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由对数定义,直接得到一个恒等式:N=~((log)_a~N)。熟练掌握和灵活运用这个恒等式,对于正确理解对数概念,熟练地使用对数这一运算工具,具有很大的作用。下面举例说明对数定义恒等式的应用。 相似文献
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全日制十年制学校初中课本《数学》第五册第184页第18题是求证:在园内接四边形ABCD中,AB·CD+BC·AD=AC·BD(提示:设法在BD上取P点使AB·CD=AC·BP)。证明:从A引直线AP交BD于P, 使∠BAP=∠CAD又有∠ABP=∠ACD, ∴△ABP∽△ACP, 图1 ∵BP:DC=AB:AC, ∴AB·DC=AC·BP。……①又∵∠BAP=∠CAD, ∴∠BAC=∠PAD, 又∠ACB=∠ADP。∴△ABC∽△APD, 则 BC:PD=AC:AD, ∴AD·BC=AC·PD……②①+②得AB·CD+BC·AD =AC(BP+PD)=AC·BD。数学老师告诉我们,这是平面几何中一个相当重要的定理,叫做Ptolemy定理:“园内接四边形中,二条对角线所包距形面积等于一组对边所包距形面积与另一组对边所 相似文献
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定理梯形的两条对角线和两腰所在的两个三角形的面积相等,且这个面积是梯形两条对角线与两底所在的两个三角形面积的比例中项。证明:如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,记∠AOB=a,△AOD、△BOC的两面积分别为 S_1、S_2,内三角形面积公式可知:S_(△ABC)=S_(△DBC), ∴ S_(△ABC)-S_(△BOC)=S_(△DBC)-S_(△BOC), ∴ S_(△AOB)=S_(△DOC)。又S_1·S_2=1/2OA·ODsina·1/2OB·OCsina =1/2OA·OBsina·1/2OD·OCsina =S_(△AOB)~2。应用上面的定理,解决一类作图题和与梯形面积有关的竞赛题。 相似文献
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作业中,我给同学们布置了一道题:已知双曲线的中心在坐标原点,焦点在x轴上,F1、F2分别为左右焦点,双曲线右支上有一点P使∠F1PF2=π3,且△F1PF2的面积等于23姨,又双曲线的离心率为2,求双曲线的方程郾部分同学采用了如下解法:解:设双曲线的方程为:x2a2-y2b2=1(a>0、b>0)∵离心率e=ca=2郾∴c=2a,故b2=3a2∴双曲线方程可化为:x2a2-y23a2=1设P(x0,y0)则x02a2-y023a2=1……………………①∵S△F1PF2=12PF1·PF2sin∠F1PF2=23姨即12PF1·PF2·3姨2=23姨∴PF1·PF2=8由焦半径公式得PF1=ex0+a,PF2=ex0-a∴e2x02-a2=8故x02=a2+84………… 相似文献
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有这样一道题: 如图,AF=1/3AB,BD=1/3BC,CE=1/3CA, 求证:S_(△GHk)=1/7 S_(△Anco) 一、四种证法证法一(用梅耐劳斯(Menelaus)定理)直线 CGF交△ABD的各边AB、BD、AD(或其延长线)于F、C、G、三点,应用梅耐劳斯定理有 AF/BF·BC/DC·DG/AG=1即 1/2·3/2·DG/AG=1, ∴ AG/DG=3/4,AG/AD=3/7 相似文献
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杨思源 《赣南师范学院学报》1987,(Z3)
<正> 形如ab=cd+ef的几何问题,其思路不易展开,用“三角法”也有一串冗长的演算。今介绍一个三角恒等式用来证明这类几何问题,它可以省去添加辅助线和冗长计算的麻烦。 三角恒等式。 若α+β+γδ=π, 则sin(α+β)·sin(β+γ)=sinα·sinγ+sinβ·sinγ……(1) 证明:α+λ=π-(β+δ)、∴cos(α+γ)=-cos(β+δ) 相似文献
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袁子厚 《长江工程职业技术学院学报》1997,(4)
一、推广命题 设在自变量的同一变化过程中,若 lim=0,limB=∞,limA、B存在,则 lim(1+A)~B存在,且lim(1+A)~B=e~(limA、B)证:∵elimA、B=e~(lim(A、B)·limln(1+A)~(1/A))=e~(lim[A·B·ln(1+A)~(1/A)])=e~(lim[A·B·(1/A)ln(1+A)]=e~(limln(1+A)~B)=lime~(ln(1+A)~B)=lim(l+A)~B∴lim(1+A)~B存在,且lim(1十A)~B=elim(A、B) 相似文献
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和差唤元法就是设x=m+n,y=m-n进行代换的方法,利用这种换元法去解关于出现x+y,xy类型数学竞赛题时,往往显得简捷而巧妙,下面举例说明。一、用于计算例1 计算(31·30·29·28+1)~(1/2)。 (第七届美国数学邀请赛题) 解:设31·28=m+n,30·29=m-n。则m=869,n=-1。∴原式=((m+n)(m-n)+1)~(1/2) =(m~2-n~2+1)=m=869。二、用于求条件代数式的值例2 设a+a~(-1)=3,求a~3+a~(-3)的值。解:设a=m+n,a~(-1)=m-n,则 相似文献
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题目 :在P( 1,1)、Q( 1,2 )、M ( 2 ,3)和N( 12 ,14 )四点中 ,函数 y =ax 的图象与其反函数的图象的公共点只可能是点 ( ) .(A)P (B)Q (C)M (D)N( 2 0 0 3年上海卷 ·文史类 )答案为D .此时a =116 ,也就是说点 ( 12 ,14 )是函数 y =( 116 ) x 与 y =log 11 6x图象的交点 .又因为函数y=( 116 ) x 与y =log 11 6x图象关于直线y=x对称 ,所以点 ( 14 ,12 )也是两图象的交点 .又函数y =( 116 ) x 与 y =log11 6x图象与直线 y =x有一交点 ,所以函数 y =( 116 ) x与 y =log11 6x的图象有三个交点 .那么函数y=ax 与y=logax的图象在… 相似文献
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神秘的“黄金分割” 总被引：1，自引：0，他引：1
一、“黄金分割”的由来很久以前古希腊学者欧多克斯(公元前 4 0 8～ 335)最早提出 :能否把一条线段分成两段 ,使其中较长的线段是原线段与较短线段的比例中项 ?人们经过反复的实践探索解决了这一问题。如图所示 ,取线段 AB,作CB⊥ AB使 BC=12 · AB,连 AC在 AC上取 CD =BC,在 AB上取 AE=AD,则 AE2 =AB· BE,下面用勾股定理证明这一结论。证明 :∵AC2 =AB2 BC2 ( AD DC) 2 =AB2 BC2∵ AD =AE BC=12 · AB∴有 AE2 AE·AB- AB2 =0 ( * )∴ AE2 =AB ( AB- A E)=AB· BE人们把这个比称为“中外比”,后来… 相似文献
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本文现将三角形内角平分线定理的推广及其在证明几个著名几可定理中的应用介绍如下: 一推广如图1,已知P为△ABC的AB边上一(内分)点,求证:PA/PB=CAsinα/(CBsinβ) 证明∵ S_(△CAP)/S_(△CBP)=PA/PB(同高) ∴ S_(△CAP)/S_(△CBP)=1/2CA·CPsinα/(1/2CB·CPsinβ)显然,当α=β时,则sinα=sinβ, 相似文献
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1.已知f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=2,求ff((21))+ff((32))+ff((34))+…+ff((22000065))的值.2.已知函数f(x)=log21(x2+2x+4),试比较f(-2006)与f(-2005)的大小.3.已知数列{an}的前n项和Sn=log12006(1+n),求a2006+a2007+…+a20062-1.4.已知a≠0,且sinx+siny=a,cosx+cosy=a,求(sinx+cosx)2006的值.5.求证:log321006+log222006+1log1672006<1.6.已知直线kx+(k+1)y-1=0与坐标轴所构成的直角三角形的面积为Sk,求S1+S2+…+S2006.参考解答1.取y=1,则f(x+1)=f(x)·f(1)=2f(x),即f(fx(+x)1)=2.所以ff((21))+ff((23))+f(4)f(3)+…+ff((22000065))=2+22… 相似文献
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《河北自学考试》2004,(2):30-30
第一部分选择题一、选择题(一)1.D2.D3.B4.D5.C6.C7.C8.D9.D10.A11.D12.C13.A14.D15.C16.D17.B18.C19.C20.C(二)21.C22.B23.B24.D25.B26.C27.D28.A29.B30.C第二部分非选择题二、计算题31.∵axax'=axalna·axa-1,1sinx∫et2dtx'=-esin2xcosx∴y'=axa+1xa-1lna-esin2xcosx32.方程变形为:y'-2xy=2x3∴通解为:y=e∫2xdx∫2x3e-∫2xdxdx+c=x2x2+c33.令fx=∞n=1∑xnn,则f'x=∞n=1∑xn-1=11-x｜x｜<1∴fx=x0∫dx1-x=-ln1-x｜x｜<134.令t=1-xx=1-tdx=-dt∴原式=-01∫1-tt4dt=10∫t4-t5dt=13035.zx=-y23x2+yφ',zy=2y3x+xφ'∴x2zx-xyzy… 相似文献
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例 1 已知x >0 ,求函数 y =2x2 +3x的值域 .错解 ∵y=2x2 +3x=2x2 +1x +2x≥ 33 2x2 ·1x· 3x=3 3 6.故所求函数的值域为 [3 3 6,+∞ ) .剖析 由于方程 2x2 =1x =2x 无解 ,即等号不能成立 ,故求解错误 .正解 y=2x2 +3x=2x2 +32x+32x≥ 33 2x2 · 32x· 32x=323 3 6.故所求函数值域为 323 3 6,+∞ .例 2 已知 1≤a+b≤ 5 ,-1≤a-b≤ 3 ,求 3a -2b的取值范围 .错解 ∵ 1≤a+b≤ 5 ,①-1≤a-b≤ 3 ,②∴ 0 ≤ (a +b) +(a-b)≤ 8,∴ 0≤a≤ 4,③∴ 0 ≤ 3a≤ 12 ,又∵ 1≤a+b≤ 5 , -3≤-a +b≤ 1,∴ -2 ≤ (a +b) +( -a+b)≤ 6,∴ -… 相似文献
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陈贵伦 《数学大世界(高中辅导)》2004,(11):34-36
20 0 4年全国卷Ⅱ理科第 17题 (文科第 18题 ) :已知锐角三角形ABC中 ,sin(A+B) =35 ,sin(A-B) =15 .(Ⅰ )求证tanA =2tanB ;(Ⅱ )设AB =3 ,求AB边上的高 .(Ⅰ )证法 1:∵sin(A +B) =35 ,sin(A -B) =15∴sinAcosB +cosAsinB =35sinAcosB-cosAsinB =15 sinAcosB =25cosAsinB =15 tanAtanB =2∴tanA =2tanB证法 2 :tanAtanB =sinAcosBcosAsinB=12 [sin(A +B) +sin(A-B) ]12 [sin(A+B) -sin(A -B) ]12 ( 35 +15 )12 ( 35 -15 )=2∴tanA =2tanB证法 3 :sinAcosB+cosAsinBsinAcosB -cosAsinB =sin(A+B)sin(A -B) =3即ta… 相似文献
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“已知a>0,b>0,a+b=1,求证(a+1/a)~2+(b+1/b)~2≥25/2”,这是一个常见的习题,值得深入讨论一番。为了便于本文的讨论,先给出如下解法: ∵ a>0,b>0,a+b=1 ∴ 1/a+1/b=(a+b)(1/a+1/b)≥4 ∴ (a+1/a)~2+(b+1/b)~2≥ 2·((a+b+1/a+1/b)/2))~2≥ 2·(1+4/2)~2=25/2 这里,用到了不等式(a_1+a_2)(a_1~(-1)+a_2~(-1)≥2~2和a_1~2+a_2~2≥2((a_1+a_2)/2)~2.实际上,一般地有不等式(sum from k=1 to m ak)(sum from k=1 to m a_k~(-1))≥m~2和 相似文献
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本刊 2 0 0 1年第 5-6期合刊发表了曾安雄同志《高考抽象函数试题综述》一文 ,读后深受启发 ,但还觉意犹未尽 ,故特撰此文 ,以续上文 ,试图通过一些具体的例子谈一谈这类问题的求解技巧、方法。一、特殊值开路 归纳法探求例 1 已知函数ｆ(ｎ) ,ｎ ∈Ｎ ,满足条件 :①ｆ(2 ) =2 ,②ｆ(ｘ·ｙ) =ｆ(ｘ) ·ｆ(ｙ) ,③ｆ(ｎ)∈Ｎ ,④当ｘ >ｙ时 ,有ｆ(ｘ) >ｆ(ｙ) .试求ｆ(ｎ)的表达式 .分析 :对于这样较复杂的问题 ,可以先以特例作尝试 ,在探求中发现规律 .解 :∵ｆ(1 ) =ｆ(1 · 1 ) =ｆ(1 ) ·ｆ(1 )∴ｆ(1 ) =1 ,又ｆ(2 ) =2∴ｆ(4) =ｆ(2… 相似文献