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整体换元是中学数学中的一种重要的思想方法 .其目的是把复杂或生疏的问题转化为简单或熟悉的问题来解决 ,其方法是在解决某一个数学问题甲时 ,将其中某一个数学式子f(x)作为新变量y ,即通过令y =f(x)将原问题化归为更易于求解的新问题乙 ,从而使原问题得到解决的方法 .下面举例说明整体换元在解题中的应用 .例 1 等比数列前n项和为 2 ,次 2n项和为 12 ,当n为偶数时 ,求再 3n项的和 .解 由题意设公比为q(q≠ 1) ,首项为a1,得a1( 1-qn)1-q =2 ( 1)a1( 1-q3n)1-q =14 ( 2 ) 1-q3n1-qn =7 q2n+qn + 1=7 qn =2 ,qn =- 3(舍 )把qn =2代入 (… 相似文献
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针对数学问题的题型特点,构造与之相关的辅助数式、图形,甚至理想模型等以求另辟捷径的解题方法通常称之为构造法.下面举几个例子说明“构造法”在数学解题中的运用:例1求证:(1 2005)2004-(1-2005)20042005是整数.分析若以x代换2005,分子成为一个多项式,可构造辅助函数来研究它的特点.证明设f(x)=(1 x)2004-(1-x)2004.∵f(-x)=(1-x)2004-(1 x)2004=-f(x),∴f(x)是奇函数.因此f(x)只含x的奇次项,于是f(xx)为只含x的偶次项(包括常数项)的整系数多项式.以x=2005代入可题式为整数.例2x、y是取任意实数的2个变量,试求函数f(x,y)=x2 y2-2x-2y 2 x2… 相似文献
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多项式函数中的切线问题是导数内容中的一个“新亮点” ,由于它涉及高中数学中较多的知识点和数学思想、方法 ,近几年 ,各类考试中命题人常以切线问题为载体 ,编制试题来考察学生的数学思维能力和素养 .但由于切线问题知识的综合性、题型的新颖性、解题方法的灵活性 ,导致学生往往不得要领 ,无从下手 .本文就切线问题的解题策略作一归纳 ,为切线问题的迅捷解决开出两剂“良方” .1 着眼于切线的斜率和方程1 1 统一斜率表达式 转换视角破定势若多项式函数y =f(x)的图象上以P(x0 ,y0 )为切点的切线上有两点P1(x1,y1)、P2 (x2 ,y2 ) ,则… 相似文献
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用换元-数形结合法求三角函数最值 总被引：1，自引：0，他引：1
换元和数形结合是中学数学教学中一种重要的思想方法和解题工具,其目的是把复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉或直观的问题来解决;其方法是在解决某一数学问题时,将其中某个函数式(fx)作为新变量t,即通过令t=(fx)将问题化归为易于求解的问题,确定所换元t的范围,画出图形,使原问题得到解决.下面举例说明换元-数形结合法在求解三角函数最值中的应用.例1:求函数y=sin2x+4sinx+a(a为小于0的常数)的最小值.解:令t=sinx,则-1≤t≤1,从而原式可转化为:y=f(t)=t2+4t+a.数形结合(如图1)可知,当t=-1,即sinx=-1时,y取得最小值,从而ymin=f(-1)=(-1)2+4×… 相似文献
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抽象函数是指只给出函数的某些性质而未给出解析式的函数 ,它在历年的高考竞赛中常常出现 ,不少同学对此类问题的解法感到无从下手 ,为使抽象函数问题的解决有“章”可循 ,下面介绍几种常见的求解方法 .一、求值问题例 1 已知函数f(x)满足 :对任意x、y∈R都有f(x y2 ) =f(x) 2f2 (y)且f(1 )≠ 0则f(2 0 0 5) = .解 :在f(x y2 ) =f(x) 2f2 (y)中 ,取x=y =0则f(0 ) =0 ,再取x =0 ,y =1代入得f(1 ) =2f2 (1 ) ,∵f(1 )≠ 0 ,∴f(1 ) =12 .在条件式中令x=n ,y=1则得递推式f(n 1 ) -f(n) =12 .∴数列 {f(n) }是首项为 12 ,公差… 相似文献
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函数方程即以函数为未知数的等式。这类问题自在 2 0 0 1年全国高考试题中首次出现以来 ,又在 2 0 0 2年北京高考卷中出现 ,不能不引起我们的充分重视。解此类题方法灵活、技巧性强 ,体现了能力立意的高考命题思想。本文通过例题探讨解决这类题目的一些基本策略。1 巧取特值这种方法是根据函数对定义域内的任何一个值都满足函数方程 ,因此可在定义域内取某一特殊的值。这种方法在函数方程问题里面应用最为广泛。例 1 已知对x、y∈R都有xf( y) +yf(x) =(x +y) f(x) f( y) ,求f(x)。解 令x =y=1 ,则 2 f( 1 ) =2 [f( 1 ) ]2 ,∴f( 1 ) =0… 相似文献
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运动是绝对的,静止是相对的;事物之间又是普遍联系的.数学中的函数则具体地体现了运动变化的事物(变量)之间的联系.函数 y=f(x)反映了自变量与因变量(函数)之间的关系 f.如 y=f(x)=2x 中,x 与 y 的关系为y 是 x 的2倍.但在许多具体问题中,变量 x、y之间的关系并不是这么简单明了.如 y=f(x)=sin(2x π/3),x、y 之间的关系较复杂.但把 相似文献
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方秦金 《中学数学研究(江西师大)》2006,(7):22-24
模特函数是指以函数或某一公式为原型,将函数的本质属性抽取出来而得到的一类抽象函数.如以 f(x)=cosx 为模型可得:若定义在(-∞, ∞)上的连续函数 f(x),对任意实数x,y,都有 f(x) f(x)=2f((x y)/2)· 相似文献
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数学解题中的化归策略 总被引：1，自引：0，他引：1
“化归”是指把未解决的数学问题 ,通过某种转化过程 ,归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中去 ,最终求得原问题的解答的一种手段和方法 .1.复杂向简单化归一个比较复杂的数学问题 ,往往是由几个简单问题构成的 .因此 ,只要把这些简单问题一一加以解决 ,就可以使复杂问题得到解决 .例 1 解方程组3 (x +y -1) +2 (x -y) =64 ,4(x +y -1) +5 (y -x -3 ) =78.①②解 :设x +y -1=m ,x -y +3 =n .整理得3m +2n =70 ,4m -5n =78. 解得 m =2 2 ,n =2 ,即 x +y -1=2 2 ,x -y +3 =2 .解这个方程组得x =11,y =12 .评注 :把方程组中重复出… 相似文献
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杨庆 《湖北大学成人教育学院学报》2001,19(2):79-80
函数思想就是用运动和变化的观点 ,去分析和研究数学问题中的数量关系 ,建立函数关系或构造函数关系 ,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题 ,从而使问题获得解决 ;方程思想 ,就是分析数学问题中的变量间的等量关系 ,从而建立方程 ,或构造方程 ,通过解方程 ,使问题获得解决。方程思想与函数思想密切相关 ,其关系可用下图表示 :二元方程f ( x,y) =0 函数y =f( x)y =0→ 一元方程 f ( x) =0y >0→或 y <0 一元不等式 f ( x) >0或 f ( x) <0x∈ N→ 数列 { an =f ( n) }一、方程问题化为函数求解例 1 设有对数方程 lg( ax) =2 1 g( … 相似文献
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G .波利亚曾说过 :“解题过程实质上是建立原题与我们过去获得的知识中某些适当成分之间的联系 .”RMI原则即关系 (Relation)映射(Mapping)反演 (Inversion)原则的应用就是为了寻求这种联系 ,将一个新问题转化为一个等价会解的问题 .作为解决数学问题的普遍思想方法 ,RMI原则有着广泛的适用性 ,因此应被给予足够的重视 .数学中的 RMI原则可以简述如下 :[1 ]给定一个含有目标原象 x的结构 S,如果能找到一个可定映射 f ,将 S映入或映满 S* ,则可从 S* 通过一定的数学方法把目标映象 y =f (x)确定出来 ,这样 ,原来的问题就得到了解决 .… 相似文献
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反函数是高一数学的重点知识,也是高考常考内容之一.综观高考试题,主要从五个方面考查:给出函数y=f(x)的解析式,求出它的反函数y=f-1(x);利用“函数y=f(x)与反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称”解决有关问题;求反函数的定义域或反函数的某一值.下面结合具体例子加以说明. 相似文献
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1 复合函数“还原”的意义复合函数是一个重要的数学概念 ,给出两个函数 y=f(u) ,u=g(x) ,将前者的 u用后者代替 ,可以得到 y=f[g(x) ],我们把函数 y=f[g(x) ]叫做函数 y=f(u)和 u=g(x)的复合函数 .x叫自变量 ,u叫中间变量 ,y是因变量 .为了区别 ,我们把函数 y=f(u)叫外函数 ,函数 u=g(x)叫内函数 .已知外函数 f(x)和内函数 g(x) ,求复合函数 f[g(x) ]的过程叫函数的复合 .和复合反过来 ,就是复合函数的分解 ,就是给出一个函数 ,将它看成某两个或几个函数的复合 .这里准备讨论的是所谓的复合函数的“还原”.为了说明“还原”的意义 ,我们先… 相似文献
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在以前高中数学教材中,我们往往只能用一些代数的方法来研究函数的单调性问题.由于教材内容的限制,这些方法往往运算繁琐,不易掌握其规律.例如,给出一个在某区间上可导的含参数的单调函数,要我们求参数的范围问题,大家往往解答不够完整.下面给大家引入一个定理,能为我们解决这类问题提供依据.定理若函数f(x)在(a,b)内可导,则函数f(x)在(a,b)内单调递增(或单调递减)的充要条件是在(a,b)内f′(x)≥0(或f′(x)≤0).证明必要性:设函数f(x)在(a,b)内单调递增,对任意x∈(a,b)及自变量的改变量Δx,(使x Δx∈(a,b)),由于函数f(x)在(a,b)内单调递增,… 相似文献
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数学中的恒成立问题涉及到一次函数、二次函数的性质,渗透着不等式的解法,还贯穿了换元法、数形结合、函数与方程等思想,有利于培养学生学生的综合能力,也是高考的一个热点.下面谈一谈恒成立问题的求解策略.首先,对于恒成立问题,有以下结论:如果函数y=f(x)在定义域D上存在最大值f(x)max(或最小值f(x)min),则g(a)≥f(x)(或g(a)≤f(x))恒成立g(a)≥f(x)max(或g(a)≤f(x)min).可以看出,求解恒成立问题可以转化为求函数的最值问题.根据具体问题,可采用以下方法:一、主元素法这种方法就是改变自变量与参数的位置,当变化的量较多时,选择其中一个… 相似文献
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赵国刚 《中学生数理化(高中版)》2003,(3):24-24
对于y=f(x),x∈N*,f(x)在其定义域上有增有减,如直接用函数单调性或导数法求其最值,或麻烦,或求之不得.然而换个角度,如用“诱导法”,或许会柳暗花明.模型:对已知y=f(x),x∈N*,设当x-k时取得最大值(最小值类似),则必有 相似文献
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第 31届西班牙数学奥林匹克第 2题是 :证明 :如果 ( x+ x2 + 1 ) ( y+ y2 + 1 )=1 ,那么 x+ y=0 .分析 注意到式子 x+ x2 + 1 ,y+y2 + 1的结构完全相同 ,我们引进函数f( x) =x+ x2 + 1 .容易知道函数 f( x)具有以下性质 :1 f( x) f( - x) =1 ;2 f( x)在定义域 R上是增函数 .(对于性质 2 ,只需把 f ( x1 ) - f ( x2 )化为 ( x1 - x2 ) x21 + 1 + x22 + 1 + x1 + x2x21 + 1 + x22 + 1,利用 x21 + 1 + x22 + 1 + x1 + x2 >| x1 | + | x2 |+ x1 + x2 ≥ 0即可证得 .)显然 ,原竞赛题就是证明 :如果 f ( x) f ( y) =1 ,那么 x+ y=0 .现在简证如… 相似文献