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〔题〕已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求数列{bn}的通项公式bn;(2)设数列{an}的通项是an=loga(1+1bn),(其中a>0,且a≠1),记Sn是数列{an}的前n项和,试比较Sn与13log... 相似文献
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《甘肃教育》1999年第6期“问题征解”提出了一个征解问题:若等差数列{an}中,a1>0,公差d∈R,且d>1,则A=(1+1a1)(1+1a1+d)…(1+1a1+(n-1)d)>a1+nda11d.(1)本文证明“问题征解”中[注]1:(1)对有理数,即当d∈Q时成立,并可改进为:定理若{an}为等差数列,a1>0,公差d满足k≥d>0,k>1,且k∈Q,则A>a1+nda11k.(2)若a1>0,1>d≥k>0,k∈Q,则A<a1+nda11k.(3)为此,需要证明如下引理:引理若x>0… 相似文献
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《甘肃教育》1999年第6期“问题征解”要求求证下列命题:[问题]若等差数列{an}中,a1>0,公差d∈R,且d>1,则(1+1a1)(1+1a1+d)…(1+1a1+(n-1)d)>a1+nda11d.为证明方便,先给出三个引理-(证明略)引理1若a,b∈R,且a<b,则在区间(a,b)上至少存在一个有理数-引理2(见上文)若等差数列{an}中,a1>0,公差d∈Q,且d>1.则(1+1a1)(1+1a1+d)…(1+1a1+(n-1)d)>a1+nda11d.引理3若f(n)和g(n)均为… 相似文献
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梁增康 《中学数学教学参考》1999,(10)
题目:已知实数a、b满足a2+ab+b2=1,求a2-ab+b2的取值范围.(1998年湖北黄冈市初中数学竞赛题)解:令k=a2-ab+b2,由于a2+ab+b2=1,当ab=0(a、b不能同时为零)时,不妨设a=0,则b2=1,易得k=1.当ab≠0时,不失一般性,不妨设|a|≤|b|.作等腰△ABC,使底边AB=2|a|,高CD=|b|.设AC=BC=c,△ABC的面积为S,∠ACB=α,则0°<α2≤45°,0°<α≤90°,0<sinα≤1,|ab|=S=12·c2sinα.(1)若ab… 相似文献
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不等式a2+b2≥2ab是我们最熟悉的基本不等式,它有许多变式:(1)a2+b2≥12(a+b)2;(2)(a+b)2≥4ab;(3)1a+1b≥4a+b(a>0,b>0);(4)ab+ba≥2(ab>0);(5)a2b≥2a-b(a≥0,b>0);(6)a3b≥2a2-ab≥32a2-12b2(a≥0,b>0).以上6个不等式当且仅当a=b时取等号.这6个变式的证明都较简单,下面通过举例仅介绍变式(5)、(6)的应用.例1 已知a>1,b>1,c>1,求证:a2b-1+b2c-1+c2a-1≥… 相似文献
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1998年普通高等学校招生全国统一考试文史类数学试题的最后一道题为:“已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=100,(Ⅰ)求数列{bn}的通项bn;(Ⅱ)设数列{an}的通项an=lg(1+1bn),记Sn是数列{an}的前n... 相似文献
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人教社高中数学第一册(上)第142页上有这么一道题:有两个等差数列{an},{bn},a1+a2…+an/b1+b2+…bn=7n+2/n+3,求a5/b5,能求一般式子an/bn的值吗? 相似文献
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下面三道高考题有着很深的渊源:题目1数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=100.(Ⅰ)略;(Ⅱ)设数列{an}的通项an=lg1+1bn,记Sn是数列{an}前n项和.试比较Sn与12lgbn+1的大小,并证明你的结论.(199... 相似文献
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“消元——配方法”巧证一类非齐次不等式 总被引:1,自引:1,他引:0
对于在条件x+y+z=k下的一类三元非齐次条件不等式,其证明方法甚多,但都颇具难度,不易掌握.本文提出“消元—配方法”,即通过消元:x+y=k-z;xy≤14(x+y)2=14(k-z)2,将原不等式化归为只含一个元素z的一元三次不等式,然后利用配方法、比较法统一地予以巧证.该方法规律性强,便于掌握,对证明这类非齐次条件不等式十分有效.现举例说明.1 证仅含xy+yz+zx,xyz及常数项的不等式例1 已知a,b,c皆非负实数,且a+b+c=1,试证:ab+bc+ca-94abc≤14.(《数学… 相似文献
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题目分解因式:(a+b)(a+b-2ab)+(ab-1)(ab+l).(1994年武汉市初二数学竞赛试题)解法1──整体法视a+b、ab各为一个整体,将多项式进行整理,得原式=(a+b)2-2ab(a+b)+(ab)2-1=[(a+b)-ab]2-1=(a+b-ab+1)(a+b-ab-1)=(ab-a-b-1)(ab-a-b+1).解法2──主元法视a为主元,将多项式进行整理,得原式=(b2-2b+1)a2-2b(b—1)a+b2-1=[(b—1)a]2-2b(b—1)a十b2-1=[(b-1… 相似文献
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一、应用方程和函数思想解题我们知道数列是一种特殊函数 ,用函数的观点学习数列 ,能使我们更深刻地理解数列。而用方程的思想可以方便地解决数列中的计算问题。例1 :已知{an}是等差数列 ,{bn}是等比数列 ,{an}的公差d和{bn}的公比 q相等且都不等于1 ,a1=b1,a4=b4,a10=b10,求a1 和d。解 :由题意得 :a1=b1,d=q例2 :一个等比数列 ,前n项和为48 ,前2n项和为60 ,求前3n项的和。解 :设等比数列的首项为a1,公式比为 q,显然 q≠1 ,依题意得有 :例3 :已知f(x)是一次函数 ,且… 相似文献
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孙建斌 《中学数学教学参考》1999,(11)
定理 设a,b,c为非负实数,记P=∑a3=a3+b3+c3,Q=∏a=abc,R=∑bc(b+c)=a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2,则 2P≥P+3Q≥R≥6Q.①证明:第一个不等式显然;由abc≥(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c),展开、整理,即得P+3Q≥R;应用几何—算术均值不等式即得R≥6Q.有大量不等式与①等价,如∑a2(b+c-a)≤3abc,∑a(a-b)(a-c)≥0,∑a(a-b-c)2≥3abc(a,b,c为三角形三边)都等价于P+3Q≥R,通过变形… 相似文献
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一道课本习题的引伸与一道名题的妙证张贝斌(甘肃省金昌市一中737100)题设a,b,c∈R+,求证:abc(a+b+c+a2+b2+c2)(a2+b2+c2)(ab+bc+ca)≤3+39.(1)这是加拿大一家中等数学杂志1987年刊出的一道习题.原... 相似文献
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课本上一道习题的一般形式金昌市一中张斌贝高中《代数》(必修)下册习题十五第19题(2)是:已知:a,b,c∈R+,求证:(a+b+c+)(a2+b2+c2)≥9abc。此题启发我们思考下列命题。命题1.若a,b,c,d∈R+,则(a+b+c+d)(a... 相似文献
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运用“a+b≥2ab”求最值错解2例兰州市十六中景曼桂在求解最值问题时,巧妙地运用重要不等式“a+b≥2ab”(或a+b+c≥33abc)常常能使问题简化。但一些学生在运用中容易忽视公式成立的条件,以致造成错解。现举2例。例1.已知x,y>0,a,b... 相似文献
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与最值相关问题的解法(下) 总被引:1,自引:0,他引:1
王扬 《中学数学教学参考》1999,(12)
一、内容概述这是上期的继续,并给出解决此类问题的另外一些方法,如数形结合法、解析法、复数法、不等式法、待定系数法等.二、基础知识1.基本不等式:a2+b2≥2ab,a3+b3+c3≥3abc.(a,b,c∈R+)2.三角形边长之关系:a+b>c(a,b,c为三角形三边之长)3.复数模的不等式:|z1|+|z2|+|z3|≥|z1+z2+z3|.等号成立的条件是z1=λ1z2=λ2z3(λ1λ2>0,λ1,λ2∈R)4.费尔马点的性质.(见例10)三、综合应用(六)数形结合法关于数式问题,若能构造… 相似文献