +3 =0 ,则 ｙｘ 的值是 ( ) .(Ａ) 32 (Ｂ) 23 (Ｃ) -32 (Ｄ) -232 若ａ、ｂ为实数 ,则下列命题中正确的是 ( ) .(Ａ)ａ >ｂ ａ2 >ｂ2 (Ｂ)ａ≠ｂ ａ2 ≠ｂ2(Ｃ) |ａ|>ｂ ａ2 >ｂ2 (Ｄ)ａ >|ｂ| ａ2 >ｂ23 若关于ｘ的二次方程 (ｂ -ｃ)ｘ2 +(ａ -ｂ)ｘ +ｃ -ａ =0有相等的两实数根 ,则ａ、ｂ、ｃ间的关系是 ( ) .(Ａ)ａ =ｂ +ｃ2 (Ｂ)ｂ =ａ +ｃ2 (Ｃ)ｃ =ａ +ｂ2 (Ｄ)ａ +ｂ +ｃ =04 若 4ｘ3-ｘ =1,则 8ｘ4+12ｘ3-2ｘ2 -5ｘ +5的值… 相似文献
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题 证明或否定若△ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ满足ａ≥ｂ≥ｃ,且 3 4ｃ2 ≥ 7ａｂ 1 8(ａ -ｂ) 2 ,则以它的三条内角平分线为边长可构成三角形。 (注 第一位解答正确者将获得奖金 5 0元 )。有奖解题擂台(51)$福建资源工业学校@吴善和!龙岩市,364012 相似文献
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高中课本以例、习题的形式给出了下列不等式 :已知ａ ,ｂ∈Ｒ ,并且ａ≠ｂ ,求证 :ａ5 ｂ5>ａ3 ｂ2 ａ2 ｂ3 ;ａ4 ｂ4 >ａ3 ｂ ａｂ3 ;ａ3 ｂ3 >ａ2 ｂ ａｂ2 .其实 ,这一类不等式有如下更一般的形式 :若ａ ,ｂ∈Ｒ ,ｐ·ｑ∈Ｒ ,则 ａｐ ｑ ｂｐ ｑ ≥ａｐｂｑ ａｑｂｐ,(1)其中等号当且仅当ａ=ｂ时取得 .证明 由 ｐ·ｑ∈Ｒ ,知幂函数 ｙ =ｘｐ 和ｙ =ｘｑ 在 (0 , ∞ )上同为增函数或同为减函数 ,则当ａ ,ｂ∈Ｒ 时 ,ａｐ-ｂｐ 与ａｑ -ｂｑ 总是同号或同时为零(当且仅当ａ=ｂ时 ,ａｐ-ｂｐ =0 ,ａｑ-ｂｑ =0 ) ,从而(ａｐ-… 相似文献
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一类函数问题的简解 总被引：1，自引：0，他引：1
谭向清 《中学数学教学参考》2001,(11)
1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛 ,高二第一试的选择题第 1 0题 ,让人颇费脑筋 ,原题是这样的 :题目 :设ｆ(ｘ) =ｘ3 -3ｘ2 6ｘ -6,且ｆ(ａ) =1 ,ｆ(ｂ) =-5 ,则ａ ｂ =( ) .Ａ .-2 Ｂ .0 Ｃ .1 Ｄ .2与之类似的有以下两个题 :1 设 ｆ(ｘ) =ｘ3 ｘ 1 ,且 ｆ(ａ) =-2 ,ｆ(ｂ) =4,则ａ ｂ =( ) .Ａ .-2 Ｂ .0 Ｃ .1 Ｄ .22 设 ｆ(ｘ) =ｘ3 -6ｘ2 1 2ｘ -7,且 ｆ(ａ ｂ) =9,ｆ(ａ -ｂ) =-7,则ａ =( )Ａ .-2 Ｂ .0 Ｃ .1 Ｄ .2以上题目都是关于ｘ的三次函数 ,初看起来 ,上面的题好像容易解… 相似文献
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结论 若ａ+ｂ +ｃ=0 ,则ｂ2 ≥ 4ａｃ.证明 ∵ａ +ｂ+ｃ =0 ,即ｂ=- (ａ+ｃ) ,∴ｂ2- 4ａｃ=[- (ａ+ｃ) ]2 - 4ａｃ=(ａ -ｃ) 2 ≥ 0 ,故ｂ2 ≥4ａｃ.活用这一结论可以方便、准确地求解已知等式求取值范围或不等关系类型的问题 .下面举例说明 .例 1 (1991年“曙光杯”初中数学竞赛题 )已知三个实数ａ ,ｂ,ｃ满足 ａ +ｂ+ｃ =0 ,ａｂｃ =1,求证 :ａ、ｂ、ｃ中至少有一个大于 32 .证明 由题设条件可知ａ ,ｂ,ｃ中有一个正数 ,两个负数 ,不妨设ｃ>0 .∵ａ+ｂ +ｃ=0 ,∴ｃ2 ≥ 4ａｂ.而ａｂｃ=1,则有ｃ3 ≥ 4ａｂｃ =4 ,∴ｃ≥ 34>32 78=32… 相似文献