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1.
于志洪 《山西教育(综合版)》2004,(8):25-25
当题目中的未知数具有对称关系时,应用基本对称式x+y=a,xy=b进行代换,可使解题过程简化。现以部分试题为例,介绍这种解题技巧在分式求值中的妙用。例1若x-1x=1,则x3-1x3=的值为()(A)3(B)4(C)5(D)6解:设1x=y,则x-y=1,xy=1。故x3-1x3=x3-y3=(x-y)3+3xy(x-y)=13+3×1=4。故选(B)。例2若x2-5x+1=0,则x3+1x3=解:显然由x2-5x+1=0可知:x≠0,故在等式两边同除以x,得x+1x=5,故设1x=y,则有x+y=5,xy=1。所以:x3+1x3=x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)=53-3×1×5=110。例3已知ax+a-x=2,那么a2x+a-2x的值是()(A)4(B)3(C)2(D)6解:由题设可设,ax=m,a-x=n,则有m+n=… 相似文献
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同学们在学习分式的时候,经常会遇到有关多元的求值问题,解答时,可以利用消元的方法,化难为易.一、取值消元法例1已知abc=1,那么aab+a+1+bbc+b+1+cca+c+1=.解:不失一般性,取a=1,b=1,c=1,则原式=13+13+13=1. 二、主元消元法例2已知4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0,则5x2+2y2-z22x2-3y2-10z2等于(A)-12 (B)-192 (C)-15(D)-13 解:以x、y为主元,那么4x-3y=6z,x+2y=7z .∴x=3z,y=2z.∴原式=5×9z2+2×4z2-z22×9z2-3×4z2-10z2=-13.选D. 三、比值消元法例3已知x2=y3=z4,则x2-2y2+3z2xy+2yz+3zx的值是.解:设x2=y3=z4=k,得x=2k,y=3k,z=4k… 相似文献
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一、整体换元法例1计算20+142√3√+20-142√3√.解:设20+142√3√+20-142√3√=x,两边立方,得20+142√+20-142√+3202-(142√)3√2(20+142√3√+20-142√√)=x3,∴x3-6x-40=0,∴(x-4)(x2+4x+10)=0.∵x2+4x+10=(x+2)2+6>0,∴x-4=0,∴x=4.故20+142√3√+20-142√3√=4.二、局部换元法例2解方程5x2+x-x5x2-1√-2=0.解:设y=5x2-1√,则原方程可化为y2+x-xy-1=0,∴(y-1)(y-x+1)=0,解得y=1或y=x-1.当y=1时,5x2-1√=1,解得x1,2=±10√5;当y=x-1时,5x2-1√=x-1,解得x3=12,x4=-1,经检验,x3=12,x4=-1是增根.故原方程的根是x1,2=±10√5.三、常值换元法… 相似文献
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《河北自学考试》2003,(8):46-48
第一部分非选择题一、单项选择题(本大题共40小题,每小题1分,共40分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母填在题干后的括号内。1.设M=狖x｜x2-x-6>0狚,R=狖x｜x-1≤0狚,则M∩R犤犦A.狖x｜x>3狚B.狖x｜x<-2狚C.狖x｜-2相似文献
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例1 有甲、乙、丙三种商品,某人若购买甲种商品3件,乙种商品7件,丙种商品1件共需24元;若购买甲种商品4件,乙种商品10件,丙种商品1件共需33元;则此人购买甲、乙、丙各一件共需多少元?解:设每件甲种商品为x元,每件乙种商品y元,每件丙种商品z元.根据题意,得3x+7y+z=24 14x+10y+z=33 2解得x=9-3yz=2y-3,∴x+y+z=(9-3y)+y+(2y-3)=6(元)答:此人购买甲、乙、丙商品各一件共需6元.例2 甲、乙、丙三名学生一共解出100道题,但每个人都只解出了其中60道题,将其中只有一个人解出的题叫做难题;将三个人都解出的题叫做容易题;求证:难题刚好比容易题多2… 相似文献
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《中学生数理化》2003,(Z4)
1.设此黄金矩形的长为二m,宽为ym.护=y(二+y),x十y=6.解得二=3斌歹一3,y=9一3、店几 即当把矩形的长设计为(3‘认5~.一3)m时,将成为黄金矩形,此时长方形面积s=xy=(3甲了一3)(9一3勺污ee)=36(、人歹一2),可获得的设计费为:36(勺佗「一2)x1000~8498(元).2.设压艺云的长为xcm,则4. 40x一40300一(二一40)一20 (x一40)+20即xZ一Zoox+9600=0,解得二,=120,x:=当二:二80时,两球等速,不合题意,舍去.故z石亚了的长为120 cm·(x802003年5、6月号“数学创新月月练”参考答案… 相似文献
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《时代数学学习》2005,(11)
【A卷】1.C.2.D.3.C.4.D.5.A.6.5.7.0.8.2.9.-13.10.(18+x),调动后B班人数是A班人数的2倍,2(30-x)=18+x.11.3a2b-4ab2.12.-10y2-10xy.13.x=41.14.x=-23.15.-x2-1,-45.16.-2xyz,12.17.y=12.18.40.19.(1)y=12x(元);z=5x(元);(2)1680(元).【提示】假设一名工人一个月(按22个工作日计)能为这个工厂生产x个该种零件,那么他能为这个工厂创造的利润为W=12x-5x-800-600=7x-1400.根据题意,这里x=20×22=440,所以W=7x-1400=7×440-1400=1680(元).20.略(只要所填条件和解答正确就符合要求).【B卷】1.C.2.C.3.D.4.C.5.D.6.16.7.6yz-9zx.8.-2.9.5.… 相似文献
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罗导江 《中学数学研究(江西师大)》2020,(1):55-56
文[1]指出:在中学阶段,求多元函数值域有两个方法,一是转化为一元函数求值域,如z(x,y)=x^2+2y^2/xy=x/y+2·y/x,令x/y=t(令y/y=t也一样),则z(x,y)=φ(t)=t+2/t,求φ(t)=t+2/t值域即可;二是将其中一个元作为自变量,其余元作常量,逐步求一元含参函数的值域,最后求一元函数值域,如z(x,y)=x^2-2xy+2y^2-2y+3,令z(x,y)=φ(x)=x^2-2xy+2y^2-2y+3=(x-y)2+y^2-2y+3,则φ(x)min=φ(y)=y^2-2y+3,又令φ(y)=y^2-2y+3,则φ(y)min=φ(1)=2,即z(x,y)min=z(1,1)=2. 相似文献
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例1某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉6吨,每吨面粉的价格为1800元,面粉的保管费等其他费用为平均每吨每天3元,购面粉每次支付运费900元.(1)该厂每隔多少天购买一次面粉,才能使每天支付的总费用最少?(2)若提供面粉的公司规定:当一次购买面粉不少于210吨时,其价格可享受9折优惠(即原价的90%).该厂是否考虑利用此优惠条件?请说明理由.解析(1)设该厂应每隔x天购买一次面粉,其购买量为6x吨,则面粉的保管费等其他费用为:3×6x+6(x-1)+6(x-2)+…+6×2+6×1-6x×3=9x2-9x.设平均每天所支付的总费用为y1元,则y1=1x(9x2-9x+900)+6×1800=900… 相似文献
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姜继学 《数理化学习(初中版)》2006,(7)
最值问题,也就是最大值和最小值问题.它是初中数学竞赛中的常见问题.这类问题出现的试题,内容丰富,知识点多,涉及面广,解法灵活多样,而且具有一定的难度.本文以例介绍一些常见的求解方法,供读者参考.一、配方法例1(2005年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛)2x2+4xy+5y2-4x+2y-5可取得的最小值为.解:原式=(x+2y)2+(x-2)2+(y+1)2·27·-10.由此可知,当x=2,y=-1时,有最小值-10.二、设参数法例2(《中等数学》奥林匹克训练题)已知实数x、y满足x3+y3=2.则x+y的最大值为.解:设x+y=k,易知k>0.由x3+y3=2,得(x+y)(x2-xy+y2)=2.从而,xy=13(k2-k2).由… 相似文献
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一、构造方程例1已知a,b缀R,且a3+b3=2,求a+b的最大值.解设a+b=t,则a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=t(t2-3ab)=2,即ab=t3-23t,所以a,b是方程x2-tx+t3-23t=0的两实根.故驻=t2-4×t3-23t≥0.解得0相似文献
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<正>类似"实数x,y满足Ax~2+Bxy+Cy~2=D(D≠0),求S=ux~2+vxy+wy~2的取值范围"的问题在各类高中数学竞赛中经常出现.本文根据x,y的齐次特点,通过换元,把这类问题统一转化为求一元分式函数f(t)=(u+vt+wt~2)/(A+Bt+Ct~2)的值域问题.这种解法体现了消元和转化的思想,供大家参考.例1(1993年全国高中数学联赛试题)实数x,y满足4x~2-5xy+4y~2=5,设S=x~2+ 相似文献
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1 赛题与"源" 赛题 (2005年全国高中数学联赛加试题第二题)设正数a,b,c,x,y,z满足cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c,求函数f(x,y,z)=x2/(1+x)+y2/(1+y)+z2/(1+z)的最小值. 相似文献
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王信江 《数理化学习(初中版)》2006,(6)
大家都知道,判别式主要应用于判断一元二次方程根的情况,这类问题比较简单,下面介绍判别式其他方面的一些应用·一、求条件最值问题例1已知实数x,y满足x2-12y=0,求x-3y的最值·分析:运用设“k”法消去y,即可整理成x的一元二次方程·解:设x-3y=k,则y=x3-k,代入x2-12y=0,化简得x2-4x+4k=0,所以Δ=(-4)2-4×1×4k≥0,所以k≤1,所以x-3y有最大值为1,无最小值·例2已知实数x,y满足条件x2+xy+y2=1,求x2+y2的最值·解:设x2+y2=k,则x2+ky2=1,代入x2+xy+y2=1=x2+ky2,化简得(1-1k)x2+xy+(1-1k)y2=0·整理为yx的一元二次方程为(1-1k)(xy)2+(xy)+(1-1k)=… 相似文献
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<正>高考试题凝结了众多高考专家智慧的结晶,体现了高考命题理念.对一些高考典型试题深入探究、拓展,有助于发挥高考试题的导向和辐射作用,提高复习效率.题目(2012山东高考题)设函数f(x)=1x,g(x)=-x2+bx.若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是 相似文献
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刘永春 《数学大世界(高中辅导)》2006,(6)
【例1】已知f(2 -cosx)=5 -sin2x,求f(x)·提示:设所求函数y=f(x)的参数表达式为x=2 -cost ,y=5 -sin2t·cost=2 -x,①sin2t=5 -y· ②①2+②,消去参数t ,得y=x2-4x+8,即f(x)=x2-4x+8x∈[1,3]·评注:设的恰当巧妙,解的合理漂亮·【例2】已知二次函数满足条件f(1 +x)=f(1 -x) ,且ymax=15,又f(x)=0的两根立方和等于17·求f(x)的解析式·解:设f(x)=a(x-1)2+15(a<0) ,即f(x)=ax2-2ax+a+15·∵x1+x2=2,x1x2=1 +1a5·∴x13+x23=(x1+x2)3-3(x1+x2)x1x2=2 -9a0,故2 -9a0=17,得a=-6·于是f(x)=-6x2+12x+9·评注:设置目标明确,过程自然流畅·【例3】设… 相似文献
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在数学竞赛中,有些复杂的或具有某种特殊结构的方程用常规方法求解较繁难,但运用增元法可达到化繁为简,快速求解的目的.本文略举几例予以说明.1解整式方程例1解方程x=(x2+3x-2)2+3(x2+3x-2)-2.(1996年四川省初中数学竞赛试题)分析若去括号,会得到一元四次方程,对初中学生来说求解实非容易,故不可取.若注意到括号内整体特征,设y=x2+3x-2,从而将一元方程转化为二元二次方程组,易解.解设y=x2+3x-2,则有x=y2+3y-2,(1)y=x2+3x-2.(2)(1)-(2)得(x-y)(x+y+4)=0.当x=y时,由(2)解得x1,2=-1±3;当x+y+4=0时,将y=-(x+4)代入(2),解得x3,4=-2±2.2解分式方… 相似文献
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一、换元的思想方法
换元法的基本思路是通过设辅助未知数,使复杂的问题转化为简单的、已知的问题.如解可化为一元二次方程的分式方程.
例1 用换元法解方程(x+2/x)2-(x+2/x)=1,设y=x+2/x,则原方程可化为().
A.y2-y-1 =0 B.y2 +y+1 =0
C.y2 +y-1 =0 D.y2-y+1 =0
分析:若把原方程展开再解,项数增加、次数增高,解答起来会很复杂,设y=x+2/x,通过换元将原方程化为整式方程y2-y-1=0再解,方便多了.故选A. 相似文献
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在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,设x1,x2是它的两个根,则它的根与系数满足:x1+x2=-ba,x1·x2=ca.这两个表达式看起来简单,巧妙地利用它们,可以解答不少的数学竞赛题.一、求值例1设2x2-2x+k=0,2y2-2y+k=0,且x-y=2,那么k=.(2000年河南省初三数学竞赛题)解:由题意知x,y是方程2t2-2t+k=0的根.由根与系数的关系和已知得x+y=1,xy=k2,x-y=2 ∴k=-32.例2若关于x的方程(x+a)(x+b)=M的两根是α、β,则关于x的方程(x+α)(x+β)=-M的两根的平方和为.(2002年河南省初三数学竞赛试题)解:方程(x+a)(x+b)=M可化为x2+(a+b)x+ab-M=0.由根与系数的关… 相似文献