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在处理某些数学问题时,根据题目的结构特征构造出直角三角形,利用直角三角形的性质,常可使问题巧妙获解.本文仅根据解题实践中的积累,粗略地对此进行归纳试探,以做引玉之砖.1 利用锐角三角函数定义构造直角三角形例1 已知α、β、γ均为锐角,β<γ,tgα=sinβ·sinγcosβ-cosγ,求证:tgβ=sinα·sinγcosα+cosγ.图1证明 根据题设构造Rt△ABC,使AC=cosβ-cosγ,BC=sinβ·sinγ,∠A=α,如图1.∴AB=AC2+BC2=1-cosβ·cosγ.∵c… 相似文献
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运用构造策略解题举隅靖远县二中王云寿一、构造函数例1.已知:sin2α+sin2β+sin2γ=1,求证:解:由sin2α+sin2β+sin2γ=1得cos2α+cos2β+cos2γ=2。由此构造函数解:∵x∈R,故可构造函数二、构造对偶式或复数... 相似文献
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嵇仲韶 《宁波大学学报(教育科学版)》2000,22(3)
sinnA+sinnB+sinnC的下界就一般△ABC来说是0,而本文主要就非钝角三角形情况,来探讨幻sinnA+sinnB+sinnC的最小值问题. 当n=1或2的时候,易证所求的下界为2,本文着重于n≥3的情况. 设y=sinnx,则y’=nsinn-1xcosx,再求导得: y”= n(n-1)sinn-2 xcosx-nsinnx =nsinn-2x[(n-1)cos2x-sin2x]. 当 tgx≤ y”≥0,此时y=sinnx是凸函数,应用有关凸函数性质可知:(1)当arctg … 相似文献
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一个应用广泛的不等式 总被引:1,自引:1,他引:0
设x、y、z是任意实数,A+B+C=π,则x2+y2+z2≥2xycosC+2yzcosA+2zxcosB.(*)证 注意到A+B+C=π,将不等式(*)移项、配方、整理,该不等式等价于(x-ycosC-zcosB)2+(ysinC-zsinB)2≥0.上面不等式显然成立,故不等式(*)成立.不等式(*)揭示了任意三个实数x、y、z与满足条件A+B+C=π的三个角A、B、C的余弦值之间的一个重要关系.在解题中灵活地运用这个不等式,可使有些证明难度较大的不等式获得简洁、巧妙的证明.例1 在△ABC… 相似文献
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巧用等比性质,可使许多问题变得简单易解,下面举例说明之.例1 已知a-cb=ca+b=ba,求ba的值.解 ∵a-cb=ca+b=ba,∴ ba=a-c+c+bb+a+b+a=a+b2(a+b)=12.例2 已知ctgα=2,求ctgα+2+cosα2+sinα的值.解 ∵ctgα1=21=cosαsinα,∴ctgα+2+cosα1+1+sinα=2,即ctgα+2+cosα2+sinα=2.例3 求n3n-9n+27n5n-15n+45n的值.解 ∵3n5n=-9n-15n=27n45n=3… 相似文献
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第1套 (3月 )1.解方程3x -2|x -2|=3 3x+18-2|3x+18 -2|.2.解不等式log(21+4x-x2)(7-x)log(x+3)(21+4x-x2)< 14.3.在腰长CD=30的梯形ABCD中两对角线相交于点E ,∠AED=∠BCD.经过点C、D、E的半径为17的一圆和底边AD相交于点F ,并且和直线BF相切.试求梯形的高和它的底边.4.能不能选出这样的数A、B、φ、ψ,使得表达式[sin(x-π3)+2]2+Acos(x+φ)+Bsin(2x +ψ)对一切x都取同一个数值C ?如果能 ,常数… 相似文献
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直线与圆的位置关系有三种情形,若用圆心到直线的距离d和半径r间的大小关系来判断,则有d<r直线与圆相交;d=r直线与圆相切;d>r直线与圆相离.解题中我们如果能够抓住题目的结构特征,通过化归,创设直线与圆的位置关系的解题意境,常常能为某些数学问题的解决开辟一条新的途径.下面通过实例加以阐述.1 求值例1 已知α、β∈0,π2且cosα+cosβ-cos(α+β)=32,求α、β.解 cosα+cosβ-cos(α+β)=32展开整理,得sinαsinβ+(1-cosα)cosβ+cosα-… 相似文献
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三角函数的积化和差公式:sinαcosβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)];cosαsinβ=1/2[sin(α+β)-sin(α-β)];cosαcosβ=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)];sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)] 相似文献
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结论如图1,已知二面角M—AB—N为直二面角,AEM,BFN,且∠EAB=α,∠FBA=β,AB=a,0≤α、β≤90°,异面直线AE、BF所成的角为θ,距离为d,则(1)cosθ=cosα·cosβ;(2)d=a1+ctg2α+ctg2β.图1... 相似文献
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题如图(1),给出定点A(a,O)(a>O)和直线L:x=-1,B是直线L上的动点,∠BOA的角平分线交AB于C.求点C的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.解法1设B(-1,yB),则AB的方程为yyB=x-a-1-a.又kOA=0,kOB=-yB,tg∠BOC=tg∠COA,∴-yB-koc1+kOBkoc=koc.(1)设C坐标为(xc,yc),0<xc<a,则koc=ycxc,代入(1)有yB+ycxcyB·ycxc-1=ycxc.消去yB化简得(1+a)y2c+(1-a)x… 相似文献
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《中学数学教学参考》1998,(12)
倒数方程的一种解法命题1x=cosθ±isinθ是方程x+1x=2cosθ的解.代入计算即知,且由棣莫佛定理知命题2若x+1x=2cosθ,则xn+1xn=2cosnθ(n∈Z).由此即知形如a0(xm+1xm)+a1(xm-1+1xm-1)+…+a... 相似文献
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一、填空题 (本大题共有 12题 ,每题 4分 ,满分48分 ,只要求直接填写结果 ) .1.函数y=sinxcos x + π4+cosxsinx + π4的最小正周期T =.2 .若x =π3 是方程 2cos(x +α) =1的解 ,其中α∈ (0 ,2π) ,则α =.3 .在等差数列 an 中 ,a5=3 ,a6 =-2 ,则a4+a5+… +a1 0 =.4.(文 )已知定点A(0 ,1) ,点B在直线x+y=0上运动 ,当线段AB最短时 ,点B的坐标是 . (理 )在极坐标系中 ,定点A 1,π2 ,点B在直线 ρcosθ+ ρsinθ =0上运动 ,当线段AB最短时 ,点B的极坐标是 .5 .在正四棱锥P-ABCD中 ,若… 相似文献
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一、选择题 (本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共60分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1 已知集合M ={x| -1≤x≤ 1},N ={y|-1≤y≤ 1},则在下列图中 ,不是从集合M到集合N的映射的是 ( )2 设复数z =i(1_ 3i) ,那么argz等于( ) (A) 2π3 (B) 5π6 (C) 4π3 (D) π63 已知α是第三象限角 ,则下列等式中可能成立的是 ( ) (A)sinα +cosα=1.2 (B)sinα+cosα =-0 .9 (C)sinαcosα =3 (D)sinα+cosα =-1.24 已知正n棱台 (n∈N ,… 相似文献
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在解决三角形中有关三角函数的求值问题时,要注意角的范围与三角函数值的联系与影响,通过对内在条件的挖掘,使隐含的条件显露出来。现就一常见类型问题的求解讨论如下:在△ABC中,已知sinA=p,cosB=q,求cosC。显然0<p≤1,-1<q<1。 (一)当p=1时,知B+C=π2,∴cosC=sinB=1-q2; (二)当q=0时,知A+C=π2,∴cosC=sinA=p; (三)当-1<q<0时,知0<A<π2,π2<B<π,∴cosA=1-p2,sinB=1-q2,∴cosC=-q1-… 相似文献
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我们把三边边长成等差数列的三角形叫做等差三角形.它有一个重要的性质如下:定理 在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等差数列,则有tgA2tgC2=13.证明 由题意知 2b=a+c,由正弦定理得 2sinB=sinA+sinC,∴ 4sinA+C2cosA+C2=2sinA+C2cosA-C2.又∵ sinA+C2≠0,则有2cosA+C2=cosA-C2,即 2cosA2cosC2-2sinA2sinC2=cosA2cosC2+sinA2sinC2,∴ 3sinA2… 相似文献
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擂题(37)(张云华提供)证明或否定:在△ABC中,有sin2A(sin2B+sin2C)≤2cos2 。 本题收到颜玉勇(安徽无为中学数学组,邮编238300)提供的解答。解答中利用了一个精巧而又普通的变换a=x+y、b=y+z、c=z+x和三角形 相似文献