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1.
正姜坤崇老师文[1]中结合具体实例指出,用代换x=bαcα,y=cαaα.z=aαbα可以有效地证明一类条件为x+y+z=1的代数不等式.笔者读后深受启发,反思后发现该代换其实与三角代换x=tanB/2tan C/2,y=tanC/2 tan A/2,z= 相似文献
2.
在文[1]中,作者通过变量代换,把一类分式不等式的分母化为单项式,进而利用均值不等式和适当的放缩证明不等式．在本文中,我们通过对一道常见习题的引申,给出了此类分式不等式的另外一种简洁证明．在文[2]中,有如下的范例：例已知a、b、x、y均为正实数且(a~2/x) (b~2/y)= 1,证明：x y≥(a b)~2(为方便引申,叙述已经过修改)． 相似文献
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钟焕清 《中学数学教学参考》2003,(9):30-31
代换法在数学解题中有着广泛的应用 ,用它证明不等式 ,不蹈常规 ,见解独到且富有新意 .本文谈谈五种代换方法在不等式证明中的运用 .1 增量代换在题设条件a≥b下 ,令a =b +t(t≥ 0 ) ,这种代换叫做增量代换 .例 1 已知x >y>0 ,求证 x -yy >0入手 ,用增量代换法去证明 ,十分快捷 .证明 :由x >y >0 ,可令x =y +t(t>0 ) .∵ y +t相似文献
4.
2005年湖南省数学竞赛压轴题为:若正数a,b,c满足b+a c=a+b c-ca+b,求证:a+b c≥174-1.这是从等式开始的解证多元分式不等式的问题,较新颖.考生的得分率很低,而且标准答案也不易,因而值得探讨其典型解证方法.证法1(标准答案)由条件有a+b c=ca+b+b+a c,令a+b=x,b+c=y,c+a=z,则a=x+z2-y,b=x+y2-z,c=z+y-x2,从而原式变为x+2yz-z=y+z-x2x=x+2 zy-y,即x+z y=y+x z+z+y x-1≥xz+zy+1≥x 4+z y+1.令x+z y=t,则t≥4t+1,可得t≥1+2 17或t≤1-2 17(不合要求,舍去),故a+b c=x+2 yz-z=2t-21≥17-14.证法2由条件有a+b c=b+a c+ca+b=ab+a2 ac+bc+c2 ac≥(a+… 相似文献
5.
不等式的证明题中,常常会在给定条件或待证的不等式中含有“1”或与“1”有关的项.因此,熟知“1”的应用技巧并灵活运用,对学生拓宽解题思路、提高解题能力是十分有益的.下面就证明不等式时“1”的几个常用技巧做一总结.※“1”的等量代换法※当给定条件中有含“1”的等量关系式时,常常将“1”用式子等量代换到要证明的不等式中,对原不等式变形.[例1]已知x+y+z=1,证明x2+y2+z2≥13.证明:原不等式可变形为3(x2+y2+z2)≥1.∵x+y+z=1,∴3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2,左-右=3x2+3y2+3z2-(x+y+z)2=2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2zx=(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2≥0∴原… 相似文献
6.
王恒亮 《河北理科教学研究》2015,(3)
△ABC的内切圆、外接圆半径分别为r,R,大家知道有著名的Euler公式:R≥2r.
上述公式证明方法有多种,本文将给出△ABC中内切圆代换下的证明.
为此,我们先给出有关内切圆的一些基本知识点,这些在不等式证明中时是极其有用的.
如图1,设a=x+y,b=y+z,c =z + x,△ABC的内切圆、外接圆半径分别为r,R,面积为S,半周长p=a+b+c/2=x+y+z,由海伦公式知S=√p(p-a)(p-b)(p-c) =√xyz(x+y+z),注意到S=pr=a+b+c/2 r,故r=S/P=√xyz/x+y+z,而S=1/2absinC=abc/4R,故R=abc/4S=(x+y)(y+z)(z+x)/4√xyz(x+y+z),故=R/2r=(x+y)(y+z)(z+x)/8xyz≥8xyz/8xyz=1,故R≥2r. 相似文献
7.
张定胜 《中学数学研究(江西师大)》2004,(11):20-21
文[1]建立了一个新颖的带参数的分式不等式: 设a,b,c,x,y,x∈R ,若t＞1,则有 xa2/tx y z yb2/ty x z zc2/tz x y≤1/t-1((a2 b2 c2)-(a b c)2/t 2)…(1) 相似文献
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9.
安振平 《河北理科教学研究》2013,(3)
在文[1]里,笔者给出并证明了如下有趣的无理不等式:
问题 设a≥x＞1,b≥y＞1,c≥z＞0,求证:(a+b+c)-(x +y+z)＜√a2-x2+√b2-y2+√c2-z2≤√(a+b+c)2-(x+y+z)2.①
等号仅当a:x=b:y=c:z时成立.
下面给出不等式①的几个应用. 相似文献
10.
两个新的不等式 总被引：2，自引：0，他引：2
文 [1 ]证明了如下不等式 :设 a,b,c是周长为 1的三角形的三条边长 ,试证 :a2 b b2 c c2 a<18.(《数学通报》2 0 0 0年第 5期问题 1 2 52 )受文 [1 ]的启发 ,可得下面的不等式 :命题 1 设 a,b,c为满足 a b c=1的正数 ,则 ab( a 1 ) bc( b 1 ) ca( c 1 )≤49.证明 由算术平均 -几何平均不等式和恒等式 x3 y3 z3- 3xyz=12 ( x y z)[( x- y) 2 ( y- z) 2 ( z- x) 2 ],得a2 b b2 c c2 a≤ 12 7[( 2 a b) 3 ( 2 b c) 3 ( 2 c a) 3]=12 7{32 ( a b c) [( 2 a- b- c) 2 ( 2 b-c- a) 2 ( 2 c- a- b) 2 ] 3( 2 … 相似文献
11.
文 [1 ]中用微积分方法证明了不等式 :(x +y +z)·1y2 +yz+z2 +1z2 +zx +x2 +1x2 +xy +y2>4 + 23,①其中x、y、z为任意正实数 .我们指出 ,由此不等式可导出一个关于三角形的费尔马和的不等式 :设△ABC的三边长分别为a、b、c ,其费尔马点在形内 (即所有内角都小于 1 2 0°) ,且到顶点A、B、C的距离分别为x、y、z,则(x+y +z) 1a+ 1b+ 1c >4 + 23.②事实上 ,当△ABC的费尔马点在形内 ,即所有内角都小于 1 2 0°时 ,有a =y2 +yz+z2 ,b =z2 +zx +x2 ,c =x2 +xy +y2 .此时式①直接化为式② .关于费尔马和的一个不等式@方廷刚$四川省成都市第七… 相似文献
12.
王启民 《河北理科教学研究》2007,(3):9-10
在三角形中,三边之间有这样的一种重要代换关系:a,b,c是三角形三边长的充要条件是存在正数x,y,z,使得a=y z,b= z x,c=x y. 相似文献
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我们知道,利用等式证明不等式是证明不等式的一种重要思想方法.在不等式中,对于可化为（a/（b＋c））、（b/（c＋a））、（c/（a＋b））（其中a、b、c〉0）的一类对称不等式,若令x=（a/（b＋c））,y=（b/（c＋a））,z=（c/（a＋b））（x、y、z〉0）,则x、y、z满足等式（x/（x＋1））＋（x/（y＋1））＋（z/（z＋1））=1（）（1/（x＋1））＋（1/（y＋1））＋（1/（z＋1））=2（）xy＋yz＋zx＋2xyz=1（以下记此三式依次为①、②、③式）,这样,利用这几个恒等式. 相似文献
15.
安振平先生在《中学数学月刊》2 0 0 3年第 7期《一个三角形中的不等式》一文中给出了不等式 :命题 1 在△ ABC中 ,三边长 a,b,c,则a - b ca b- c ab c - a bc ≤ 3. ( 1 )现在给出 ( 1 )左式的下界 :命题 2 在△ ABC中 ,三边长为 a,b,c,则 a - b ca b- c ab c - a bc >2 . ( 2 )证明 设2 x =a - b c,2 y =b- c a,2 z =c- a b则a =x y,b =y z,c=z x,且 x,y,z >0 .∴ a - b ca b - c ab c - a bc=2 xx y 2 yy z 2 zz x= 2 ( xx y yy z zz x)>2 ( xx y yy z zz x)>2 ( xx y z yy z x zz x y) =2 .这个… 相似文献
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观察下面三个问题 :( 1 )设a、b、c为△ABC的三边 .求证 :a2 b(a -b) +b2 c(b -c) +c2 a(c-a)≥ 0 .①(第 2 4届IMO)( 2 )若x、y、z∈R+,则x·x +yx +z+y·y +zy +x+z·z+xz+y≥x +y +z.②( 1 992 ,国际“友谊杯”数学邀请赛 )( 3)设x、y、z∈R+,求证 :x2 ·y +zy +x+y2 ·z+xz+y+z2 ·x +yx +z≥xy +yz+zx .③这三个不等式均不难证明 ,此处从略 .今将揭示他们之间隐含的内在联系 .1 .建立对应关系 ,揭示①可转化为②众所周知 ,对于任意△ABC的三边a、b、c,总可找到这样的正数x、y、z,使得a =y +z,b =z+x ,c =x +y .于是 ,式①化为(y+z… 相似文献
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对于任意两个实数x和y,总有:x=x+y2+x-y2,y=x+y2-x-y2.若令a=x+y2,b=x-y2.则有x=a+b,y=a-b.这种代换称之为和差代换.下面谈谈这种代换在求值中的应用.一、求分式值例1已知a2+b2=6ab且a>b>0,则a+ba-b=.(2001年北京市初二数学竞赛复赛题)解设a=x+y,b=x-y,同时代入a2+b2=6ab中,得(x+y)2+(x-y)2=6(x+y)(x-y),化简整理,得x2=2y2,而a>b>0,所以x>y>0,故x2y2=2,xy=2.又知a+b=2x,a-b=2y,∴a+ba-b=2x2y=xy=2.二、求根式值例2计算14+65-14-65的值是()(A)1(B)5(C)25(D)5(2000年全国数学联赛题)解设14+65=a+b,①14-65=a-b.②①×②,得a2-b2=4.③①2+②2… 相似文献
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等比性质:a/b=c/d=…=m/m(?)(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b.(b+d+…+n≠0) 这个性质在许多方面使用起来是方便的,但必须注意它的条件:b+d+…+n≠0.若a+d+…+n=0,则分式的分母为零,无意义. 例1 已知x/2=y/3=z/(-5)≠0,求(x+y+z)/(x-y)的值. 相似文献
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题 已知a、b、c ,x、y、z是实数 ,a2 +b2 +c2 =1 ,x2 +y2 +z2 =9,求 ax +by +cz的最大值。1 错解解 由均值不等式可得ax≤ a2 +x22 ,by≤ b2 +y22 ,cz≤c2 +z22 ,各式相加得 :ax +by +cz≤ a2 +x2 +b2 +y2 +c2 +z22=a2 +b2 +c2 +x2 +y2 +z22=1 +92=5 ,即 ax +by +cz≤ 5 ( )故 ax +by +cz的最大值为 5。错因 在用均值不等式求最值时忽略了等号成立的条件 ,因为要使 ( )等号成立 ,当且仅当a =x ,b =y ,c=z ,这与已知条件矛盾。所以ax +by +cz <5 ,即ax +by +cz的最大值不可能为 5。2 通解分析 该题的问题是由于a2 +b2 +c2 ≠x2 +y… 相似文献
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题 1 (邵剑波提供 ) 证明或否定设a >b >c>0 ,x21a2 +y21b2 +z21c2 =1 ,x22a2 +y22b2 +z22c2 =1 ,且 (x -x1+x22 ) 2 +( y -y1+y22 ) 2 +(z -z1+z22 ) 2 =14[(x1-x2 ) 2 +( y1-y2 ) 2 +(z1-z2 ) 2 ],则x2 +y2 +z2 ≤a2 +b2 +c2 。题 2 (吴善和提供 ) 证明或否定 : 若a、b、c分别是△ABC的三边长 ,实数m≥ 1 ,a′ =(bm+cm) 1m,b′ =(cm+am) 1m,c′=(am+bm) 1m,则以a′,b′ ,c′为三边可构成△A′B′C′ ,且△ABC与△A′B′C′的内切圆半径r与r′之间成立不等式r′≥ 2 1m·r。(注 每小题第一位解答正确者将获得奖金 5 0元 )有奖… 相似文献