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戚有建 《中学数学研究(江西师大)》2014,(2):24-26
正一、题目展示题目设x,y,z为正数,求xy+yz/x~2+y~2+z~2的最大值点评:本题是一道调研考试题,考查的是多元函数的最值问题.本题结构简洁、表达流畅,看起来很平常,实际上却丰富多彩,有很大的教学价值和研究空间.二、解法研究分析1:(从不等式角度来考虑)观察目标式的结构特征,容易想到用基本不等式来求最值.解法1:由基本不等式得x~2+1/y~2≥2(1/2)~(1/2)xy, 相似文献
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用基本不等式求最值是高中数学教学和高考中常见的一种常见的方法,如2011年浙江高考理科第16题:设x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是_.变形后用基本不等式求解该题,最后只要验证等号成立的条件.但如果用基本不等式求该题x,y为正数时的取值范围,是否可行,还要附加什么条件?值得研究,请看下面的解析. 相似文献
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正人教版必修五给出了基本不等式a+b2≥槡ab(a0,b0),当且仅当a=b时取等号.其变形有:(a+b2)2≥ab;a2+b2≥12(a+b)2.应用基本不等式的条件:①正数;②和定或积定;③相等.基本不等式的一个应用就是求最值.有以下四类问题:一、隐含积定型若a0,b0且a+b的和为定值p,则积ab有最大值ab≤p24.例1已知x0,求y=x+1x的最小值.解y=x+1x≥21x·槡x=2.(当且仅当x=1x时取"=")例2已知x1,求y=x+1x-1的最小值.解y=x+1x-1=x-1+1x-1+1≥2+1=3.(当且仅当x-1=1x-1,x=2时取"=")变式已知x1,求y=x2-x+1x-1的最小值. 相似文献
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重视变式训练 激活思维能力--一类不等式问题的统一解法 总被引：1，自引：0，他引：1
1 问题的出现已知x、y∈(0 ,+∞) ,且x+2 y=1,求1x +1y的最小值.学生甲:∵x >0 ,y>0x +1x ≥2 ,2 y+1y ≥2 2 ,∴x+2 y+1x +1y ≥2 +2 2 .∵x +2 y=1,∴1x +1y ≥1+2 2故1x +1y 的最小值为1+2 2 .学生乙:∵x >0 ,y>01=x+2 y≥2 x·2 y,∴xy≤18.因此 1x +1y ≥2 1xy ≥2 8=4 2 .故1x +1y 的最小值为4 2 .以上是学生解这道题目时的两种典型错解,错误的根源在于多次使用了均值不等式,而等号不能同时取到.2 问题的解决本题的条件是正数x、y的一次齐次式等于常数,即x+2 y=1,要求最小值的式子的分母是关于x和y的一次多项式,如果能把1x +1y 化… 相似文献
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钟焕清 《中学数学教学参考》2003,(9):30-31
代换法在数学解题中有着广泛的应用 ,用它证明不等式 ,不蹈常规 ,见解独到且富有新意 .本文谈谈五种代换方法在不等式证明中的运用 .1 增量代换在题设条件a≥b下 ,令a =b +t(t≥ 0 ) ,这种代换叫做增量代换 .例 1 已知x >y>0 ,求证 x -yy >0入手 ,用增量代换法去证明 ,十分快捷 .证明 :由x >y >0 ,可令x =y +t(t>0 ) .∵ y +t相似文献
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题 已知a、b、c,x、y、z是实数 ,求a2 +b2 +c2 =1,x2 + y2 +z2 =9,求ax+by +cz的最大值 .该题是常出现在一些课外资料及杂志上的题目 ,学生在解题时往往用均值不等式来解 ,但由于忽视了a2 +b2 +c2 ≠x2 + y2 +z2 而导致解题错误 .为此 ,一些杂志上采用柯西不等式来进行求解 ,但学生对柯西不等式知之甚少 ,若用这种方法 ,学生难以掌握和理解 ,而且也不符合大部分学生的实际情况 .笔者认为 ,在解题中只要对该题的已知式进行适当的变形 ,仍可用均值不等式来解 ,现分析解答如下 :分析 该题的问题是由于a2 +b2 +c2 ≠x2 +y2 +z2 而导致不能用均… 相似文献
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x2+y2≥2xy是中学数学中的一类基本不等式,其中等号成立的充要条件是x=y.这类不等式不仅可以用来证明新的比较复杂的不等式,还可以用来求某些函数的最值并解决一些几何上的问题.目前,这方面的应用已经得到了比较广泛的讨论,但是却很少有人论及这类不等式在求曲线的切 相似文献
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刘胜林 《数理化学习(高中版)》2013,(9):18
在刚刚结束的2013年高考数学湖北理科卷中,有这样一道填空题:设x,y,z∈R,且满足x2+y2+z2=1,x+2y+3z=141,则x+y+z=.本题是一道多元变量的数值求解问题,它主要考查了柯西不等式及等号成立的条件.作为填空题,它要求学生具有较好的数学素养,具有一定的分析解决问题的能力,属于中档题,但从我校学生考试的整体情况来看,很不理想,许多同学对该题不知从何下笔.下面笔者从不等式、向量、方程、几何这四个不同角度分别来进行分析求解,得到如下几种不同解法,以飨 相似文献
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本文通过具体例题总结了基本不等式求一类题型（x+y）（a/x+b/y）（x,y,a,b都是正数）的最值.苏教版必修五给出了基本不等式的形式:ab1/2≤（a+b）/2（a≥0,b≥0）,当且仅当a=b时取等号,其变形形式有a+b≥2ab1/2基本不等式的一个运用就是求最值:①当a≥0,b≥0时,若和a+b为定值P,则积ab有最大值ab≤p2/4,当且仅当a=b时取等号;②当a≥0,b≥0时,若积ab为定值S,则和a+b有最小值a+b≥2S1/2,当且仅当a=b时取等号.我们来看下面3个问题:问题1:已知x,y为正数,求（x+y）（1/x+4/y）的最小值.问题2:已知z,y为正数且满足1/x+1/y=2,求x+2y的最小值. 相似文献
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笔者最近在帮助高三同学数学答疑过程中,遇见下面一道数学求最值问题:
已知x,y∈R,x2+y2-3xy=2,求x2+y2的最值.
解法一利用换元法结合基本不等式求解 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2010,(3)
已知不等式xy≤ax~2+2y~2对于x∈[1,2]、y∈[2,3]恒成立,求a的取值范围.解:由于x>0,y>0,故不等式两边同除以xy,可得1≤(ax)/y+(2y)/x. 相似文献
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<正>求函数值域没有通用的方法和固定的模式,要靠自己积累经验,掌握规律,从而根据函数解析式的结构特征来选择相应的解法.常用的方法有下面几种.一、分离常数法例1求函数y=2-sin x/(2+sin x)的值域.解y=2-sin x/(2+sin x)=-1+4/(2+sin x),∵-1≤sin x≤1,∴y∈[1/3,3].评注函数式中分子、分母都是sin x的一次式,可利用分离常数法解决.本例还可用函数有界性等方法求值域. 相似文献
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黄灿明 《河北理科教学研究》2001,(3):12-14
若x,y∈R+,则 x+y≥2√xy(*),这是众所周知的基本不等式.本文利用不等式(*)给出一类难度较大的分式不等式的简洁证明,相信能够引起同学们的浓厚兴趣. 相似文献
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<正>本文结合2014年中考题,归类解析不等式(组)问题的解题方法.一、利用不等式的性质解简单的不等式(组)例1(广东)若x>y,则下列式子中错误的是()(A)x-3>y-3(B)x3>y3(C)x+3>y+3(D)-3x>-3y解析根据不等式的性质1知,A、C正确;根据不等式的性质2知,B正确,D错误.答案选D.点评本题只需根据不等式的基本性质,进行选择判断即可. 相似文献
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在解不等式问题时 ,调整系数、拆项、补项是常用技巧 .但调整系数、拆项、补项时 ,既要考虑不等式的结构 ,又要符合相关要求 ,难以直接确定 .此时若用待定系数法 ,就可兼顾几方面要求 ,只需求出待定系数就行了 .例 1 已知 :1≤ 3x+2 y≤ 3,2≤ x+3y≤5 ,求 5 x+8y的取值范围 .分析 用 3x+2 y及 x+3y将 5 x+8y表示出来是解题的关键 .设 5 x+8y=m(3x+2 y) +n(x+3y) =(3m+n) x+(2 m+3n) y(m,n为待定系数 ) .由 3m+n=5 ,2 m+3n=8,解得 m=1,n=2 .解 5 x+8y=(3x+2 y) +2 (x+3y) ,∵ 2≤x+3y≤ 5 ,∴ 4≤ 2 (x+3y)≤ 10 .又 1≤ 3x+2 y≤ 3,∴ … 相似文献
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平均值不等式是高中数学的重要内容 ,熟练掌握二元和三元均值不等式及其变形应用 ,可以巧妙地解决许多数学题 .1 证明不等式这是最为大家常见问题 ,问题解决的关键是怎样根据题目提供的隐含条件去构造二元或三元均值不等式 .例 1 已知 x,y,z∈ R+且满足 xyz(x +y + z) =1 ,求证 :(x + y) (y + z)≥ 2 .证明 :(x + y) (y + z) =xy + xz + y2 + yz =y(x + y + z) + xz =y . 1xyz+ xz =1xz+ xz≥ 2 1xz. xz =2 .证毕 .此题从“2”这个数字 ,提示我们构造二元均值不等式 .2 求最值高中数学很多地方涉及求最值 ,利用均值不等式中等号成立的条… 相似文献
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一类分式不等式的联想 总被引：3，自引：0，他引：3
文[1]提出并证明如下分式不等式:问题1已知x、y、z为正实数,求证:x/(2x y z) y/(x 2y z) z/(x y 2z)≤3/4.其后,许多文章给出了该不等式的证明,如文[2]、文[3],笔者再给出一种简单的证法. 相似文献
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一个不等式的初等证明 总被引：1，自引：0，他引：1
文 [1]给出并用微分法证明了如下不等式 :已知 x,y,z∈ (0 ,+∞ ) ,且 x+ y+ z=1,则(1x- x) (1y- y) (1z- z)≥ (83 ) 3 . (1)受此启发 ,笔者经探索得出如下一个初等证明 .证明 由基本不等式易得xyz+ yzx≥ 2 y,yzx+ zxy≥ 2 z,zxy+ xyz≥2 x.将上述三个不等式相加得xyz+ yzx+ zxy≥ x+ y+ z=1. (2 )又由 1=x+ y+ z≥ 3 3 xyz,得 xyz≤12 7.∴ (1x- x) (1y- y) (1z- z) =1xyz· (1- x2 ) (1- y2 ) (1- z2 ) =1xyz[(1+ x) (1+ y)(1+ z) ][(1- x) (1- y) (1- z) ]=1xyz(2 +xy+ yz+ zx+ xyz) (xy+ yz+ zx- xyz) =2(1x+ 1y+ 1z) - 2 + (xy+ yz+… 相似文献