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1.
由奇函数、偶函数的图象定理知 :若ｆ( -ｘ) =-ｆ(ｘ) ,则函数ｆ(ｘ)的图象关于原点对称 ;若 ｆ( -ｘ) =ｆ(ｘ) ,则函数 ｆ(ｘ)的图象关于 ｙ轴对称 .下面我们研究此结论的推广情况 .1 若 ｆ(ａ -ｘ) =-ｆ(ａ+ｘ) ,则函数ｆ(ｘ)的图象关于点 (ａ ,0 )对称 ;2 若 ｆ( -ｘ) =2ａ -ｆ(ｘ) ,则函数ｆ(ｘ)的图象关于点 ( 0 ,ａ)对称 ;3 若ｆ(ａ-ｘ) =ｆ(ａ +ｘ) ,则函数ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ =ａ对称证明 1 由 ｆ(ａ-ｘ) =-ｆ(ａ +ｘ)得 ,函数ｆ(ａ+ｘ)是奇函数 ,从而函数 ｆ(ａ+ｘ)的图象关于原点对称 ,由此得函数ｆ(ｘ)的图象关于点 (ａ … 相似文献
2.
在函数的性质中 ,周期性占有特殊地位 .本文给出几个在对称条件下函数周期性的一些判定方法及其应用例举 .结论 1 如果一个函数的图象有两条对称轴ｘ=ａ与ｘ =ｂ,那么这个函数一定是周期函数 .具体地说 ,若函数 ｙ=ｆ(ｘ) ,对于定义域Ｒ上的任何ｘ ,都有 ｆ(ｘ) =ｆ( 2ａ-ｘ) ,ｆ(ｘ) =ｆ( 2ｂ -ｘ) (ａ≠ｂ) ,则函数 ｆ(ｘ)是周期函数 ,且 2｜ａ-ｂ｜为其一个正周期 .证明 对于任一ｘ∈Ｒ ,都有ｆ[2 (ｂ-ａ) +ｘ]=ｆ( 2ｂ-2ａ +ｘ)=ｆ( 2ａ-ｘ) =ｆ(ｘ) ,∴ｙ=ｆ(ｘ)是一个周期函数 ,2｜ａ-ｂ｜为其一个正周期 .根据结论 1 ,若函数 ｆ(ｘ… 相似文献
3.
《中学数学杂志》2 0 0 1年第 6期《曲线的运动与变换》一文中有一个结论是 :“函数ｙ =ｆ(ｘ)定义在Ｒ上 ,则函数 ｙ =ｆ(ωｘ Ａ)与ｙ=ｆ(Ｂ-ωｘ)的图象关于直线ｘ =Ｂ-Ａ2 对称” .我认为 ,函数 ｙ= ｆ(ωｘ Ａ)与 ｙ =ｆ(Ｂ -ωｘ)的图象关于直线ｘ= Ｂ-Ａ2ω 对称 .事实上 ,若点Ｍ(ｘ0 ,ｙ0 )是函数 ｙ =ｆ(ωｘ Ａ)图象上任意一点 ,则 ｙ0 =ｆ(ωｘ0 Ａ) .设点Ｍ关于直线ｘ =Ｂ-Ａ2ω 的对称点为Ｎ(ｘ′,ｙ′) ,则有ｘ0 ｘ′2 =Ｂ-Ａ2ωｙ0 =ｙ′ ｘ′=Ｂ -Ａω -ｘ0 ,ｙ′=ｙ0因为 ｆ(Ｂ -ωｘ′) =ｆ[Ｂ-ω(Ｂ-Ａω -ｘ0 ) ] =… 相似文献
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对称性是函数的重要性质之一 ,函数对称性问题又常常与函数的奇偶性、周期性以及原函数等性质融为一体 ,具有较强的综合性和抽象性 ,学生感到难以理解和把握 ,以致成为教学中的难点 .笔者经多年的教学实践 ,发现运用方程的观点 ,将函数解析式看作曲线的方程 ,利用解析几何中的坐标转移法去解决 ,显得既简单又直观 ,学生容易接受 .这是我在平时教学中的一点拙见 ,以飨大家 .例 1 已知函数ｙ =ｆ(ｘ)的反函数与ｙ=ｇ(ｘ)的图象关于点Ｐ(ａ ,ｂ)对称 ,则ｇ(ｘ)可表示 ( ) .(Ａ)ｇ(ｘ) =ａ+ｆ- 1(ｂ+ｘ)(Ｂ)ｇ(ｘ) =2ａ-ｆ- 1(2ａ -ｘ)(Ｃ)… 相似文献
5.
对于函数 ｙ=ｆ(ｘ) ,要将它的图象进行平移 ,解析式就会出现相应的变化 .变化的一般形式为 ｙ=ｆ(ｘ+ａ) +ｂ.若ａ>0 ,则图象左移ａ个单位 ,ａ <0 ,则图象右移｜ａ｜个单位 ;若ｂ>0 ,则图象上移ｂ个单位 ,ｂ<0 ,图象下移｜ｂ｜个单位 .在学习过程中 ,有些方程利用现有的知识无法求解 ,但结合函数的图象 ,我们可以确定解的个数或范围 .反之 ,若给出解的某些特征 ,也可以确定方程中参数的取值范围 .现举几例 ,仅供参考 .一、幂函数图象的平移例 1 若函数 ｙ=ｘ-ａ的图象与其反函数的图象有交点 ,求ａ的取值范围 .解 首先确定交点的位置 .假… 相似文献
6.
请先看下面的例子 :例 1 设函数 ｙ =ｆ(ｘ)定义在Ｒ上 ,则函数 ｙ=ｆ( 1 -ｘ)与 ｙ=ｆ( 1 +ｘ)的图象关于 ( )(Ａ)直线 ｙ=0对称(Ｂ)直线ｘ=0对称(Ｃ)直线 ｙ =1对称(Ｄ)直线ｘ=1对称学生往往容易错选Ｄ .什么原因呢 ?显然 ,学生将本题混同于下面的问题 :例 2 设 ｙ=ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的函数 ,若 ｆ( 1 -ｘ) =ｆ( 1 +ｘ) ,则函数 ｙ =ｆ(ｘ)的图象关于直线对称 .在这类问题上产生混淆的现象还很多 ,为此 ,笔者对这类对称问题剖析如下 ,供参考 .探讨函数图象的这类对称问题 ,首先应分清研究对象 ,是讨论某一个函数图象自身的对称问题… 相似文献
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在涉及反函数的一些问题中 ,有时不求反函数 ,反而可以更准确更快捷地解题 .一、求值例 1 若ｆ(ｘ) =3ｘ-4 ,则ｆ- 1 ( 2 ) =.解 设ｆ- 1 ( 2 ) =ａ ,则ｆ(ａ) =2 ,即3ａ-4 =2 ,ａ=2 ,∴ｆ- 1 ( 2 ) =2 .例 2 已知ｆ(ｘ) =ｘ2 (ｘ≥ 1) ,又ｆ- 1 (ｍ)= 4,则ｍ =.分析 ∵ｆ- 1 (ｍ) =4,∴ｆ( 4 ) =ｍ ,∴ｍ =42 =16.例 3 若ｆ(ｘ) =3ｘ2 +2 (ｘ ≥ 0 ) ,则ｆ- 1 [ｆ( 2 ) ] = .分析 应用结论 :若函数ｙ=ｆ(ｘ) (ｘ∈Ａ ,ｙ∈Ｃ)存在反函数ｙ =ｆ- 1 (ｘ) ,则ｆ[ｆ- 1 (ｘ) ] =ｘ(ｘ∈Ｃ) ,ｆ- 1 [ｆ(ｘ) ] =ｘ(ｘ∈Ａ) .由上易知ｆ- 1 … 相似文献
8.
《中学数学教学参考》2001,(3)
一、选择题 :本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .( 1)集合Ｍ ={1,2 ,3 ,4 ,5}的子集个数是 ( ) .Ａ .32 Ｂ .31 Ｃ .16 Ｄ .15( 2 )函数ｆ(ｘ) =ａｘ(ａ >0且ａ≠ 1)对于任意的实数ｘ ,ｙ都有 ( ) .Ａ .ｆ(ｘｙ) =ｆ(ｘ) ｆ( ｙ)Ｂ .ｆ(ｘｙ) =ｆ(ｘ) ｆ( ｙ)Ｃ .ｆ(ｘ ｙ) =ｆ(ｘ) ｆ(ｙ)Ｄ .ｆ(ｘ ｙ) =ｆ(ｘ) ｆ(ｙ)( 3)ｌｉｍｎ→∞Ｃｎ2ｎＣｎ 1 2ｎ 2=( ) .Ａ .0 Ｂ .2 Ｃ .12 Ｄ .14( 4 )函数ｙ =- 1-ｘ (ｘ≤ 1)的反函数是( )… 相似文献
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20 0 3年的高考山东等省的考生将使用新课程卷。导数是高中数学新教材中增加的内容 ,利用导数求函数的极大 (小 )值 ,求函数在连续区间 [ａ ,ｂ]上的最大 (小 )值 ,或利用求导法解决一些实际应用 ,也许会成为高考的一个新的热点问题。为此 ,本文举例归纳求导法的应用 ,供师生参考 .1 求函数解析式例 1 设 ｙ=ｆ(ｘ)为三次函数 ,且图象关于原点对称 ,当ｘ=12 时 ,ｆ(ｘ)的极小值为 - 1,求函数ｆ(ｘ)的解析式 .解 设 ｆ(ｘ) =ａｘ3 ｂｘ2 ｃｘ ｄ(ａ≠ 0 ) .(因为其图象关于原点对称 ,即 ｆ(-ｘ) =- ｆ(ｘ) ,得ａｘ3 ｂｘ2 ｃｘ ｄ =… 相似文献
10.
董裕华 《中学数学教学参考》2000,(5)
复合函数是函数知识的综合和拓展 ,在高中数学教学中已经涉及到许多这方面知识 ,在国内外数学竞赛中复合函数问题也频频出现 ,但现行中学数学教材中没有作出系统研究 .本文拟讨论形如 ｙ =ｆ[ｇ(ｘ) ]的复合函数的性质及其应用 .一、基础知识1 定义 .设函数ｙ =ｆ(ｕ) ,当ｕ∈Ｐ时 ,ｆ(ｕ)∈Ｑ ;ｕ又是ｘ的函数 ,ｕ =ｇ(ｘ) ,当ｘ∈Ｍ时 ,ｕ∈Ｐ .从集合Ｍ中每一个给定的ｘ ,通过Ｐ中唯一的元素ｕ与集合Ｑ中唯一的元素 ｙ相对应 ,则ｙ也是ｘ的函数 ,称为这两个函数的复函数 ,记为ｙ =ｆ[ｇ(ｘ) ] .其中ｙ=ｆ(ｕ)叫做复合函数的外函数 ,ｕ =… 相似文献
11.
函数的定义域是函数的要素 ,若对其概念理解不透 ,在解题中很容易造成错解 .下面列举几例加以剖析 .例 1 设函数ｙ =ｆ(ｘ)的定义域是 [2 ,3],求函数ｙ=ｆ(ｘ2 )的定义域 .错解 :∵ 2 ≤ｘ≤ 3,∴ 4≤ｘ2 ≤ 9.∴函数ｙ=ｆ(ｘ2 )的定义域是 [4,9].错因 :∵函数ｙ =ｆ(ｘ)的定义域是 [2 ,3],∴函数ｙ =ｆ(ｘ2 )中的变量ｘ2 应属于集合 [2 ,3].显然上面的错解是由于对函数定义域的概念理解不深造成的 .正解 :由 2≤ｘ2 ≤ 3,得 2≤｜ｘ｜≤ 3,即-3≤ｘ≤-2 ,或 2≤ｘ≤ 3.∴函数定义域是 [-3,-2 ]∪ [2 ,3].评注 :求复合函数Ｆ(ｘ) =ｆ[ｇ(ｘ… 相似文献
12.
白志峰 《中学生数理化(高中版)》2003,(2):21-21,23
定义型试题即试题中给出一个考生从未接触过的新规定 ,要求考生当即应用 ,用以考查考生的接受能力和应变能力 .一、定义新概念例 1 ( 2 0 0 1年上海高考题 )定义 :若函数 ｆ(ｘ)对于其定义域上的某一点ｘ0 ,有ｆ(ｘ0 )=ｘ0 ,则称ｘ0 是 ｆ(ｘ)的一个不动点 .已知函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 +(ｂ+1)ｘ +(ｂ- 1) (ａ≠ 0 ) .( 1)当ａ=1,ｂ =- 2时 ,求函数ｆ(ｘ)的不动点 ;( 2 )若对任意的实数ｂ ,函数ｆ(ｘ)恒有两个不动点 ,求ａ的取值范围 ;( 3)在 ( 2 )的条件下 ,若ｙ=ｆ(ｘ)图象上两个点Ａ、Ｂ的横坐标是函数 ｆ(ｘ)的不动点 ,且Ａ、Ｂ两点关于… 相似文献
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抽象函数是考试中经常考查的问题 考生面对此问题会本能地产生恐惧 其实抽象函数面纱并不神秘 ,只需多留心观察平时学过的函数 ,借助这些基本函数 ,抓住其特征结构 ,打开思维的闸门 ,问题是能够解决的 本文试从特征结构入手 ,探讨某些抽象函数的解题策略 1 ｆ(ｘ+ｙ) =ｆ(ｘ) + ｆ(ｙ)型问题中出现 ｆ(ｘ + ｙ) =ｆ(ｘ) +ｆ( ｙ)这个特征结构 ,联想一次函数及其相应的性质 ,则问题迅速可解 例 1 设ｆ(ｘ)是奇函数 ,对于任意ｘ ,ｙ∈Ｒ ,都有 ｆ(ｘ + ｙ) =ｆ(ｘ) + ｆ( ｙ) ,且ｘ >0时 ,ｆ(ｘ)<0 ,ｆ( 1) =- 2 ,试问在 - 3≤ｘ≤ 3时… 相似文献
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在反比例函数ｙ =ｋｘ 中 ,ｘｙ =ｋ是反比例函数的一条重要性质 .对于双曲线上的若干有序实数对 (ｘ1 ,ｙ1 ) ,(ｘ2 ,ｙ2 ) ,(ｘ3,ｙ3) ,… ,(ｘｎ,ｙｎ) ,都有ｘ1 ｙ1 =ｘ2 ｙ2 =ｘ3ｙ3=… =ｘｎｙｎ=ｋ.在解题中若能充分应用这条性质 ,往往能化繁为简 ,取得事半功倍的效果 .例 1 已知ａ与ｂ2 成反比例 ,且当ｂ =4时 ,ａ =5,求ｂ=45时ａ的值 .(初中《代数》第三册 1 38页Ａ组第 6题 )解 由反比例函数的性质有ａ1 ｂ21 =ａ2 ｂ22 ,所以 5× 42 =ａ× 452 .解得ａ =1 2 5.例 2 反比例函数ｙ =ｋｘ(ｋ >0 )在第一象限内的图象如图 1所示 ,… 相似文献
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不少同学在学习函数时 ,由于不了解定义域对函数性质的影响 ,因而不太注意定义域 .本文讨论定义域和反函数存在的关系 .课本是这样给出反函数的概念的 :一般地 ,函数 ｙ =ｆ(ｘ) (ｘ∈Ａ)中设它的值域为Ｃ ,我们根据这个函数中ｘ、ｙ的关系 ,用 ｙ把ｘ表示出 ,得到ｘ=φ(ｙ) ,如果对于 ｙ在Ｃ中的任何一个值 ,通过ｘ =φ(ｙ) ,ｘ在Ａ中都有唯一的值和它对应 ,那么ｘ=φ(ｙ)就表示 ｙ是自变量 ,ｘ是自变量 ｙ的函数 ,这样的函数ｘ= φ(ｙ) (ｙ∈Ｃ)叫做函数ｙ=ｆ(ｘ) (ｘ∈Ａ)的反函数 ,记作ｘ =ｆ- 1 (ｙ) ,习惯写为ｙ =ｆ- 1 (ｘ) .ｙ=ｆ(… 相似文献
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中学数学微积分初步主要讨论一元函数的微积分问题 ,而一元函数中复合函数是最常见、最主要的内容 ,它占有举足轻重的地位。复合函数的知识是求导和求积的重要基础知识 ,认识不到函数的复合及一复合函数怎样分解 ,求导、求积就会寸步难行 ,造成教学上的困难。一、复合函数注意事项设有两个实数集上的映射 : ｆ:ｙ=ｆ(ｕ) ｕ∈Ｄｆ ｇ :ｕ =ｇ(ｘ) ｘ∈Ｄｇ如果映射ｇ的值域Ｒｇ 与映射ｆ的定义域Ｄｆ有 :Ｒｇ Ｄｆ,于是可将ｕ =ｇ(ｘ)代入 ｙ =ｆ(ｕ)得到新函数 ｙ =ｆ[ｇ(ｘ) ] ｘ∈Ｄ ,Ｄ =Ｒｇ ∩… 相似文献
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等比定理 若 ａｂ =ｃｄ =ｅｆ ,则ａｂ =ｃｄ =ｅｆ =ａ ｃ ｅｂ ｄ ｆ(ｂ ｄ ｆ≠ 0 ) .该性质看似简单 ,但在解各类数学竞赛题时 ,却能大大简化解题过程 ,起着无可替代的作用 ,收到出奇制胜的效果 .现举例说明 .例 1 ( 1990年匈牙利数学竞赛题 )若 ｘｙ ｚ ｔ=ｙｚ ｔ ｘ=ｚｔ ｘ ｙ=ｔｘ ｙ ｚ,记ｆ =ｘ ｙｚ ｔ ｙ ｚｔ ｘ ｚ ｔｘ ｙ ｔ ｘｙ ｚ,求证 :ｆ是整数 .证明 ( 1)若ｘ ｙ ｚ ｔ≠ 0 ,由等比定理 ,ｘｙ ｚ ｔ=ｙｚ ｔ ｘ=ｚｔ ｘ ｙ=ｔｘ ｙ ｚ=13,于是有ｙ ｚ ｔ=3ｘ ,ｚ ｔ ｘ =3ｙ ,ｔ ｘ ｙ =3ｚ ,… 相似文献
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一、选择题 :(本大题 12小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 ,每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1.已知集合Ａ ={ｙ｜ｙ =ｌｏｇｘ2 ,ｘ >1},Ｂ ={ｙ｜ ｙ =( 12 ) ｘ ,ｘ >1},则Ａ ∪Ｂ等于 ( )Ａ .{ｙ｜ 0 <ｙ<12 } Ｂ{ｙ｜ ｙ >0 }Ｃ .ΦＤ .Ｒ2 .下列函数中 ,同时具有性质 :①图象过点 ( 0 ,1) ;②在区间 ( 0 ,+∞ )上是减函数 ;③是偶函数 ,这样的函数是 ( )Ａ .ｆ(ｘ) =ｘ2 Ｂ .ｆ(ｘ) =ｌｏｇ2 ( ｜ｘ｜+2 )Ｃ .ｆ(ｘ) =( 12 ) ｜ｘ｜ Ｄ .ｆ(ｘ) =2 ｜ｘ｜2 (新 )下列导数正确的是 ( )Ａ .(ｘ +1ｘ)′ =… 相似文献
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一、选择题 (每小题 6分 ,满分 36分 )1.定义在实数集Ｒ上的函数ｙ =ｆ(-ｘ)的反函数是ｙ =ｆ-1(-ｘ) ,则 ( ) .(Ａ)ｙ =ｆ(ｘ)是奇函数(Ｂ)ｙ=ｆ(ｘ)是偶函数(Ｃ)ｙ=ｆ(ｘ)既是奇函数 ,也是偶函数(Ｄ)ｙ =ｆ(ｘ)既不是奇函数 ,也不是偶函数图 12 .二次函数ｆ(ｘ)=ａｘ2 +ｂｘ +ｃ的图像如图 1所示 .记Ｎ =|ａ +ｂ +ｃ |+|2ａ -ｂ|,Ｍ =|ａ -ｂ +ｃ |+|2ａ +ｂ|.则 ( ) .(Ａ)Ｍ >Ｎ (Ｂ)Ｍ =Ｎ(Ｃ)Ｍ <Ｎ (Ｄ)Ｍ、Ｎ的大小关系不能确定3.在正方体的一个面所在的平面内 ,任意画一条直线 ,则与它异面的正方体的棱的条数是 ( )… 相似文献
20.
《高中数学教与学》2003,(8):21-26
一、选择题 (本大题共 1 2小题 ,每小题 5分 ,共60分 ,在每小题给出的 4个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1 如果函数 ｙ=ａｘ2 +ｂｘ+ａ的图象与ｘ轴有两个交点 ,则点 (ａ,ｂ)在ａＯｂ平面上的区域 (不包含边界 )为 ( )2 抛物线 ｙ=ａｘ2 的准线方程是 ｙ=2 ,则ａ的值为 ( ) (Ａ) 18 (Ｂ) -18 (Ｃ) 8 (Ｄ) -83 已知ｘ∈ -π2 ,0 ,ｃｏｓｘ =45,则ｔａｎ 2ｘ=( ) (Ａ) 72 4 (Ｂ) -72 4 (Ｃ) 2 47 (Ｄ) -2 474 设函数 ｆ(ｘ) =2 -ｘ-1 ,ｘ ≤ 0 ,ｘ1 2 , ｘ >0 .若 ｆ(ｘ0 )>1 ,则ｘ0 的取值范围是 (… 相似文献