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岳荫巍 《数学大世界(高中辅导)》2004,(11):23-25
.利用向量模的概念图 1【例 1】 已知点P是直线y=1上的动点 ,Q是OP上的动点 ,且｜OP｜·｜OQ｜ =1,求动点Q的轨迹方程(如图 1) .解 :设Q(x ,y) ,(y >0 ) ,P(x1 ,1)∵ ｜OP｜·｜OQ｜ =1,∴x21 +1· x2 +y2 =1即 (x21 +1) (x2 +y2 ) =1①又OP ,OQ共线 ,OP∥OQ ,∴x -x1 y =0 ,即x1 =xy ②把②代入① ,并整理 ,得图 2x2 +y2 -x =0(y>0 ) .2 .利用非零向量垂直的充要条件【例 2】 已知圆x2 +(y-1) 2 =1上定点A( 0 ,2 ) ,动点B .直线AB交x轴于点C ,过C与x轴垂直的直线交弦OB的延长线于圆外一点P(如图 2 ) ,求P点的轨迹方程 .解 … 相似文献
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正结论1 P是平面OAB(OAB)上的一个动点,→OP=→x OA+→y OB(x,y∈R),若点P,A,B共线,则x+y=1;反之,若x+y=1,则点P,A,B共线.结论 1可作进一步推广:结论 2若点P与O落在直线AB的2侧,则有x+y1,反之也成立.证明设OP与AB所在的直线交于点P',则存在实数λ,使得→OP=λ→OP'且λ1.由上述定理 相似文献
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例题 已知三点A(1,一1)、B(3,3)、C(4,5)求证:A、B、C三点在一条直线上. 思路1 应用两点问的距离公式计算l AB I、I BC I、J AC I.由其中一线段之长,为其它二线段长之和,故A、B、C三点共线. 思路2 利用定比分点公式. 设点P(3,y)是丽的一个分点,则A=篙=}弓=2,y=二与{弓堕:3,即点 相似文献
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《中学教研》1986,(10)
一、逸择肠(共30分,每小题10分) 《1》在下列各数中,已表示成三角形式的复数是 ‘A,2‘eos奇一‘s‘n晋,.‘B,2‘eo,晋+‘,,n晋,· ‘c,2‘,,n晋+‘eos晋,·‘D,一2‘sin晋一‘cos晋,·答‘,(2)函数夕=(0。2)一留+1的反函数是 (A),二109,x+1。(B),=109:5+1. (C),=109:(x一i)。(D)召二109,x一1.答()(3)极坐标方程pcose=4/3表示 (A)一条平行于x轴的直线。(B)一条垂直于x轴的直线. (C)一个圆。(D)一条抛物线.答()(4)函数奋=订百sinZxeosZx是 (A,周期为号的奇函数·(,,周期为号的偶函数· (c,周期为令的奇函数·(D,周期为号的偶函数·答‘… 相似文献
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命题1在四边形ABCD中,P是对角线AC,BD的交点.过P作一条直线分别交AB,CD于E,F,BF交AC于T,DE交AC于R,BR交AD于M,DT交BC于N,则M,P,N三点共线.证明如图1,因直线FPE截△CDR,由梅涅劳斯定理得CFFD·DERE·RPPC=1,(1)由直线FTB截△CDP得DFFC·CTPT·PBBD=1,(2)由直线BEA截△DPR得图1DBBP·PARA·REED=1.(3)(1)式×(2)式×(3)式得RPTP·CART·PPCA=1,(4)由直线MRB截△ADP得AMMD·DBPB·PRRA=1,(5)由直线BNC截△DTP得DNNT·CTCP·BPBD=1.(6)(5)式×(6)式÷(4)式得AMMD·DNNT·PTPA=1.… 相似文献
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《时代数学学习》2005,(4)
1.B.2.A.提示:利用平移知AH,HG与ED即可.3.∠AEC=43∠AFC.提示:如图1,过E作EG∥AB.由AB∥CD知EG∥CD.有∠AEG=∠BAE=4∠1,∠GEC=∠DCE=4∠2.即∠AEC=4(∠1+∠2),同理∠AFC=∠BAF+∠DCF=3(∠1+∠2).图1图24.15°.提示:如图2,(方法之一)因为∠AFE=∠B=90°,∠EFC=60°,所以∠AFD=180°-∠AFB-∠EFC=30°.由矩形的角是直角,知CD∥AB,故∠BAF=∠AFD=30°,由折叠知∠BAE=∠FAE,故∠BAE=15°.5.将“平面上n(n≥2)条直线两两相交”的各种可能通过平移变为一种情况:在平面上任取一点O,将这n条直线均平行移动为通… 相似文献
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人教版高中数学第一册(下)第109页例5给出了三点共线的向量表示形式,即若O、A、B三点不共线,则P、A、B三点共线的充要条件为OP=tOA+(1-t)OB(t∈R).这一结论正因为隐藏于普通例题之中,似乎“养在深闺人未识”.事实上,它在一些几何问题上,常有一些妙用,本文就此列举例几1例.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1)、B(-1,3),若点C满足OC=αOA+βOB,其中α、β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为().A.3x+2y-11=0B.(x-1)2+(y-2)2=5C.2x-y=0D.x+2y-5=0解例析2:由上述结论知A、B、C三点共线,故点C的轨迹为直线AB,选D.已知点O… 相似文献
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一、单项选择题 1.复数Z,一3+,.2:一1一,.则Z二Z,·Z:在复平面上对应的点位于() A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2.给出下列命题 ①若两非零向量及荡,使得妥一忘(*任R).那么及//石 ②若两非零向量及另共线.则石一疡以任R) ③若人任尺,则石//妥 ①若义,:‘〔尺.几铸‘,.则以+“)蕊与蕊共线 其中正确命题的个数是() A .1 B 2 C.3 D.4 3.圆了+一+2二+4y一3一。上到直线,+y+1一。的距离为丫一了的点共有( A .1 B.2 C.3 D.4 4.已知平面a,月,。,直线l,m满足:l土m,a土:,二自a一,n,:门夕~l,那么在:①夕土二 条件推出的只有() A.… 相似文献
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新版高一数学 (下册 )第五章第三节《实数与向量的积》中 ,介绍了平面两个向量共线定理 :向量 b与非零向量 a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b =λa.由此 ,可以得到下列推论 :推论 1 OA、OB是平面内两不共线向量 ,向量OP满足 :OP =a OA +b OB( a,b∈ R) ,则 A、P、B三点共线的充要条件是 a +b =1.证明 :( 1)若 a +b=1,则 A P =OP - OA =( a -1) OA +b OB =b( OB - OA ) =b AB,故 AP与 A B共线 ,从而 A、P、B三点共线 ;( 2 )若 A、P、B三点共线 ,则存在唯一实数λ,使得AP =λAB,即 OP - OA =λ( OB - OA … 相似文献
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一、求角例1在三棱锥S-ABC中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,AC=2,BC=13姨,SB=29姨.求异面直线SC与AB所成角的大小.解在Rt△ABC中,AC=2,BC=13姨,∴AB=17姨.在Rt△SAB中,SB=29姨,∴SA=23姨.在Rt△SAC中,可求得SC=4.S C·A B=(S A+A C)·(A C+C B)=S A·A C+A C2+S A·C B+A C·C B=0+4+0+0=4.∴cosθ=S C·A BS C·A B=4417姨=17姨17.故异面直线SC与AB所成的角为arccos17姨17.注求异面直线所成的角,可构造向量,将异面线所成的角转化为两向量的夹角,利用向量数量积的式求解.例2如图,在直三棱柱… 相似文献
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近年来 ,高考、会考试题中一题多解的题目占有相当的比例 ,此类题目可考查学生综合运用数学基础知识来分析和解决问题的能力 ,即数学思维能力。下面举例说明这个问题。例 1 [1] 已知 A(-1 ,-1 ) ,B(1 ,3) ,C(2 ,5) ,求证A、B、C三点共线。证法 1 利用向量知识图为 AB =(1 -(-1 ) ,3-(-1 ) ) =(2 ,4 ) ,AC =(2 -(-1 ) ,5-(-1 ) ) =(3,6) .又 2× 6-3× 4 =0 .又 AB∥ AC,所以直线 AB、直线 AC有公共点 A,则 A,B,C三点共线 .证法 2 (利用向量知识 )因为 AB =(2 ,4 ) ,AC =(3,6) .设 AB与 AC的夹角为θ,则 cosθ=AB .AC/|A… 相似文献
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定理 设△ ABC的内心为 I,R,R1 ,R2 ,R3 分别是△ABC,△IBC,△ICA,△IAB的外接圆半径 ,则有R1 +R2 +R3 ≤ 3R,(1)R1 · R2 · R3 ≤ R3 . (2 )当且仅当△ ABC为正三角形时 ,(1)、(2 )取图 1等号 .证明 如图1,设 BC=a,CA=b,AB =c,因 I是△ABC的内心 ,则有sin∠ BIC=sin(180°- B+C2 ) =cos A2 .(3)由正弦定理及 (3)式可得R1 =a2 sin∠ BIC=2 Rsin A2 cos A2=2 Rsin A2 .同理可得R2 =2 Rsin B2 ,R3 =2 Rsin C2 .结合熟知的三角不等式sin A2 +sin B2 +sin C2 ≤ 32 及sin A2 sin B2 sin C2 ≤ 18,可得R1 +R2 +R… 相似文献
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设直线l的方程:Ax+By+C=。,(A举。刀祷0)点尸的坐标为尸(x。,夕。). 若设I与,轴交于点M,由直线l的方程可知M点坐标为M(0,一C/B).把坐标原点平到直线l的距离就是点尸在新坐标系x,,M丫下纵坐标的绝对值,由坐标旋转公式得:x护=一x,eosa+夕,sina犷:一x,si移到M点,则有:.y0’’二一x0’na一g,eosa。5 ina一夕。,eosa=一xosina丁‘”“t万二万,一(C/B)(I)一(,。+号)·。5·一。Sa(X。tg·+;。+落一). 把(I)代入直线的方程,得直线l庄祈坐标系下的方程:」X,+刀!l’ 0.二tg(1 80。一a)= B2AZ+1〕‘. 月二A一百,。一tga二一万,co“一a=把点… 相似文献
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我们经常遇到有关与过锐角内定点的动直线有关的极值问题 ,本文将这些问题归纳如下 ,并给出相应极值的几何解释 .如图 1,P是锐角∠ XOY内一这点 ,经过点 P的直线分别和角的两边 OX、OY相交于 A、B两点 ,则当直线满足什么条件时 ,( 1) OA . OB的值最小 ;( 2 ) AP . PB的值最小 ;( 3 ) OA +OB +AB的值最小 ;( 4 ) 1AP+1PB的值最小 ;( 5 ) OA +OB的值最小 ;( 6) AB的值最小 .命题 1 经过∠ XOY内一定点 P的动直线与角的两边 OX、OY相交于 A、B两点 ,则当AP =PB时 ,OA . OB的值最小 .分析 :因为 12 OA .OB .sin∠ O =S… 相似文献
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肖泰来 《数学大世界(高中辅导)》2006,(9)
在解有关解析几何问题时,可先根据题设条件,构造一个辅助圆,然后运用平几中有关圆的特性将问题转化,使其获得简解·【例1】已知圆O:x2+y2=R2及圆外一点P(a,b),过点P作圆O的两条切线PA、PB,切点分别为A、B,求直线AB的方程·分析:以P为圆心,以PA为半径构造一个圆,可将问题转化为求两圆的公共弦方程,从而简便求解·如图,由切线长定理及切线的性质得PA=PB,且|PA|2=|PO|2-|OA|2,于是以P为圆心,以PA为半径的圆方程:(x-a)2+(y-b)2=a2+b2-R2,①它与已知圆O:x2+y2=R2,②交于A、B两点·故由①—②得ax+by-R2=0,即为所求直线AB的方程·… 相似文献
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正平面中有关三点共线的一个重要的定理:定理1:设OA,OB为平面内不共线的两个向量,且OC=xOA+yOB(x,y∈R),则A,B,C共线的充要条件是x+y=1.文[1]探究了以上定理中将"x+y=1"中右边的"1"一般化后动点C的轨迹问题,得到了如下的结论:定理2:设O,A,B为平面α内不共线三点,OC=xOA+yOB(x,y∈R),过O与直线AB平行的直线为ι0,则满足x+y=k(k∈R)的动点C的轨迹是一条平行(重合)于ι0 相似文献
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初学《线段、角》一章,有些同学在解答一些基本概念问题时常常出现种种错误．现举例分析如下,供同学们学习时参考．例1下面说法是否正确：延长直线AB到C点．错答：正确．分析因为直线是向两方无限延长的,所以,延长直线AB到C点的说法是错误的．例2判断：如果AB＝AC,则点A就是线段BC的中点．错答：对！分析上述回答只考虑了A、B、C3点共线的情形,而当A、B、C3点不共线时,虽有AB＝AC,但点A不在线段BC上,故不是线段BC的中点．究其原因,是对线段中点的定义含糊不清．例3判断：连结两点的线段叫做这两点的距离．错答：正确… 相似文献
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第一天图11.如图1,点P在△ABC的外接圆上,直线CP、AB相交于点E,直线BP、AC相交于点F,边AC的垂直平分线交边AB于点J,边AB的垂直平分线交边AC于点K.求证:CBEF22=AAKJ··KJEF.(叶中豪供题)2.求方程组5x+1x=12y+1y=13z+1z,xy+yz+zx=1的所有实数解.(朱华伟供题)3.是否存在这样的凸多面体,它共有8个顶点、12条棱和6个面,并且其中有4个面,每两个面都有公共棱?(苏淳供题)4.求出所有的正实数a,使得存在正整数n及n个互不相交的无限整数集合A1,A2,…,An满足A1∪A2∪…∪An=Z,而且对于每个Ai中的任意两数b>c,都有b-c≥ai.(袁汉辉供题… 相似文献
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题:已知0(。提2,。>。,求 T=(:一)’十(侧万万沪一9/的’的最小值。 解法一:设“=Zeoso,0〔〔0、专派〕则T=(Zeoso一u)2+(Zsino一9/”)2=‘一‘”一“。一‘·号。,n。+。2+黔一4一4·护小丁喜:COS(e一甲)+一+影》‘一4扣不一纂=(2一了于漂)’于点A尸, OA+AB)OB二OA‘+A’B,.’. AB)A产B,因此,只要求OB的最小值。设点B(a户),则OBZ=、a’+西’)Za乙二15,只有在a=b时最小,即 a=b二3。 T。‘。=(3了万一2)’。 解法三:将T看作二复数差的模的平方:=一(:‘+、蔚‘)一(。+子‘)12”日l )}!·+、、·‘,一,·】2一训石2~而户.!’+全f2… 相似文献
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陈金跃 《数理化学习(高中版)》2006,(22)
处理富于变化的一直线与某一圆锥曲线的综合问题,方法之一就是退到一元二次方程解决,其三步曲是:①直线方程代入圆锥曲线方程;②利用一元二次方程的韦达定理或判别式;③想干嘛就干嘛·本文意在揭示“想干嘛”有哪些多样化的特征,“就干嘛”又有哪些规律化的玄机·一、角平分线、弦长(或面积)问题例1如图1,过点P(1,2)的直线与抛物线y=x2相交于A、B两点,O为坐标原点,当直线OP平分∠AOB时,求直线AB的方程及△AOB的面积·解:直线y-2=k(x-1),代入y=x2得x2-kx+k-2=0·设交点A(x1,y1)、B(x2,y2),由韦达定理x1+x2=k,x1x2=k-2·因为直线OP平… 相似文献