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1.
在近年的高考数学试题中 ,常以数列递推式中不等式的证明作为能力型试题 .这类问题综合性强、思维容量大、能力要求高 ,是同学们感到很棘手的一类问题本文通过具体的例子说明解这类问题的几种常用方法 .一、数学归纳法例 1 已知数列 an ,对任意n∈N ,均有an >0 ,且a2 n ≤an-an + 1 ,求证 :当n≥ 2时 ,an <1n +1.证明 ( 1)当n =2时 ,a2 ≤a1 ( 1-a1 )≤ a1 +( 1-a1 )22=14 <13 =12 +1.命题成立 .( 2 )假设当n =k(k≥ 2 )时 ,命题成立 ,即有 ak <1k+1≤ 13 (k≥ 2 ) .当n =k +1时 ,由题设有ak+ 1 ≤ak-a2 k.令 f(x) =x-x2 ,则f(x) =… 相似文献
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丁兴春 《数理天地(高中版)》2004,(11)
设ak,bk,ck(1≤k≤n)均为正数,则有当且仅当a1/b1=a2/b2=…=an/bn,b1/c1=b2/c2=…=bn/cn,时等号成立.证明记 相似文献
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(2007年高考天津卷理科21):在数列{}an中,a1=2,a n 1=λa n λn 1 (2?λ)?2n(n∈N?),其中λ>0.(I)求数列{}an的通项公式.以下是命题组提供的两种参考答案.解法一a2=2λ λ2 (2?λ)2=λ2 22,223233a3=λ(λ 2) λ (2?λ)2=2λ 2,334344a4=λ(2λ 2) λ (2?λ)2=3λ 2.由此可猜想出数列{}an的通项公式为an=(n?1)λn 2n.以下用数学归纳法证明.(1)当n=1时,a1=2,等式成立.(2)假设当n=k时等式成立,即ak=(k?1)λk 2k,那么ak 1=λak λk 1 (2?λ)?2k=λ(k?1)λk λ?2k λk 1 2k 1?λ?2k=[(k 1)?1]λk 1 2k 1.这就是说,当n=k 1时等式也成立.根据(1)… 相似文献
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问题[1] 设a1,a2 ,a3,a4 ∈R+ ,求证a31a2 +a3+a4+a32a3+a4 +a1+a33a4 +a1+a2+a34 a1+a2 +a3≥(a1+a2 +a3+a4 ) 21 2 ①文 [2 ]应用基本不等式 ,将不等式①推广为 :定理 1 设a1,a2 ,… ,an∈R+ ,a1+a2 +… +an=s,k∈N ,k≥ 2 ,则有ak1s-a1+ak2s-a2+… +akns-an≥ sk - 1(n -1 )nk- 2 ②其中等号当且仅当a1=a2 =… =an 时成立。定理 2 设a1,a2 ,… ,an∈R+ ,a1+a2 +… +an=s,k∈N ,k≥ 2 ,则有∑ni=1akis-ai≥ 1n -1 ∑ni=1ak- 1i ③其中等号当且仅当a1=a2 =… =an 时成立。本文给出两点注记 :注记 1 定理 1的条件可以放宽为 :设ai≥ … 相似文献
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王增强 《中学数学研究(江西师大)》2013,(2):23-25
在不等式的王国中,我们知道有很多不等式都是用华罗庚先生的名字命名的,其中有一个初等不等式如下:
华罗庚不等式[1]设ak为实数,p,q＞0则(P-n∑k=1ak)2+q(n∑k=1a2k)≥pq2/n+q.仅当a1=a2=…=an=qp/n+q时等号成立. 相似文献
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数学归纳法主要用来证明一个与正整数有关的命题,它的步骤如下:1.证明当n取第一个值n0时结论正确;2.假设当n=k(k!N*,且k≥n0)时结论正确,证明当n=k 1时结论也正确.在完成了这两个步骤以后,就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.例1已知在各项均为正数的数列｛an｝中,它的前n项和Sn满足Sn=12(an a1n).试猜想数列｛an｝的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.解析∵S1=a1=12(a1 a11),∴a21=1.∵an>0,∴a1=1.∵S2=a1 a2=12(a2 a12),即a22 2a2-1=0,又an>0,∴a2="2-1.∵S3=a1 a2 a3=1 ("2-1) a3=21(a3 a13),即a32 2"2a3-1=0,又an>0… 相似文献
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1等差数列{an}前n项和Sn的算术平均数Snn叫做等差数列前n项的中间值.根据等差数列前n项和公式,显然有Snn=a12 an,即等差数列的中间值等于第1项与第n项的等差中项.等差数列的中间值有如下两种情况:(1)当n=2k-1时,Snn=a1 2a2k-1=ak,k∈N*;(2)当n=2k时,Snn=a1 2a2k=ak ak 12,k∈N* 相似文献
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《数学通报》2004年第3期《对一道不等式习题的再思考》一文中有如下猜想:若an bn=2,a,b∈R,n≥2,n∈N,则a b≤2,ab≤1.证明(1)若a,b中有一个为0时上述猜想显然成立.(2)当a>0且b>0时,由an bn2≥a b2n知a b2n≤1,所有a b≤2.且有ab=anbnn2≤an bn2n2=1.(3)当a<0且b<0时,此时显然有a b≤2.又由an bn=2知n必为偶数,则ab=｜a｜｜b｜=｜a｜n｜b｜nn2≤｜a｜n ｜b｜n2n2=an bn2n2=1.(4)当ab<0时,不妨设a>0,b<0,此时显然ab≤1成立.下证a b≤2,假设a b>2,当n为偶数时,由a b>2知a>2,则an>2n,又bn>0,则an bn>2n>2,这与an bn=2矛盾;当n为奇数时,由a b>… 相似文献
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2007年高考数学陕西卷理科第22题：已知各项全不为零的数列{an}的前k项和为Sk,且Sk=1/2akak＋1（k∈N^n）,其中a1=1．（Ⅰ）求数列{ak}的通项公式;（Ⅱ）对任意给定的正整数n（n≥2）,数列{bn}满足bk＋1/bk=k-n/ak＋1（k=1,2,…,n-1）,b1=1.求b1＋b2＋…＋bn. 相似文献
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韦兴洲 《中学生数理化(高中版)》2013,(6)
本文讨论了n个正整数的和与积相等的一个必要条件,并证明了两个与素数、合数有关的结论.
结论1:若n(n≥2)个正整数a1,a2,…,an满足条件n∑i=1ai=n∏i=1ai,则ai≤n(i=1,2,…,n).
证明:(1)当n=2时,a1·a2-(a1+a2)=(a1-1)·(a2-1)-1≥0,当且仅当a1=a2=2时等号成立,故a1·a2=(a1+a2)时a1≤2,a2≤2,符合结论1.
(2)当n≥3时,设a1≤a2≤…≤an.令a1=a2=…=an-2=1,an-1=2,an=n,则n∑i=1ai=n∏i=1ai=2n.此时ai≤n(i=1,2,…,n).
又设存在n(n≥2)个正整数b1,b2,…,bn满足条件1≤b1≤b2≤…≤bn-1≤bn,bn＞n,且n∑i=1bi=n∏i=1bi.不妨令bi=1+ti(i=1,2,…,n-1,ti∈N),bn=n+tn(n∈N+). 相似文献
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一、逐减法形如k1a1 k2a2 k3a3 … kn-1an-1 knan=f(n)(其中k1,k2,…,kn为非零常数)型,可再构造等式:k1a1 k2a2 k3a3 … kn-1an-1=f(n-1)(n≥2).然后两式相减,求通项an.【例1】(2007年山东高考)设数列{an}满足:a1 3a2 32a3 … 3n-1an=3n,n∈N*.求数列{an}的通项.解析:由已知a1 3a2 32a3 … 3n-1an=3n①得n≥2时,a1 3a2 32a3 … 3n-2an-1=n3-1②用①-②得,3n-1an=31,an=31n,又由①得,a1=13,满足上式,所以an=31n(n∈N*).二、Sn法形如f(sn,an)=0型,可利用an=S1(n=1)Sn-Sn-1(n≥2)统一成f(an)=0或f(Sn)=0的形式求解.【例2】(2007年重庆高考)… 相似文献
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高级中学数学第二册 (上 )第六章一组不等式 :1 如果a ,b ∈R ,那么a2 b2 ≥2ab(当且仅当a =b时取“=”号 ) (P9性质定理 ) .2 .已知a ,b是正数 ,且a≠b .求证a3 b3>a2 b ab2 (P12 例 3) .3.如果a ,b是正数 ,且a≠b是正数求证a6 b6 >a4 b2 a2 b4 (P16 习题 2 ) .从结构上看 ,三式之间有惊人的相似 ,反映了相关数学的本质属性 .由此类比拓展 ,可以得到更一般性的结论 ,形成新的解题序列 ,发挥教材的效应 .引申 1 如果a ,b是正数 ,那么an bn≥an- 1b abn- 1(n∈N ,n >1 ) (当且仅当a=b时取“=”号 ) .证明 an bn - (an- 1b abn- 1)… 相似文献
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数学归纳法由“奠基”和“归纳”两步组成.在“归纳”过程中必须用到“归纳假设”.但是,如何用到“归纳假设”有时是有技巧.下面以均值不等式的证明为例予以展示. 已知a1,a2…,an(n≥2,n∈N*),是n个正实数,求证: 证明:(1)当,n=2时,由(a1+a2)2≥4a1a2可得a1+a2/2≥不等式成立. 相似文献
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朱万喜 《中学数学研究(江西师大)》2005,(10):17-19
文[1]给出了如下定理及证明: 定理1设ai∈R ,n∑I=1ai=s,k∈N,k≥2,则有n∑I=1 aki/s-ai≥sk-1/(n-1)·nk-2.(1)其中等号当且仅当a1=a2=…=an时成立. 相似文献
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一、根据条件直接猜想例1已知数列{an}中的各项分别为182××132,…,8n(2n-1)2(2n+1)2,…,Sn是数列的前n项和,计算可得S1=98,S2=2254,S3=4489,S4=8810.根据结果猜测Sn的表达式,并用数学归纳法证明.解由S1=1-19,S2=1-215,S3=1-419,S4=1-811,猜想Sn=1-(2n1+1)2(n缀N+).证明如下:(1)当n=1时,S1=1-312=89,等式成立.(2)设当n=k(k≥1,k缀N)时,Sk=1-(2k1+1)2成立.∵an=(2n-1)82(n2n+1)2=(2n1-1)2-(2n1+1)2,∴Sk+1=Sk+ak+1=1-(2k1+1)2+(2k1+1)2-(2k1+3)2=1-[2(k+11)+1]2.由此可知,当n=k+1时,等式也成立.根据(1)、(2)可知,等式对任何n缀N+都… 相似文献
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李丽丽 《数理化学习(高中版)》2002,(19)
高中数学第二册上§6.2均值不等式定理:如果a、b是正数,那么a+b/2≥ab~(1/2)(当且仅当a=b时取“=”号),它有如下推广:如果a1,a2,…,an(n ∈N),n≥2)均为正数,那么(当且仅当a1=a2=…=an时取“=”号). 相似文献
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数学归纳法是一种重要的数学方法,运用数学归纳法证题的步骤是:(1)证明当n取第一个值n0(n0≥1)时,命题成立;(2)假设n=k(k∈N*且k≥n0)时命题成立,从而推出当n=k+1时,命题也成立.根据(1)、(2)可知,对一切n∈N*(n≥n0)命题成立.数学归纳法的第一步是验证命题的基础,第二步是论证命题的依据(传递性成立),两个步骤密切相关,缺一不可.需要注意的是:步骤(1)一般选取命题中最小的正整数n0作为起始值进行验证;步骤(2)推证当n=k+1时命题成立的前题,必须是当n=k时命题成立这个归纳假设,否则推理无效.作差法若命题中有关于n的连加式或数列的前n项和,则… 相似文献
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设{an}∞n=1是满足递推关系a1=1,an 1=a2n 2kan k2-k(n≥1)的数列.若k2 k 1为素数,当n是偶数时,当且仅当n=2时an是素数. 相似文献
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设a:,aZ,…,a.是不相等的正数,则成立著名的Cauchy不等式ln些吐l+ln旦丝生卫+ UU a。一 ._.,、一户之之、’二下1 11_~ Uak+1一(T a 兰_”7厄二一,,、幸乏lak户了、性la“’、‘’ak+2一a a+…+a。一口 a(6) 不等式(1)有很多证明,本短文借助于不等式化简得 lnak+zak+2‘”an任n一k(2)(ak,,+ak+:+…+an)一(n一k)a(7)(ak十z+ak+:+…+an)一(n一k)aV/但a一b_,a_a一b 了、咬In百久而『,此处a>b>0,给Cauchy不等式一个较简的证明。不等式(2)的证明是简单的。事实上, 1据拉格朗日中值定理ln“一Inb二万〔“一b),其中a>c>b>0.由此推得不等式(2).… 相似文献
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数列是高中数学的重点内容,它与数、式、函数、方程、不等式等有着密切的联系.求解数列问题往往涉及到重要的数学思想方法.为此,笔者结合多年的教学经验,对解决数列问题的常用方法作了一些探讨.一、数学归纳法数学归纳法比较典型地用于这两类题目中:1.确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的;2.确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的.因此它是解决数列问题的常用方法之一.例1已知数列｛an｝中,a1=-23,其前n项的和Sn满足an=Sn S1n (2n≥2),计算S1,S2,S3,S4.猜想Sn的表达式,并证明.解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=Sn S1n 2,Sn=-Sn-11 (2n≥2).求出S1,S2,S3,S4的值后,猜想Sn=-nn 21.证明(:1)当n=1时,S1=-23=a1,结论成立.(2)假设n=k时,猜想成立,即Sk=-kk 12成立.那么n=k 1时,Sk 1=-Sk1 2=--kk 112 2=-kk 23=((-kk 11)) 12.即n=k 1时,猜想成立.综合(1)(、2),可知猜想成立.点评:数学归纳法的重难点是处理好n=k 1时的情况.二、裂项相消法裂项相消法... 相似文献