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1.
求复数1+cosθ+isinθ(0<θ<π/2)的辐角主值的习题,很多同学见到这样的题,只能用三角公式去“凑”,若将符号进行一些变化,用这种方法不但很费时,而且也容易出错。下面介绍一种简便的方法,供参考。求复数Z=1+cosθ+isinθ(0<θ相似文献
2.
复数具有代数形式、三角形式、指数形式等多种表述方式,所蕴含的实际意义是以新的视角、新的途径沟通了代数、三角和几何等内容之间的联系,由此,该知识点是高校自主招生考试(也是高考与数学竞赛)的一个重要内容.
1复数知识
1.1 复数的表示形式与运算
代数形式:z=a+bi(a、b∈R);
三角形式:
z=r(cosθ+i sinθ)(r≥0,θ∈R);
指数形式:z=reiθ(r≥0,θ∈R).
例1 设复数
ω1=-1/2+√3/2i,
ω2 =cos2π/5+isin2π/5.
令ω=ω1ω2.则复数
ω+ω2+…+ω2011=(______).
(2011,复旦大学自主招生考试)
解 显然,ω1=e 2πi/3,ω2 =e2πi/5.
则ω=ω1ω2=e16πi/15.
故ω+ω2+…+ω2011=ω(1-ω2011)/1-ω
而ω2011=ω2010·ω=ω,于是,
ω+ω2+…+ω2011 =ω. 相似文献
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邓光发 《河北理科教学研究》2001,(4):14-15,21
本文以实例来说明求复数辐角主值最值的四种常用方法,供读者参考. 1 三角法 先利用复数的三角式z=r(cosθ+isinθ)(r＞0,0≤θ＜2π)及其它,把复数模化成三角函数形式或把复数转化成构造相关三角函数,再用三角知识推理、计算出所求辐角主值的最值.三角法的实质是把复数问题化成三角问题求解. 相似文献
5.
朱同富 《连云港师范高等专科学校学报》1997,(1)
复数的三角形式,在高中数学复数一章中,占有重要位置。正确的掌握复数三角形式的特点以及复数的代数形式化成复数三角形式,既是教学中的重点,也是教学中的难点。 复数的三角形式,依据是复数的几何意义和三角函数的定义,是“形”“数”结合的产物。正确的将复数的代数形式表示成三角形式,关键是求复数的辐角主值。 一、复数三角形式中辐角主值的求法。 教材中,对复数的一般代数形式转化为三角形式辐角主值的求法。采用sinθ=b/r,cosθ=a/r共同确定。每个正弦值或余弦值对应的角度都可能落在两个象限内,同时满足sinθ=b/r和cosθ=a/r且在0～2π范围内的角度,才是辐角主值θ。使用这种方法,三角知识掌握不透彻的学生,是很难求出辐角主值θ的。下文,紧扣辐角主值定义,充分利用复平面与三角函数知识,给出一个求复数辐角主值的方法。 相似文献
6.
用复数知识求某些特殊三角级数前 n 项和及三角连乘积通常有四种方法:(1)三角——复数公式法;(2)辅助复数 u+iv 法;(3)韦达定理法;(4)分解因式法。一、三角——复数公式法我们知道,设 z=cosθ+isinθ=e~(iθ), 相似文献
7.
统编教材中有棣莫佛定理:设复数z=r(cosθ+isinθ),n∈N,则 z~n=r~n(cosnθ+isinnθ) (1) 利用复数的指数形式可以证明下列等式(证明从略): [r(cosθ+isinθ)]~(-n)=1/r~n[cos(-nθ)+1sin(-nθ)] (2) [r(cosθ-isinθ)]~n=r~n(cos nθ-isinnθ) (3) 下面分五方面举例说明(1)、(2)、(3)的应用。限于篇幅,仅各举一、二例。 (一) 求解复数的乘方。 相似文献
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复数的三角式r(cosθ+isinθ)是用一对有序实数r、θ确定复数Z及其在复平面上的对应点(r≥0,0≤θ<2π).在平面极坐标系中,也是用一对有序实数p、θ(p≥0,0≤θ<2π)来确定点的位置,而且化成直角坐标后x=p·cosθ,y=p·sinθ恰与复数的实部、虚部的系数类同.于是,有些复数问题,在某种条件下,应用极坐标法解更为简 相似文献
9.
<正> 根据复数的三角形式及其相关性质,对一类正、余弦同时对称出现的三角条件式,通过z=cosθ+isinθ代换并借助复数中的相关性质,可避开繁杂的三角公式,使问题由繁变简且解题过程清晰.现举例如下: 相似文献
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柳毓 《数理化学习(高中版)》2006,(20)
对于形如y=asinx+bcosx的三角式,可变形如下:y=asinx+bcosx=a2+b2(sinx·a22+cosx·b a2+b2).由于上式中的aa2+b2与ba2+b2的平方和为1,故可记aa2+b2=cosθ,ba2+b2=sinθ,则y=a2+b2(sinxcosθ+cosxsinθ)=a2+b2sin(x+θ).由此我们得到结论:asinx+bcosx=a2+b2sin(x+θ),()其中θ由aa2+b2=cosθ,ba2+b2=sinθ来确定.通常称式子()为辅助角公式.它可以将多个三角式的函数问题,最终化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式.下面结合近年高考三角题,就辅助角公式的应用,举例分类简析.一、求周期例1(2006年上海卷选)求函数y=2cos(x+π4)cos(x-π4)+3sin2x的最小… 相似文献
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“数学教学通讯”1982年第1期的“关于复数题的分类”一文中,有这样一个例题: “已知x+1/x=1,求x~(14)+1/(x~(14))~n此题可以看成是下面问题的特例:(θ=π/3n=14) “已知,x+1/x=2cosθ.求x~n+(1/x~n)~n一般的解法是由已知条件求出x=cosθ±isinθ, 相似文献
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公式“sin2α+cos2α=1”是高中三角函数问题中一个十分重要的公式,它是同角三角函数基本关系式之一,具有十分广泛的应用.在解决三角问题时,如能活用该公式,充分挖掘其潜在功能,往往可以推陈出新,给人以耳目一新的感觉.一、三角函数式的化简例1化简1-sin6α-cos6αsin2α-sin4α.解1-sin6α-cos6αsin2α-sin4α=1sin2αcos2α-sin2α+cos2αsin2αcos2α×(sin2α+cos2α)2-3sin2αcos2αsin2αcos2α=1-(1-3sin2αcos2α)sin2αcos2α=3.二、用公式求值例2已知sinθ+cosθ=15,θ(0,π),则cotθ=_____.解∵sin2θ+cos2θ=1,∴(sinθ+cos… 相似文献
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文 [1]中的例 1是 :若 sin4θa + cos4θb =1a+ b(a,b为正数 ) .求证 :sin8θa3 + cos8θb3 =1(a+ b) 3 .该例是文 [2 ]例 4的特例 :设 sin4xa + cos4xb =1a+ b,a>0 ,b>0 .证明 :对任何正整数 n都有 sin2 nxan-1 + cos2 nxbn-1 =1(a+ b) n-1 .文 [2 ]用了丢番图恒等式来证明 ,并认为若用三角式的恒等变形 ,则过程复杂 ,运算冗繁 .实际上 ,如果发现了条件与结论中的某种对称性 ,用数形结合的思想和方法来思考 ,揭示这个三角恒等式的几何背景 ,简便易行 ,过程简明 ,体现了数学的和谐美与简洁之美 .设椭圆 (或圆 )的方程为(a+ b)· X2b + (a+ … 相似文献
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复数的幅角、模是复数知识中两个最基本的概念、其重要性是显而易见的,然而,深刻理解并正确熟练地使用它们。并不容易,例如,学生因常见书中复数的三角式为Z=r(cosθ+isinθ)而形成“思维定势”,一遇到这类式子 相似文献
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在中学,复数 z 有三种表示形式:代数形式(z=α bi,其中,α,b∈R),三角形式(z=r(cosθ isinθ),其=中 r>0)与几何表示(复数 z=α bi 与复平面内的点Z(a,b)或向量■一一对应),因此,在解决复数问题时,就可以利用复数的代数表示、三角表示或几何表示中的一种加以解决.在某些问题中,把复数 z 看作一个整体加以处理,也是一种思路.总之,在解决复数问题时,有上述四种解题思路,其中前三种是常用的.问题的关键之一是恰当的选择复数 z 的某种表示,从而可以优化解题过程.下面举几个例子说明. 相似文献
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《高中数学竞赛培训教材》[1](高一)P107,第6题:“已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos2θ=95,则sinθcosθ的值是().A.±!32B.!32C.-!32D.±13”.作为选择题,作者的本意是不用计算的:∵θ是第三象限角,∴sinθcosθ>0,排除A、C、D,选B.但一些同学计算的结果是23,这是怎么回事呢?方法一:由sin4θ+cos2θ=95,得:sin2θ(1-cos2θ)+cos2θ=95,∴sin2θ+cos2θ-sin2θcos2θ=59,∴sin2θcos2θ=94,∴sinθcosθ=±32,∵θ是第三象限角,∴sinθcosθ=32.看来同学们做对了(命题人也希望这样做).再看下面的解法:方法二:由sin4θ+cos2θ=95,∴sin4… 相似文献
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(本讲适合高中) 由于复数与平面上的点存在着一一对应关系,所以许多平面几何问题,特别是涉及规则图形(如正多边形、等腰直角三角形、矩形、圆等)的几何问题,都可以通过建立坐标系,利用复数方法求解。笔者近年来一直研究这方面的问题,发现一点规律,现总结如下。 文中涉及的一些复数的基本知识: (1)复数的三种表示法:代数式z=a bi;三角式z=r(cosθ isinθ);指数式z=re~(iθ)。 (2)Rez表示复数z的实部;Imz表示复数z的虚部. 相似文献
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正笔者在研究过程中发现很多问题都是围绕x2+y2=1和x2+y2=2(其中x,y∈Q)的结构来命制的,本文根据如下的两个三角恒等式,给出此类结构的一个经典构造.我们先来熟悉下两个三角恒等式:恒等式1:sin2θ+cos2θ=1;恒等式2:(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2;根据这两个三角恒等式,结合勾股数,我们很容易得出下面的两个恒等式. 相似文献
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一、求角的范围例1若sinθ cosθ >0,则θ在()A.第一、二象限B.第一、三象限C.第一、四象限D.第二、四象限解∵sinθcosθ>0,∴sinθcosθsin2θ+cos2θ>0,∴tanθtan2θ+1>0,∴tanθ >0.选B.二、求值例2已知tan(π4+α)=2,求12sinαcosα+cos2α的值.解∵tan(α +π 4)=2,∴1+tanα1-tanα =2,tanα=1 3.∴ 12sinα cosα +cos2α=sin2α +cos2α2sinα cosα +cos2α=tan2α +12tanα +1=2 3.例3已知6sin2α+sinαcosα-2cos2α=0,α 缀[π2,π],求sin(2α+π3)的值.解显然cosα≠0,∴原条件可化为6tan2α+tanα-2=0,解得tanα=-2… 相似文献
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有一著名的三角习题:求和(1)sinα+sin2α+…+sinnα;(2)cosα+cos2α+…+cosnα.散见于各书刊对此题的解法有复数法与积化和差后逐项相消的方法.下面给出一种新的解法. 相似文献