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~~~不等号的右边是这两个数乘积的2倍,应是2ab郾故反映这种规律的一般结论是a2+b2≥2ab郾例5考查下列式子,归纳规律并填空:1=(-1)2×1;1-3=(-1)3×2;1-3+5=(-1)4×3……1-3+5-7+…+(-1)n+1×(2n-1)=郾(2002年广东省佛山市中考题)分析本题的关键是确定-1的指数,通过观察可知,第n个式子等号右边-1的指数是n+1,故横线处应填(-1)n+1·n郾例6观察下列各式:21×2=21+2,32×3=32+3,43×4=43+4,54×5=54+5……想一想,什么样的两数之积等于这两数之和?设n表示正整数,用关于n的等式表示这个规律为×=+郾(2002年北京市西城区中考题)分析等号左边是两个… 相似文献
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数学是思维科学,也是实验科学.数学中的推理,不仅包含分析、综合、抽象、概括等演绎推理方式,而且包括观察、实验、归纳、猜想、调整等合情推理方式.近年的中考命题常常以此来作为考查学生数学探索能力和创新能力的好题材.下面举例说明.例1(2003年福州市)观察下列各式:1×3=12+2×1,2×4=22+2×2,3×5=32+2×3,…请你将猜想到的规律用自然数n(n≥1)表示出来:.解观察、比较所给已知等式:不难得到上述等式中所体现的规律是n(n+2)=n2+2n.说明:由特殊到一般的过程是人们认识事物的一般规律,而观察、发现、归纳是得出结论、发现数学规律最常用的… 相似文献
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一、2艺+4之+6“+…+(22,)2 2=了’‘(”+1)(Zn+l)·将n个等式相加,得(n+1)‘一1证明:22+4“+6之+…+(Zn)“ 二22·12+22一22+22一32+… +2 2.n2二4(1“+2“+…+n3)+6(12+2“+…+月2) +4(1+2+…+n)+n. 变形整理,得 4(13+23+33+…+几3)=22(1“+2“+3“+…+n“) 1=4’一百“(”+l)(2,‘+1)一(,+,)4一6·言、(。+l)(2·+,)誉。(。+‘,‘2“+‘,· 1一4’万”’L几+l)一‘几+l)二、1“+32+52+…+(Zn一1)息 1=下叫凡(4忍‘一1)。 J证明:i艺+32+5“+…+(Zn一1)“=(忍+1)略一刀(忍+1)(2九+1) 一2冷(龙+1)一(拜+1)=n“(n+1)之. 13+28+33+…+n3=〔… 相似文献
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数学猜想探索题,即由题设条件,如有规律的算式、图形、图表等,先从简单情况或特殊情况入手,进行观察归纳,大胆猜想探索,得出结论,再加以论证的探索性问题。近年来,数学猜想探索题倍受中考命题者的青睐,成为中考的一大热点问题。以下举例分析,供同学们参考。例1观察下列各式:2×4=32-1;3×5=42-1;4×6=52-1;…;10×12=112-1;…。将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来:________________。解析观察等式,可发现规律:等式左边是两个连续偶(或奇)数的积,右边是夹在这两个连续偶(或奇)数中间的奇(或偶)数的平方与1的差。故n(n+2)=(n+1)2-1… 相似文献
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笔者在和学生一起讨论一道竞赛题的解法时，感受颇深。学生的奇思妙解令我耳目一新，也深深体会到了“教学相长”。题目：从12、13、14、15、16、17、18，…150这些分数中，找出7个分数使它们的和为1。老师解法：利用等式摇1n(n+1)=1n-1n+1来解答。12=11×2=11-12，16=12×3=12-13，112=13×4=13-14，120=14×5=14-15，130=15×6=15-16，142=16×7=16-17。将这6个等式左右两端同时相加，得到12+16+112+120+130+142=1-17，这样只须在上面6个分数和的基础上加上17，就能使12，16，112，120，130，142，17这7个分数的和为1。我认为这种方法简单… 相似文献
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近年全国各省市中考卷中涌现出不少探索 (究 )型和开放型试题 .通过求解这些问题 ,有利于同学们数学创新意识的形成和发散思维能力的培养 .现选摘用初一知识能解的几例 ,分类析解、评述其求解方法 ,供大家学习参考 .一、探索型问题1.观察数式变化特点 ,探索变化规律——归纳公式例 1 ( 2 0 0 2年北京西城区中考题 )观察下列各式 :21× 2 =21+2 ,32 × 3=32 +3,43× 4 =43+4 ,54 × 5=54 +5,… ,想一想 ,什么样的两数之和等于这两数之和 ?设 n表示正整数 ,用关于 n的等式表示这个规律 .析解 :观察可知各等式左边是一个假分数与一个整数相乘… 相似文献
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人教版九年义务教育教材六年制小学数学教科书第七册第 1 0 8页有这样一道趣题 :先计算一下 1 2× 42和 2 4× 2 1的积 ,看看它们相等不相等。原来 ,1 2× 42可以改写成 1 2× 2× 2 1 =2 4× 2 1 ,所以 1 2× 42 =2 4× 2 1。这样的算式还有 1 2× 6 3 =3 6× 2 1等 ,你能再写出一个吗 ?不知你是否注意到 ,上述算式都有一个有趣的特点 :把每个数的十位数字与个位数字调换位置所得两个两位数的乘积与原来两个两位数的乘积相等 ,其数字的位置是关于等号对称的。对于这种与等号左右两边等距离对称且符号相同的等式 ,我们不妨称它为“对称等式… 相似文献
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我们有四个数字:1、2、3、4,将它们合并到一个数学等式中,令其答案为5.例如:4+3-2×1=5使用相同数字的另一个成立等式如下所示:4+3-2÷1=5您是否能够建立另一个数学表达式,在等式左边使用1、2、3和4,并令等式的右边等于5?可以使用4个标准的数学运算符:+(加)-(减)×(乘)÷(除),如有必要,还可以使用括号.我们还可以练习一下这些题目:5551=243582=29936=25678=14443=42357=7答案:(4+1)÷(3-2)=55551=24(5-1÷5)×5=243582=2(8×2)÷(3+5)=29936=2(9+9)÷(3+6)=25678=1(8-7)÷(6-5)=14443=4(4×4)-(4×3)=42357=72+3-5+7=7令等式成立@道道… 相似文献
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一、递推意识由于数列可以看作正整数n的函数 ,因此对于以递推关系式出现的数列问题 ,常常可以由n=1,2 ,3 ,…入手 ,得到一系列的等式 ,通过对它们进行或加、或减、或乘、或除等运算 ,使问题获解 .递推意识是解数列问题的一种重要意识 .例 1 ( 2 0 0 3年高考题 )若数列 {an}满足a1 =1,an =3 n- 1 +an- 1 (n≥ 2 ) .求证 :an =12 ( 3 n-1) .证明 在递推式中 ,分别令n =2 ,3 ,4,… ,直到n ,得到 (n -1)个等式 : a2 =3 +a1 , a3=3 2 +a2 , a4 =3 3+a3, …… an =3 n - 1 +an- 1 .将这 (n-1)个等式相加 ,… 相似文献
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尚建平 《山西教育(综合版)》2006,(3)
数与式例1:某音像社对外出租光盘的方法是:每张光盘在租出后的头两天每天收0.8元,以后每天收0.5元.那么一张光盘在租出的第n(n是大于2的自然数)天,应收租金元.解析:租金分两段计算,每张光盘出租的头两天的租金为0.8×2=1.6元;当租的天数为(n-2)天时,每天收0.5元,所以租金为0.5(n-2)元,因此总的租金为1.6+0.5(n-2)=(0.5n+0.6)元.例2:观察下列各式:21×2=12+232×3=23+334×4=34+454×5=45+5……设n表示正整数,用关于n的等式表示这个规律为:×=+解析:21×2=(11+1)×2=12+2;23×3=(21+1)×3=32+3,43×4=(13+1)×4=43+4;54×5=(14+1)×5=54+5…… 相似文献
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刘德华 《课程教材教学研究(小教研究)》2002,(6):40-41
最值问题中,有一类在给定条件下求最大值的问题,可用构造条件的方法求解。现介绍如下: 有关定理(柯西不等式): 对于任意实数a_i,b_i(i=1,2,…n),有:(a1b1+a2b2+…+a_nb_n)~2≤(a~21+a~22+…+a~2n)·(b~21+b~22+…+b~2n).其中,当且仅当a_i=kbi时取等号。 由柯西不等式,易得如下推论: 如果:(a~21+a~22+…+a~2n=S2(常数S>0) b~21+b~22+…+b~2n=t~2(常数t>0) 那么:a1b1+a2b2+…+a_nb_n≤S·t,当且仅当a_i/b_i=s/t(i=1,2,…,n)时,取等号,即a1b1+a2b2+…+a_nb_n有最大值s·t. 例1:已知:a2+b2+c2=1,求的最大值。 分析:为了利用推论,必须 相似文献
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我们经常需要求通项公式为n的整式函数的数列的前n项和。如求下面的和:1~2+2~2+…+n~2 1~3+2~3+…+n~3 实际就是分别求通项公式为a_n=n~2,a_n=n~3的两个数列的前n项和。又如1989年高考第23题: 是否存在常数a,b,c使得等式: 1×2~2+2×3~2+…+n(n+1)~2=n(n+1)/12(an~2+bn+c)对一切自然数n都成立!并证明你的结论。这里如果能求出数列{a~n},其中a_n=n(n+1)~2的前n项和,此题也就解决了。 相似文献
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一、根据条件直接猜想例1已知数列{an}中的各项分别为182××132,…,8n(2n-1)2(2n+1)2,…,Sn是数列的前n项和,计算可得S1=98,S2=2254,S3=4489,S4=8810.根据结果猜测Sn的表达式,并用数学归纳法证明.解由S1=1-19,S2=1-215,S3=1-419,S4=1-811,猜想Sn=1-(2n1+1)2(n缀N+).证明如下:(1)当n=1时,S1=1-312=89,等式成立.(2)设当n=k(k≥1,k缀N)时,Sk=1-(2k1+1)2成立.∵an=(2n-1)82(n2n+1)2=(2n1-1)2-(2n1+1)2,∴Sk+1=Sk+ak+1=1-(2k1+1)2+(2k1+1)2-(2k1+3)2=1-[2(k+11)+1]2.由此可知,当n=k+1时,等式也成立.根据(1)、(2)可知,等式对任何n缀N+都… 相似文献
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1 .趣填符号 请在等号左端的数字链中 ,填入适当的运算符号 ,可以使用括号 ,使之成为一道有趣的等式 ,得数是今年的公元年数——— 2 0 0 4.765 43 2 1 =2 0 0 4.(注 :左边数字之间可以填符号 ,也可以不填 ,下面题目类似 )2 .巧添括号 给这道式子添上一个括号 ,它就可以成为得 2 0 0 4的等式 .你知道该怎样添吗 ?( 1 ) 1 +2 +3 4× 5 4+3 +2 +1 =2 0 0 4.( 2 ) 1 +2 +3 +4 +5 × 6× 7+8× 9=2 0 0 4.3 .妙趣横生 请在 7个 6、8个 4中填入适当的数学符号 ,使它们分别成为一道得 2 0 0 4的式子 .你能完成吗 ?这可是个难题噢 ,你来试试吧 … 相似文献
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一、选择题1.下列等式成立的是().(A)32-1=3-1=2(B)-(-4)2=-(-4)=4(C)1215=1×51=15(D)1+13=2×312.327的平方根是().(A)±3(B)3(C)±3(D)±333.如果在一个顶点周围用2个正六边形和n个正三角形恰好可以进行平面镶嵌,则n的值可以是().(A)2(B)3(C)4(D)64.在△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,则三角形的周长是().(A)42(B)32(C)42或32(D)37或335.下列说法中,正确的个数是().①两条对角线相等且互相平分的四边形是菱形;②两条对角线相等的菱形是正方形;③对角线相等的四边形是矩形;④一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形.(A)1… 相似文献
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由于探索性问题能够有效地考查学生的数学素质 ,因而成为高考命题的热点 .下面仅就数列中探索性问题的求解策略作些归纳 ,以期抛砖引玉 .一、利用公式直接求解例 1 是否存在常数a ,b ,c使等式 1·n+ 2 · (n -1) +… + (n -1) ·2 +n·1=an3+bn2 +cn对任意的n∈N 恒成立 ?证明你的结论 .解 对等式左边求和 .∑nk=1k(n+ 1-k)=∑nk=1[k(n+ 1) -k2 ]=(n+ 1) ∑nk=1k -∑nk=1k2=n(n+ 1) 22 -n(n+ 1) (2n + 1)6=n3+ 3n2 + 2n6.比较系数可得a=16,b=12 ,c=13 .二、先用特值探路 ,再用数学归纳法证明对于例 1,分别令n =1,2 ,3 ,代入等式 ,得a +b+… 相似文献
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高中数学新教材 (2 0 0 1年 10月第 2版 )第二册 (下 A)第 14 5页有这样一道习题 :求证 :Cmn-1 +Cmn-2 +Cmn-3 +… +Cmm + 1 +Cmm=Cm + 1 n .此题的证明关键是利用组合数性质 :Cmn+ 1 =Cmn +Cm -1 n ,采用逐次并项或逐次裂项的方法予以证明 ,此略 .此题揭示了组合数的一个非常重要的性质 ,它在探求某些与正整数方幂和有关的数列问题时 ,往往显得简捷明了 .下面是数列 { k(k+1)… (k+m) } (k∈N* )的前 n项和的公式 (m是固定的正整数 ) .(1) 1× 2 +2× 3+3× 4 +… +n(n+1)=A22 +A23 +A24+… +A2n+ 1=A22 (C22 +C23 +C24+… +C2n+ 1… 相似文献
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例题show:(2006年高考·全国卷Ⅰ,22题)．设数列{an}的前n项的和Sn=4/3an-1/3×2n+1+2/3,n=1,2,3,…。(Ⅰ)求首项a1与通项an;(Ⅱ)设Tn=2n/Sn,n=1,2,3,…,证明:(∑|i=1|n)Ti<3/2。命题指向:本题综合考查数列的概念及数列求和。(1)[基本思路]由Sn=4/3an-1/3×2n+1+2/3,n=1,2,3,…①。得a1=S1=4/3a1-1/3×4+2/3所以a1=2。再由①有Sn-1= 4/3an-1-1/3×2n+2/3,n=2,3,4,…②。将①和②相减得:an=Sn- 相似文献
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《中学数学教学》1981,(1)
一、证明等式:ina。inZa。in3a=0.8对a为任何值都不成立 证明:‘.’。ina。in3q=士(eo、Za一eo、4a) 则。ina,inZ a oin3a=含、inZa(eo公Za一eo;4a) =去。云n4a一士。inZ a eoo4a<十+士=0.75 .’.,iu a oinZ a oin3a== 0.8对a为任何值都不成立1)一l)二、求证:(23一1)(23+1)(33一1)(3”+1)(43(4“+(n3一1)(刀3+1) 2:二一. 3”2+n+1刀(n+1)其中。是大于1的自然数证明:,.’(n+l),一(n+1)+1二nZ+儿+1.’.左式_(2一1)(3一1)(4一1)··一(n一1)(22+2+i)(32+3+z)一(2+1)(3+i)(4+i)……(n+l)(22一2+1)(3“一3+i)_]·2·3……(n一1)(2:+2+1)(32+3… 相似文献
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在义教初一《代数》第一册 (上 )“第一章代数初步知识”中 ,有一种非常好的列代数式题型 ,就是给定一组等式 ,或一组图形的若干种简单的或特殊情况 ,从中探求其规律 ,对这类题的研究 ,非常有利于发展同学们的创造能力和思维能力 ,所以在中考试题中也较为常见 .解决这类问题 ,通常用探索归纳法 ,即对已知条件进行观察分析 ,从中发现规律 ,进而找到解决问题的途径或结论 .例 1 ( 2 0 0 2年北京市西城区中考试题 )观察下列各式 :21× 2 =21+2 ,32 × 3=32 +3,43× 4 =43+4 ,54 × 5=54 +5,…想一想 ,什么样的两数之积等于这两数之和 ?设 n表… 相似文献