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《数学教学》2001,(3)
531.在△ABC中,乙ABC二400,乙ACB二300,尸为乙ABC平分线上一点,使乙尸CB二10“,B尸交AC于M,C尸交AB于N,求证:尸M二AN. 证:如图1,在BA延长线上取一点D,使BD=BC.连D只DC,A尸. 丫B尸平分乙ABC, :.B尸为CD的中垂线,尸C=尸D. 又匕尸CB=100,匕ABC=400, 故乙PCD=700一100=600,AC △尸CD为正三角形.户/"口咦E 图1在△ACD中,乙ADC=700二CD.故AC二尸C.二乙DAC夕一详口数学教学2001年第3期 _、/1 1 11、二(a b c d)l一 丁十一 气!一4 ‘\a 0 cd/ 4 一、、12/在△尸CA中,艺尸CA二200:.乙尸AC二匕APC=80“.1 过M作A尸… 相似文献
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一一B一CP一Q定理:在△ABC和△刃尸cl中,若二。+二一,80o,则器一毙瓷轰。BNsin乙1NCsin之2sin匕lsin匕2’②证:在△ABC中,由⑧②得器 尸B一配.AB BC而亡=薪石万;在△A,B‘C,中,A,B‘B,C‘赢万=妥石万’①②”且sinC二sinC‘。~_~~AB岁’~’耳吞A,B,推论:在△ABC和C(二产 国1BCsinA,B,C‘sinA.’△A,B‘C‘中,/C+ 2.证明线段相子 例2在△ABC中,AB>AC,AD为艺BAC的平分线,M为刀C的中点,过衬点作AD的平行线交AB及C通的延长线于P、Q,求证:PB=QC。 证如图, J~.___‘,,.,二,AB BC匕C‘=1800,匕A=艺A,,则弓带若;=.… 相似文献
3.
运用正弦定理证平面几何题,一般具有思路清晰,过程简单,可以避免少联或不联辅助线等优点;现举例说明如下: 一证明比例式 例1在四边形ABCD中,M、N分别为八D、BC的中点,延长材N交BA的延长线于尸,PB一QC 一一PA一QD!又l…l交CD的延长线于Q,求证: 证明: 止,__.尸AA几f在△尸AM中=二二于二一子二于下协一-一一,sin乙3 sin乙2二》尸A二AM污In艺3 sin乙2在△QDM,QD=中一一卫卫一一一’sln(180’一乙3)刀几介in匕3 sin乙1 DMsin乙1sin乙2sin匕1在△尸BN和△QCN中同理可证二_、{‘K了,in乙1夕 一一A一D尸一Q 冷 尸A尸B冷丽=衷二… 相似文献
4.
题:已知D是△ABC边AC上的一点,AD:刀C=2:1,乙C=45。,乙A刀B=600,求证:AB是△BC刀外接圆的切线。(1987年全国初中数学联赛第二试的第二题) 思路一,应用切线判定定理:经过外径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 证法一如图一,连OB、OC、OD,O刀交BC于E。 乙D CB== 450:.艺D OB二9护。 又乙D刀C =乙A刀B一乙f, CB =15。,…乙刀OC二30.:.乙DCA‘=90。从而刀E是O劝的直径。,.’匕B刀E二乙B CE=45.卜 二匕刀C刀二艺BED,…BD=刀万① 又艺EDA产二匕B刀A产一乙B刀E =150=乙D BC==乙D EA尹, A尸D=A户E,匆 由①、②… 相似文献
5.
题:锐角△ABC的外接圆过B、C的切线相交于N,M是BC的中点,求证:艺B摊M二乙CAN。(第26届IMO候选试题中一题的第(i)间) 为方便,设AN交△且BC外接圆于r).匕BAM二日,匕CAM二a。 当锐角△月BC的AB二AC时,八AB刃丝△且CN,从而知AM与AN重合,显然a二。p。以下均假定AB.寺AC。 证法一连结 匕CAM=乙DAB,:.a二日。 证法三作BF土AC于F,连结MF、对N,如图。则 NM_1_BC, /万C五f二厂理.’. Rt△ABF 。〕Rt△CNM 刁B_AF 万凡一乙兀了又B对=C刀 =MF,乙MFC二匕A CB,I曲﹀N\\、N︷NAB 一一BD、CD,如’到。 由托勒米定’里… 相似文献
6.
定理:在△ABC和△A‘B’C‘中,如果乙A=艺A尹,乙B+匕B产=180。。则AC:BC二A声C产:B,C产。 证明:根据正弦定理,对△ABC和△A‘B了C‘都有:_5 1 OB 5 inA_5 inB, 5 inA夕。 AC:BC==A,C一,:B尹C,。 本定理有着广泛的应用。利用它来证明某些几何命题,往往比常规证法明快得多。下面举例说明。 例1已知E、F是四边形ABCD一组时边的中点,EF的延长线交另一组对边的延长线于p、口。若艺BpE=艺万()C,本证A刀=CD:C一CA一B再由题设条件易得证明:在△P刀B和△QEC中,有艺1=艺2,匕3+艺4二180。。由定理得PB:EB二QC:EC但已知EB二… 相似文献
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题如图1,正方形八B〔少D形内一点且匕忍月B一连结刀E、CE,求证:△形,乙EBA中,E为一15。,。cE为正三角作CGEG 证法BF土AE于F,土BE于G. 易证艺1一乙2 又丫艺AFB一匕CGB AB一BC冷△AFB里△CGB=> BF一BG又’:艺“一30。斗BF一合BE┌─┐│丫│└─┘图1=,BGCG土BE、11、r.l.二二>EC一BC同理ED一A刀丫AD一DC一_{一““BCJ一EC一DC冷△DCE为正三角形. 证法2正三角形E‘ 丫△E‘ :。匕E‘(同一法)如图艺,在正方形ABCD内以DC为边作:。乙ADE‘:。艺刀AE,,连结刀A、E’B.是正三角形,一600,E‘D一DC一一30气一合… 相似文献
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初中数学竞赛中常出现一类以正三角形、正方形为基础图形的试题,一般方法较为繁难,若用旋转变换解之,简捷明了,事半功倍: 例1尸是正△ABC内A一点,尸C一3,尸A~4,尸B~5,求△ABC的边长。(浙江省第二届初中数学竞赛题) 解:将△A尸C绕A点按顺时向旋转60’至△ABD位置,连PD,.’.PD=4,故乙BDP~9。”,…乙ADB一得AB一丫25+::汀 例2尸为边长为(匕Q>12。。)。又PP)一尸A,尸‘C,一尸C,…l一B尸+尸尸‘+尸,C‘>BC‘一丫厄>1.5 l相似文献
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一、宣城周王茶场中学程新林来稿 题:若AD是rt△ABC中rt艺A的平分线,过斜边BC中点M作BC的垂线交AD于E,求证MA=ME。(初二寒做作业第6页第4题,安徽省人民出版社1981年第一版) =90“一仅一日乙刃AM=90一。一日,.’.乙E=乙EAM,MA=ME。如果把条件再更改,M是任意三角形的证明如下:乙E二90“一乙MDE “90“一乙ADC二90。一(45。+乙B)=45。一乙B外心,乙CA五二然成立。士乙CME,结沦MA=M石仍 ‘EAM=45。一匕MAB=45。一乙B, (,.’乙MAB=艺B) .’.乙E=匕EAM,MA二ME。 如果把题中条件匕CAE“45.,匕CME,90。变为一般情况,即… 相似文献
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例如图,Rt△ABC中,以AC为直径的圆交 BC于D,M为AD的 中点,刀材的延长线 交AC于E,百尸1 .BC 交BC于E,EG 1 AC 交O口于G求证: EF二EC由①、EG②知‘器 乙LEFEC:EG=EF证法三:在△A脚B中 AM BMsin乙1 sin乙3:AMBM .sin乙lsin乙3①~~‘~.一二乃少口.』_但二Itt凸万I叮口甲代万丁丁=5111乙乙 万乃夕…对口二召赶·sin乙2分析本题首先可以想到:丫E‘上AC二E夕二AE·EC故间题转化为只要证E尸=AE·EC。这里关键是如何应用M是AD的中点这个条②丫AM二材刀BM·sin乙2sin乙3件证法一:分别延长FE、BA交于H易证△AEH…△… 相似文献
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粗在△ABC中,AB>AC,匕A的一个外角的平分线交△ABC的外接圆于点尸,过尸作尸Q土AB,垂足为O。求证:2刁O=AB一AC。 (1989年全国高中数学联合竞赛试题第二试第一题) 证明一如图,作尸R土CA的延长线于R,连结尸B、尸C。‘:乙1=乙2,尸A公共,.’. Rt△尸O月丝Rt△PRA,.’. AO二AR,尸O二尸R。又乙3=匕4,:.Rt△尸QB丝Rt△尸RC,:’ BQ=CR,.’. AB~AF== AC十A刀,.’.刁B一AC=AO+_了月二竺J Q.、 证明二.如图,在QB上取QR=Q月,连结PR、PB和PC。 易知Rt△尸OR 丝Rt△尸OA,.’.尸R==尸只,艺3=乙1。在△尸AC和△Pl\)厅,朴,,… 相似文献
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卜题:在四边形ABcD中,己知刀B二1, BC=1+训丁,AD=、/万,乙刃BC=120。, 匕刀AB=75”,求CD。 解一:连结月C.由余弦定理: AC二了月BZ十BCZ乙巨刀介动小c石几功厂二了6十3召二- 由正弦定理:艺D月厂二45“,刃E二2只Beos30“=训丁, 在△A刀E中,由余弦定理:刀E=亿丁。 故△大厂D是等腰汽角一二角形。 .’.艺C厂D二尸C/’i-.一j考价一’sin乙C左B“l了Csin12O“ 月C告、/丁 1 80。又丫C厂一30“一90。=60“。二刀E,…△CD刀是正三角一‘1+侧了)。二了丁。 召6十3侧丁=士亿丁。形,故CD 解四:二A刀.’.乙C月B二45。,匕刀才C二30。… 相似文献
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三角形的一个内角平分线与另一个内角的外角平分线的交角,等于这个三角形的第三个内角的一丰. 这是从第六届“希望杯”一道初二试题得出的结论,它的证明如下: 已知:如图1,△八刀C中,匕B的平分线与匕C的外角平分线交于E.求证艺E-l二犷乙八.‘证明艺E一/石芯F 1,二一,一二子乙月力七 乙一粤(匕AcF一艺ABc) 乙 l一下~乙八. 乙 这个结论用于解决有关三角形内外角平分线的交角问题,十分有用. 例1在△A刀C中,D是AB上一点,E足AC延长线上一点,连结DE交BC于M,匕八DE与匕八刀C的平分线交于尸,艺ACB与匕DEC的平分线交于Q,证明艺尸一/Q. (… 相似文献
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题目如图1,八BCD为正方形,石、F分别在BC、CD上,且△八EF为正三角形,四边形八,B,C‘D‘为△八五F的内接正方形,△八‘五,F,为正方形八’召,C’D‘的内接正三角形.(1)试猜想粤坦卿与 、夕止万协几1义门万八一;;万宁一日勺。乙t右F大小关系,并证明你的结论; ,S不卞报刃尸尸,l),_,,八_、、,、_,,.仁艺少水,成巍扁而一明值·、‘”洲千盯冲”’明市中考题) 解(1)猜想S正方形八尸口DS正方形dBcDS△刃刀尸S乙月开容易证明Rt亡八BE呈里Rt△八DF,:。匕B八E一艺D八尸.在正三角形八EF中,乙E八F一6。“,图1·,.二B二E一告(9护一60。)… 相似文献
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余凤冈 《数理天地(初中版)》2006,(1)
例1如图1，已知在 △八BC中，A刀~AC，乙BAC- 8扩，尸为△产BC内一点，艺尸BC 一100，艺AC尸一200，求艺八尸B 的度数. 解如图1，在△ABC的 一1000，延长AB到D，设八D一及了，连接〔r， 求匕ACD的度数. 解如图2，在△ABC的BC的外侧作等 c边三角形BCE，连结AE， 在△ACE和△(姚D 相似文献
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例1如图1,已知八C// BD,Dl、丑B分别平分乙CAB、乙刀刀A,CD过点E. 求证仍刀二AC十刀D. 证明在乃刀上截取AFcA,连结EF,‘「 在△以E和△以它中, 以=八F,’ 乙O气E二乙E片FjE所以乙八汇D 匕丑MC二900, 乙滩丑刀二乙万外夕C,GE~6欲叮.又匕八CB一450,乙八CP一90。,所以乙刀C尸一450.在△叼FC和△尸FC中, 乙月MC二匕尸,一月E,乙八CB一匕尸CBJ℃~石℃,△MFC望△尸FC小留二FP.所以△CAE望△F八E,乙C~艺AFE.因为以//BD,‘一「所以匕C十之D一180“, 乙EF刀~180已一匕莎E二匕D.在△EF刀和△EDB中, 乙EF刀二匕D,所以… 相似文献
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题:如图,角形,尸、Q、试证△尸QR亦是正三角形 (芜湖市1983年高中数学竞赛试题)。 设ABC、A尸B,C产是二正三R分别是AA‘、BB‘、CC‘中点,图1 证法1(位似缩小加旋转)连A‘B、A‘C,E、F分别为其中点。连尸石、QE,pF,刀F,EF。利用三角形中位线定理,易知△pEF是△ABC的位似图形,A‘是位似中心,相似比为一含。 ,.’ pE=寺月B二一参月C==尸F, QE=士A/B‘二一吞一A‘C/二RF,又PE与PF交角为60。,EQ与FR交角为心 .’.以p为顶点,将△pOE旋转600,即与△PRF重合,故此二三角形全等。(或证匕尸EQ=匕PFR:如图2,延长OE交RF延长… 相似文献
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1.在凸四边形ABCD中,AB二BC二=C刀二BD,则匕月DC一一__一____。一~__一__一_一。一__,___~~_.0 2.△刀BC的BC二二6召丁,AC二2了万,AB二4了丁,则高A刀 乙。已知矩形AS汀万与矩形岌RPQ的周长都等于100 cm,则Bc一____D A压次 对P A匕五 D一_一一_______O 4。匕C刃B:匕ABC:匕BCA二=5:4:3,AD A ‘__价\ j杯_)\‘左应任玉 白C户都是高,BE是角平分线,若万B=2则AD+BE十CF= 5.血ABC中,EF是中位线,M汀了BC且通过重心G.则刀F:几丁厅二__ 13,由△刀左C的内乙2、乙3。若乙A:乙B:匕C=1:2:3,则乙1:乙2:乙3= 俨曰,声险︺. C厂曰… 相似文献