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ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C对的边分别为a、b、c.如图1、求证:c~2=a~2 b~2 证明:以A为圆心、斜边AB长为半径作⊙A,并延长BC与⊙A交于D,延长AC的两端交⊙A于E、F,则BC=CD(垂径定理),又EC.CF=BC.CD(交弦定理)即(AE AC)(AF-AC)=BC.CD,即(c b)(c-b)=a~2故c~2=a~2 b~2.上述证法的关键是添了辅助圆,把直角和垂直于弦的直径联系起来,应用了圆的知识.因为直线形和圆的结合是平几的重大 相似文献
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证明在同一直线上的几条线段成比例,是学生感到头痛的事。他们找不到相似三角形,不知从何处下手,从何处着想。这时,教师应该引导学生梳理线段成比例的有关定理,通过例题教给学生证明这类问题的方法。下面是我总结的几种常用的证明方法,供同行们参考。一、代数递推法由于欲证的诸线段在同一直线上,故均可用“和”、“差”表示,并用代数法递推和线段代换导出结论。例1.如图,C为线段AB的中点,BCDE为正方形。以B为圆心BD为半径的半圆与AB及其延长线交于H、K,CE、BD交于O,DK交CE、BE于M、N。求证:AH·AK=2AC~2。证明:AH·AK=(AC-CH)(AC+CK) =AC~2+AC·CK-AC·CH-CH·CK =AC~2+AC(CK-CH)-CD~2 =AC~2+AC(2BC)-AC~2 =AC~2+2AC~2-AC~2 =2AC~2 相似文献
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直角三角形的一个充要条件黑龙江省绥化市北林区五中 王 航 定理 在△ABC中,CD平分∠C ,则∠C =90°的充要条件是1AD2 1BD2 =2CD2 .①证明:如图,作BE∥AC ,AF∥BC ,分别交CD的延长线于点E、F ,则有CDDE =ADDB =DFCD .若∠C =90°,则∠CBE =∠CAF =∠C =90°,∠BCE =∠ACF =45°,BC =BE ;AC =AF ,于是由DF =ADDB·CD知2AC2 =AC2 AF2 =CF2 =(CD ADDB·CD) 2 ,类似得 2BC2 =(CD DBAD·CD) 2 .以上两式相加,注意到AC2 BC2 =AB2 ,AD DB =AB ,即得2AB2 =CD2 ·AB2 ( 1AD2 1BD2 ) ,即… 相似文献
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如图一,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,则AD~2 BD·DC=AB·AC. 这就是平面几何中著名的斯库顿定理.它的证法简便. 证明:延长∠BAC的平分线AD交⊙ABC于E,连结BE.∴∠E=∠C,∠BAE=∠DAC,∵△ABE∽△ADCAB/AE=AD/AC,∴AD(AD DE)=AB·AC.即AD~2 AD·DE=AB·AC,由相交弦定理得AD·DE=BD·DC,∴AD~2 BD·DC=AB·AC. 相似文献
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本文给出圆中具有公共端点的三条弦及其夹角之间的一个数量关系,并举例说明其应用。 定理 若AB,AC,AD是⊙O的三条弦,∠BAC=α,∠CAD=β则AB·sinβ AD·sinα=AC·sin(α β) 证明 设⊙O的半径为R,连结BC,BD,CD,则由正弦定理,得:BC=2R·sinα,CD=2R·sinβ,BD=2R·sin(α β)。 相似文献
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刘运谊 《中学数学教学参考》1994,(3)
平面几何中最值问题的求解常常有一定的难度。笔者根据多年的教学实践,归纳出以下几种求法,仅供读者参考。 一、运用一元二次方程根的判别式 例1 三角形一内角为60°,此角所对的边为1,求其余两边之和的最大值。 解:如图1,设∠B=60°,AC=1,令BC=r,AB=BC=y,则AB=y。 由余弦定理得 AC~2=AB~2 BC~2-2AB·BC·cosB。 即1~2=(y-x)~2 x~2-2(y-x)x·cos60°。 化简整理得 相似文献
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圆中线段的比例式或等积式的证明，通常是应用平行线分线段成比例定理、射影定理、相似三角形的性质、相交弦定理及推论、切割线定理及推论来解决．例1已知，如图1，△ABC是圆O的内接三角形，圆O的直径BD交AC于E．AF⊥BD于F，延长AF交BC于G。求证：AB2＝BG·BC．（1993年北京市中考题）分析要证明AB2＝BG·BC，只须证这显然是要证明△ABG∽△CBA·由题意知BH是圆O的直径，且AF⊥BD，故连结AH可得∠1＝∠D．又∠D＝∠C，所以∠C＝∠1，并且∠ABG＝∠CBA是公共角．于是△ABG∽△CBA结论得进．（证明过程略）例2如图… 相似文献
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杜兴宇 《数学学习与研究(教研版)》2012,(15):112
1979年,首次全国中学数学竞赛二试的题六是:如图1,两圆O1,O2相交于点A,B,圆O1的弦BC交圆图1O2于点D,圆O2的弦BF交圆O1于点E,证明:(1)若∠CBA=∠FBA,则CD=EF;(2)若CD=EF,则∠CBA=∠FBA.证明连接AC,AD,AE,AF,则∠ACD=∠ACB=∠AEF,∠ADC=∠AFB=∠AFE,而有△ACD∽△AEF,从而有ACAE=CDEF,于是CD=EFAC=AE)AC=)AE∠CBA=∠FBA. 相似文献
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本文试图利用等圆的一个简单性质性质在等圆中,相等(或互补)的圆周角所对的弦相等, 给出某些几何题的又一种解题途径. 举例如下: 例1 已知△ABC中,AB=AC,BD=CE,DE交BC于M.求证DM=EM. 证明;设△BN和∠CW的外接圆半径分别为R_1,R_2,则 BD/sin∠1=2R_1.EC/sin∠2=2R_2. 相似文献
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定理 线段AB与CD垂直的充要条件是AC~2-AD~2=BC~2-BD~2. 证明 [1]必要性由勾股定理即可得出.下面证明充分性（图 1（1)),记∠AOC=α,∠AOD=β,应用余弦定理有 相似文献
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第 4 4届IMO第四题 :设ABCD是一个圆内接四边形 .从点D向直线BC、AC和AB作垂线 ,其垂足分别为P、Q和R .证明 :PQ =QR的充分必要条件是∠ABC的平分线、∠ADC的平分线和AC这三条直线相交于一点 .现证明该命题对任意凸四边形均成立 .图 1证明 :如图 1 ,连结QR、QP、AD、DC .因为DR⊥AR ,AQ⊥QD ,所以 ,A、R、D、Q四点共圆 ,且AD为该圆直径 .故QR =ADsin∠QDR =ADsin∠BAC .同理 ,QP =DCsin∠ACB .由△ABC及正弦定理有sin∠BACsin∠ACB=BCAB.所以 ,QRQP=ADsin∠BACDCsin∠ACB=AD·BCDC·AB.故QR =Q… 相似文献
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1996年全国初中数学联合竞赛第二试第2题为:“设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M,过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F,交BC的延长线于点O,P是以O为圆心OM为半径的圆上一点(位置如图所示),求证:∠OPF= 相似文献
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容易证明如下定理: 定理如图,D为△ABC的边BC(或其延长线)上任一点,则BD/DC=AB·sin∠BAD/AC·sin∠CAD。证明:在△ABD与△ACD中,分别由正弦定理,得BD/in∠BAD=AB/sin∠BDA ①DC/sin∠CAD=AC/sin∠CDA 又∠BDA ∠CDA=180°(或∠BDA=∠CDA)。∴sin∠BDA=sin∠CDA ① ②,即得 相似文献
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题目如图1,AB是⊙O的直径,过A、B引两条弦AD和BE,相交于点C. 求证:AC·AD+BC·BE=AB2 (1) 这是教材第38页中的例4,教材中已用割线定理给出了一种证法,还能给出其他的证法吗?对于此题能否作一些探究? 相似文献
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1992年上海市初中升学考试试卷中有如下一道题: 如图(图略),已知在圆内接四边形ABCD中,AD≠AB,∠DAB=90°,对角线AC平分∠DAB。(1)求证:DC=BC;(2)设AD=a,AB=b,求AC的长。对于第(1)小题,比较简便的证法是用圆周角的性质和等弧对等弦定理来进行证明。证法一:∵AC平分∠DAB, ∴∠DAC=∠BAC, ∴(?)=(?),∴DC=BC。比较多的学生运用圆周角性质和等腰三角 相似文献
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例在△ABC中,AB一AC一7cm,点尸是BC边上的一点,A尸一scm,求B尸.Cj〕的值. 解法l如图1.作A AD土BC于点D, 丫AB一AC,八D 土BC,…BD一CD. :。B尸·CP一(BD+PD)(BD一尸D)一BD”一尸DZ一(AB“一AD“)一(八尸2一ADZ)=ABZ一A尸”一7“一52一24(emZ). 解法2如图2.以A为圆心、AB为半径作OA,过点A、尸作直径入了N, 由相交弦定理,得 B尸。CP一尸八沙。尸N 一(A尸+A」沙)(AN一A尸) =(7+5)(7一5) =24( emZ).BD尸C 图1图2 利用圆的一些性质解题,往往会收到事半功倍的效果.其关键是对图形仔细的分析,沟通与圆的内在的联系,进… 相似文献