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题目设ａ，ｂ，ｃ为正数且ａｂｋｃ＝ｌ，求证１／ａ＾３（ｂ＋ｃ）＋１／ｂ＾３（ｃ＋ａ）＋１／ｃ＾３（ａ＋ｂ）≥３／２．（第３６届ＩＭＯ试题）本题是一道非常难得的好题．它的九种证法，充分展现了对称不等式的内在魅力，值得探究． 相似文献
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引导学生开展“一题多解，一题多证”的训练和探究，必将有助于激发学生学习数学的兴趣和热情，启迪他们的创新思维，培养数学综合能力，进而提高他们的数学素质． 本文以一道脍炙人口的条件不等式赛题为例，从九个方面研究其证明的策略和技巧． 题（前苏联奥尔德荣尼基市第三届数学竞赛题）设 ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋，且 ａ＋ｂ＋ｃ＝１，求证；ａ２＋ｂ２＋ｃ２≥１／３１ 代入法 证１ 注意恒等式 ３（ａ２十ｂ２十ｃ２）＝（ａ＋ｂ＋ｃ）２＋（ａ－ｂ）２十（ｂ ｃ）’＋（ｃ ａ）’将已知ａ＋ｂ＋ｃ二ｌ代人得 ３（ａ’＋ｂ‘＋ｃ’）二１：… 相似文献
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一道课本习题的引伸与一道名题的妙证张贝斌（甘肃省金昌市一中７３７１００）题设ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋,求证：ａｂｃ（ａ＋ｂ＋ｃ＋ａ２＋ｂ２＋ｃ２）（ａ２＋ｂ２＋ｃ２）（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）≤３＋３９．（１）这是加拿大一家中等数学杂志１９８７年刊出的一道习题．原... 相似文献
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文［１］给出了下一结论 引理 设ａｉ＞０,ｐｉ＞０,ｉ＝１,２,…,ｎ,ａ∈Ｒ, 杭州大学数学系所编《中学数学习题》上有这样两题： 第二届“友谊杯”数学邀请赛有这样一道试题; （３）设 ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋,求证： 即若 ａ、ｂ、ｃ∈ＲＡ＋,且 ａ＋ｂ＋ｃ＝１,则 对此我们容易产生联想,本文将对此作出下面的系列推广。 命题１ 若ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋,且ａ＋ｂ＋ｃ＝１,则 证明（１）当ｎ＝０,１时．由上述不等式知本命题真。 （２）当ｎ≥２时,由柯西不等式知：（Ⅰ）若ｎ＝２,则 本命题为真。 （Ⅱ）若ｎ＞３,由前面引理知… 相似文献
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题设ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋,求证ａｂｃ（ａ＋ｂ＋ｃ＋ａ２＋ｂ２＋ｃ２）（ａ２＋ｂ２＋ｃ２）（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）≤３＋３９．这是加拿大一家中等数学杂志１９８７年刊出的一道习题．原文给出的证明非常繁．本刊１９９８年第４期《一道课本习题的引伸与一道名题的妙证》一... 相似文献
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课本上一道习题的一般形式金昌市一中张斌贝高中《代数》（必修）下册习题十五第１９题（２）是：已知：ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋，求证：（ａ＋ｂ＋ｃ＋）（ａ２＋ｂ２＋ｃ２）≥９ａｂｃ。此题启发我们思考下列命题。命题１．若ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈Ｒ＋，则（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）（ａ... 相似文献
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高中《代数》中几个求证题的归纳推广临洮中学谢立亚高中课本《代数》下册中有如下求证题：１．已知ａ，ｂ∈Ｒ＋，并且ａ≠ｂ，求证ａ５＋ｂ５＞ａ３ｂ２＋ａ２ｂ３；（第７页例２）２．已知ａ，ｂ∈Ｒ＋，并且ａ≠ｂ，求证ａ４＋ｂ４＞ａ３ｂ＋ａｂ３；（第７页练习题３... 相似文献
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一试一、选择题（满分３６分,每小题６分）１．设ａ＝１０１９９８＋１１０１９９９＋１,ｂ＝１０１９９９＋１１０２０００＋１,ｃ＝１０２０００＋１１０２００１＋１,则ａ、ｂ、ｃ的大小关系是（）．Ａ．ａ＞ｂ＞ｃＢ．ｂ＞ｃ＞ａＣ．ａ＞ｃ＞ｂＤ．ｃ＞ｂ＞ａ２．... 相似文献
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对课本上一道习题的修正甘肃省商业学校唐文玲高中《代数》（必修）下册复习参考题六第７题为：已知ａ，ｂ，ｃ，ｄ成等比数列，求证：（１）ａ＋ｂ，ｂ＋ｃ，ｃ＋ｄ成等比数列；（２）（ａ－ｂ）２＝（ｂ－ｃ）２＋（ｃ－ａ）２＋（ｄ－ｂ）２．结论（１）是不对的，因为... 相似文献
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不等式ａ２＋ｂ２≥２ａｂ是我们最熟悉的基本不等式，它有许多变式：（１）ａ２＋ｂ２≥１２（ａ＋ｂ）２；（２）（ａ＋ｂ）２≥４ａｂ；（３）１ａ＋１ｂ≥４ａ＋ｂ（ａ＞０，ｂ＞０）；（４）ａｂ＋ｂａ≥２（ａｂ＞０）；（５）ａ２ｂ≥２ａ－ｂ（ａ≥０，ｂ＞０）；（６）ａ３ｂ≥２ａ２－ａｂ≥３２ａ２－１２ｂ２（ａ≥０，ｂ＞０）．以上６个不等式当且仅当ａ＝ｂ时取等号．这６个变式的证明都较简单，下面通过举例仅介绍变式（５）、（６）的应用．例１ 已知ａ＞１，ｂ＞１，ｃ＞１，求证：ａ２ｂ－１＋ｂ２ｃ－１＋ｃ２ａ－１≥… 相似文献
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四线段构成四边形的条件□魏韶（河南省滑县第二中学４５６４６３）□周秀平（河南午阳县午泉镇中学４６２４００）众所周知，对于给定的三条线段ａ、ｂ、ｃ，它们首尾相接可以构成一个三角形的条件是ａ＜ｂ＋ｃ，ｂ＜ｃ＋ａ，ｃ＜ａ＋ｂ．（１）这是三角形两边之和大于第... 相似文献
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性质１若｛ａｎ｝成等差数列,公差为ｄ,则｛ｋａｎ＋ｂ｝也成等差数列,公差为ｋｂ．（其中ｋ≠０,ｋ,ｂ是实常数）例１已知ａ２,ｂ２,ｃ２成等差数列,求证１ｂ＋ｃ,１ｃ＋ａ,１ａ＋ｂ亦为等差数列．（高中代数〈必修〉下册１２８页题６）证明：由已知,ａ２,ｂ２,ｃ２成等差数列,由性质１,ａ２＋ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ,ｂ２＋ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ,ｃ２＋ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ成等差数列,即（ａ＋ｂ）（ｃ＋ａ）,（ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ）,（ｃ＋ａ）（ｂ＋ｃ）成等差数列．又有（ａ＋ｂ）（ｃ＋ａ）（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ）,（… 相似文献
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与最值相关问题的解法(下) 总被引：1，自引：0，他引：1
王扬 《中学数学教学参考》1999,(12)
一、内容概述这是上期的继续,并给出解决此类问题的另外一些方法,如数形结合法、解析法、复数法、不等式法、待定系数法等．二、基础知识１．基本不等式：ａ２＋ｂ２≥２ａｂ,ａ３＋ｂ３＋ｃ３≥３ａｂｃ．（ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋）２．三角形边长之关系：ａ＋ｂ＞ｃ（ａ,ｂ,ｃ为三角形三边之长）３．复数模的不等式：｜ｚ１｜＋｜ｚ２｜＋｜ｚ３｜≥｜ｚ１＋ｚ２＋ｚ３｜．等号成立的条件是ｚ１＝λ１ｚ２＝λ２ｚ３（λ１λ２＞０,λ１,λ２∈Ｒ）４．费尔马点的性质．（见例１０）三、综合应用（六）数形结合法关于数式问题,若能构造… 相似文献
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纵观１９９７年全国各省市的中考试卷,关于因式分解的试题大致可分为如下３类：１．直接应用四种基本方法分解因式（１）分解因式：ｍａ＋ｂｍ＋ｍｃ＝．（广东）此题直接应用提公因式法分解因式．原式＝ｍ（ａ＋ｂ＋ｃ）．（２）分解因式：１６ａ２－９ｂ２＝．此题直接应用公式法分解因式．（天津）原式＝（４ａ＋３ｂ）（４ａ－３ｂ）．（３）分解因式：ｘ２＋２ｘ－１５＝．（河北）此题直接应用十字相乘法分解因式．原式＝（ｘ＋５）（ｘ－３）．此题也可用配方法分解因式．（４）用十字相乘法分解因式：５ｘ２＋６ｘｙ－８ｙ２＝．（… 相似文献
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１ 问题提出《数学通报》１９９５年第８期问题９６９题：已知ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋,且ａ＋ｂ＋ｃ＝１,求证：３－３＜１－３ａ２＋１－３ｂ２＋１－３ｃ２≤６．已见多文对这类问题上界不等式的解法进行探讨〔１〕～〔４〕,但对其下界却少有研究．我们自然要问：其下界的求解方法可否优化？为便于说明,不妨摘抄原文如下：图１对于函数ｙ＝１－３ｘ２,它的图像是椭圆３ｘ２＋ｙ２＝１（ｘ＞０,ｙ≥０）在第一象限的部分,是凸的．过Ａ（０,１）、Ｂ３３,０的直线方程为ｙ＝１－３ｘ．对于０＜ｘ≤３３,有１－３ｘ２＞１－３ｘ．∴ｕ＝… 相似文献
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杨辉三角在三维空间的推广 总被引：1，自引：0，他引：1
由二项式（ａ＋ｂ）ｎ（ｎ＝１，２，３……）展开式中的系数所构成的“杨辉三角形”里蕴藏着许多组合恒等式，还有着许多不为一般人熟悉的其他的性质和作用。 由（ａ＋ｂ＋ｃ）ｎ（ｎ＝１，２，３，４……）三项式展开式中的系数也可以构成一个“三角”，不过它是三维空间的“三维锥体”。为了方便记述我们用１Ｃｋｎ（ｋ，１是非负整数，且０≤１＋ｋ≤ｎ）表示这样当ｒ＝０时，恰为二项式系数。三项式定理：（ａ＋ｂ＋ｃ） 若将其系数按ａ，ｂ，ｃ的幂次升降规律排起来为： 这一“三角”只是三项式（ａ＋ｂ＋ｃ）”展开式中系数的“第ｎ… 相似文献
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孙建斌 《中学数学教学参考》1999,(11)
定理 设ａ,ｂ,ｃ为非负实数,记Ｐ＝∑ａ３＝ａ３＋ｂ３＋ｃ３,Ｑ＝∏ａ＝ａｂｃ,Ｒ＝∑ｂｃ（ｂ＋ｃ）＝ａ２ｂ＋ａｂ２＋ｂ２ｃ＋ｂｃ２＋ｃ２ａ＋ｃａ２,则 ２Ｐ≥Ｐ＋３Ｑ≥Ｒ≥６Ｑ．①证明：第一个不等式显然;由ａｂｃ≥（ｂ＋ｃ－ａ）（ｃ＋ａ－ｂ）（ａ＋ｂ－ｃ）,展开、整理,即得Ｐ＋３Ｑ≥Ｒ;应用几何—算术均值不等式即得Ｒ≥６Ｑ．有大量不等式与①等价,如∑ａ２（ｂ＋ｃ－ａ）≤３ａｂｃ,∑ａ（ａ－ｂ）（ａ－ｃ）≥０,∑ａ（ａ－ｂ－ｃ）２≥３ａｂｃ（ａ,ｂ,ｃ为三角形三边）都等价于Ｐ＋３Ｑ≥Ｒ,通过变形… 相似文献
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巧用等比性质，可使许多问题变得简单易解，下面举例说明之．例１ 已知ａ－ｃｂ＝ｃａ＋ｂ＝ｂａ，求ｂａ的值．解 ∵ａ－ｃｂ＝ｃａ＋ｂ＝ｂａ，∴ ｂａ＝ａ－ｃ＋ｃ＋ｂｂ＋ａ＋ｂ＋ａ＝ａ＋ｂ２（ａ＋ｂ）＝１２．例２ 已知ｃｔｇα＝２，求ｃｔｇα＋２＋ｃｏｓα２＋ｓｉｎα的值．解 ∵ｃｔｇα１＝２１＝ｃｏｓαｓｉｎα，∴ｃｔｇα＋２＋ｃｏｓα１＋１＋ｓｉｎα＝２，即ｃｔｇα＋２＋ｃｏｓα２＋ｓｉｎα＝２．例３ 求ｎ３ｎ－９ｎ＋２７ｎ５ｎ－１５ｎ＋４５ｎ的值．解 ∵３ｎ５ｎ＝－９ｎ－１５ｎ＝２７ｎ４５ｎ＝３… 相似文献
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严琪 《中学数学教学参考》1996,(7)
课本变式题库高中部分原型如果ａ，ｂＥＲ”，且ａ一ｂ，求证ａ’＋ｂ‘＞ａ‘ｂＭａｂ‘．（高中《代数》下册Ｐ．１３例９）变式卫已知ａ，ｂ，ｃｅＲ“，且两两不等，求证２（ａ’＋ｂ’＋ｃ’）＞ａ‘（ｂ＋ｃ）＋ｂ’（ａ＋ｃ）４ｃ’（ａ＋ｂ）．（此题是高中《代数... 相似文献