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在中学物理竞赛中 ,会涉及振动的动能、势能、圆频率以及振动方程的确定问题 ,以下简单谈谈这方面的有关内容 .任何一个物体 ,当受到大小与位移成正比且方向相反的力作用时 ,即 :Ｆ =-ｋ(ｘ -ｘ0 ) ,则物体做简谐振动 .如果物体质量为ｍ ,根据牛顿运动定律有 :ａ =-ｋｍ(ｘ -ｘ0 ) , (1 )满足上式的振动 ,其固有圆频率为 :ω =2π ｋｍ , (2 )振动方程为 :ｘ -ｘ0 =Ａｓｉｎω(ｔ-ｔ0 ) . (3 )其中 ,ｘ0 为振动平衡点的坐标 ,即ｘ0 为Ｆ =0时ｘ的坐标 ;Ａ是振幅 ,ωｔ0 是初相位 ,由初始条件确定 .振动过程的弹性势能为Ｅｐ=12 ｋ(ｘ-ｘ0 ) … 相似文献
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今年全国高考数学最后一题〔理 (2 2 )题〕是 :设ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的偶函数 ,其图像关于直线ｘ=1对称 ,对任意ｘ1 ,ｘ2 ∈ 0 ,12 ,都有ｆ(ｘ1 ｘ2 ) =ｆ(ｘ1 )·ｆ(ｘ2 ) ,且ｆ(1 ) =ａ>0 .(Ⅰ )求ｆ 12 及ｆ 14;(Ⅱ )证明ｆ(ｘ)是周期函数 ;(Ⅲ )记ａｎ =ｆ 2ｎ 12ｎ ,求ｌｉｍｎ→∞(ｌｎａｎ) .这是一道涉及“函数方程”———含有未知函数的等式的试题〔见题中条件ｆ(ｘ1 ｘ2 ) =ｆ(ｘ1 ) ×ｆ(ｘ2 )〕 .此类题目在近些年全国高考中尚不多见 ,但在各类竞赛中却屡见不鲜 .寻求函数方程的解或证明函数方程无解叫做解函数方程 .下面… 相似文献
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纵观近年全国各省市高考数学模拟试题 ,“不动点”问题悄然兴起 .这类问题通常以“不动点”为载体 ,将函数、数列、不等式、方程、解析几何等知识有机地交汇在一起 ,因而极富思考性和挑战性 .下面笔者精选出 5道典型例题并予深刻剖析 ,旨在探索题型规律 ,揭示解题方法 .例 1 对于任意定义在区间Ｄ上的函数ｆ(ｘ) ,若实数ｘ0 ∈Ｄ满足ｆ(ｘ0 ) =ｘ0 ,则称ｘ0 为函数 ｆ(ｘ)在Ｄ上的一个不动点 .(1)求函数ｆ(ｘ) =2ｘ + 1ｘ -2在 (0 ,+∞ ) 上的不动点 ;(2 )若函数ｆ(ｘ) =2ｘ + 1ｘ +ａ在 (0 ,+∞ )上没有不动点 ,求ａ的取值范围 .分析与解… 相似文献
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解关于一元二次方程的公共根问题 ,是一种常见的题型 ,但同学们在解此类问题时 ,常感到棘手 .为此 ,本文通过举例向同学们介绍此类问题的几种常用解法 .一、作差求根法对于比较简单的两个一元二次方程有公共根的问题 ,可采用作差求根法来解决 .具体操作步骤是 :把两个方程相减 (或相加 )消去二次项 ,由所得一元一次方程来确定参数的值 ,进而求出方程的根 .例 1 ｍ为何值时 ,方程ｘ2 ｍｘ-3=0与方程ｘ2 -4ｘ -(ｍ -1 ) =0有一公共实数根 ?并求此根 .解 将已知两方程相减 ,得(ｍ 4)ｘ =-(ｍ -4 ) .当ｍ =-4时 ,公共根不存在 ;当ｍ≠ -4时… 相似文献
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中学的高次方程,只讨论了简单的有理根的求法。学过之后,同学们往往会问;对于高次方程,能否找到类似于二次方程的求根公式呢?对此,人们经过长期的探索,只找到了三次、四次方程的求根公式[1],而对于五次及五次以上的一般方程,在十九世纪,阿贝尔和伽罗华先后证明了:不存在用方程各项系数表示的求根公式[2]。这一结果似乎是令人沮丧的,但在数学发展的历史上,它却有着极其重要的意义。事实上,四次方程的求根公式因过于复杂己难于应用,人们早已抛开“求根公式”,找到了许多简单、有效的求根方法。这些方法大多是逐次逼近 相似文献
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近几年来 ,在高考和各级各类的模拟试题之中 .也常常出现一些有关一元三次函数的内容 .以一元三次函数为载体设计的这类情境新颖的试题 ,可考查学生在新情景中吸收信息、处理信息的能力和综合运用数学知识分析、解决问题的能力 .一、以三次函数为蓝本 ,考查数形结合例 1 已知函数 ｆ(ｘ) =ａｘ3+ｂｘ2 +ｃｘ+ｄ的图象 (如图 1 ) ,问ａ、ｂ、ｃ、ｄ中有为零的数吗 ?并确定非零数的符号 .分析 由图知ｘ1 <0 ,ｘ2 <0 ,ｘ3>0 ,ｘ1+ｘ3<0 ,ｘ2 +ｘ3>0 ,ｆ( 0 ) =ｄ <0 .设 ｆ(ｘ) =ａ(ｘ -ｘ1 ) (ｘ-ｘ2 ) (ｘ-ｘ3) .由 ｆ( 0 ) =-ａｘ1 ｘ2 ｘ… 相似文献
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我们知道,对于实系数一元二次方程ax~2 bx c=0（a、b、c∈R,a≠0）,可用△=b~2-4ac与0的关系来判断有无实数根,并且可用求根公式求此方程的根,那么对于复系数一元二次方程。ax~2 bx c=0（a、b、c∈C,a≠o）怎样求根,怎样判断实根的情况? 1.求根公式 命题（一）:方程ax~2 bx c=0（a、b、c∈C,a≠0）的求根公式是:x=-b [(b~2—4ac)的平方根]/(2a) . 相似文献
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1 求证 :ｓｉｎ2 0 0 3° >12 ·ｃｏｓ2 0 0 2°。 (不要使用计算器等工具。)2 试求出两条抛物线 ｙ2 =2 5 -6ｘ与ｘ2 =2 5 -8ｙ的所有的交点的坐标。 (不要使用一元四次方程求根公式。)3 试求出所有的有序正整数对 (ａ ,ｂ) (ａ≤ｂ) ,使得ａ能整除ｂ2 +ｂ +1 ,且ｂ能整除ａ2 +ａ +1。4 试求出所有的函数 ｆ :Ｒ -{0 ,1 }→Ｒ -{0 },使得对于任何的满足“ｘ·ｆ(ｙ) ,ｙ -ｘ∈Ｒ -{0 ,1 }”的ｘ∈Ｒ -{0 },ｙ∈Ｒ -{0 ,1 },都有 ｆ(ｘ·ｆ(ｙ) ) =(1 -ｙ)·ｆ(ｙ -ｘ)。5 试求出所有的函数 ｆ :Ｒ→Ｒ ,使得对于任何的ｘ、ｙ∈… 相似文献
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奇函数ｆ(ｘ)具有下列性质 :若ｆ(ｘ)为奇函数 ,且ｆ( 0 )存在 ,则ｆ( 0 )= 0 .下面略举它在“希望杯”全国数学邀请赛高一试题中的应用数例 .例 1 ｆ(ｘ)是定义域为在Ｒ的奇函数 ,下列结论中正确的是 ( )(Ａ)ｆ(ｘ) -ｆ( -ｘ) >0(Ｂ)ｆ(ｘ) -ｆ( -ｘ) <0(Ｃ)ｆ(ｘ) ·ｆ( -ｘ) ≤ 0(Ｄ)ｆ(ｘ)·ｆ( -ｘ) >0解 在 4个选择项中 ,均令ｘ=0 ,由ｆ( 0 )= 0 ,知选Ｃ .例 2 ｆ(ｘ)是定义域为Ｒ的奇函数 ,方程ｆ(ｘ) =0的解集为Ｍ ,且Ｍ中有有限个元素 ,则 ( )(Ａ)Ｍ可能是 (Ｂ)Ｍ元素个数是偶数(Ｃ)Ｍ中元素个数是奇数(Ｄ)Ｍ中元素个… 相似文献
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白志峰 《中学生数理化(高中版)》2003,(2):21-21,23
定义型试题即试题中给出一个考生从未接触过的新规定 ,要求考生当即应用 ,用以考查考生的接受能力和应变能力 .一、定义新概念例 1 ( 2 0 0 1年上海高考题 )定义 :若函数 ｆ(ｘ)对于其定义域上的某一点ｘ0 ,有ｆ(ｘ0 )=ｘ0 ,则称ｘ0 是 ｆ(ｘ)的一个不动点 .已知函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 +(ｂ+1)ｘ +(ｂ- 1) (ａ≠ 0 ) .( 1)当ａ=1,ｂ =- 2时 ,求函数ｆ(ｘ)的不动点 ;( 2 )若对任意的实数ｂ ,函数ｆ(ｘ)恒有两个不动点 ,求ａ的取值范围 ;( 3)在 ( 2 )的条件下 ,若ｙ=ｆ(ｘ)图象上两个点Ａ、Ｂ的横坐标是函数 ｆ(ｘ)的不动点 ,且Ａ、Ｂ两点关于… 相似文献
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张德科 《中学数学教学参考》2000,(11)
一元多项式是各级各类数学竞赛的热点内容 ,它的研究和讨论是基于初等数学中的一元二次方程等方面的有关内容类比和推广而展开的 ,对于培养学生正确理解数学思想 ,掌握数学解题方法和策略是非常重要的 .在内容上 ,本讲重点研究一元ｎ次方程根的个数、根与系数的关系及整除性问题等 .一、基础知识1.形如 ｆ(ｘ) =ａｎｘｎ ａｎ - 1 ｘｎ - 1 … ａ1 ｘ ａ0 (其中ｎ为非负整数 ,ａ0 ,ａ1 ,ａ2 ,…ａｎ∈Ｃ ,且ａｎ≠ 0 )的代数式称为关于ｘ的复系数一元ｎ次多项式 .特别地 ,当系数ａ0 ,ａ1 ,… ,ａｎ∈Ｒ(或Ｑ或Ｚ)时 ,ｆ(ｘ)称为实系数 (… 相似文献
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有一类抽象函数问题 ,常把与抽象函数有关的等式作为条件 ,在高考试题中频繁出现 ,怎样利用好这些等式是解决此类问题的关键1 利用递推关系把与抽象函数有关的等式看作递推式 ,利用其递推关系寻找新的等式 .例 1 已知 ｆ(ｘ)是定义在实数集上的函数 ,且满足 :ｆ(ｘ+ 4 ) ｆ(ｘ) =- 1,ｆ(- 2 ) =2 + 1.求ｆ(2 0 0 2 )的值 .解 由 ｆ(ｘ + 4 ) ｆ(ｘ) =- 1,得ｆ(ｘ + 4 ) =- 1ｆ(ｘ) .利用其递推关系可知ｆ(ｘ + 8) =- 1ｆ(ｘ + 4 ) =ｆ(ｘ) ,即函数 ｆ(ｘ)是周期为 8的函数 ,从而 ｆ(2 0 0 2 ) =ｆ(8× 2 5 0 + 2 ) =ｆ(2 )=- 1ｆ(- 2 ) =… 相似文献
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一、填空题 (每小题 2分 ,共 2 8分 )1.计算 :12-2 =.2 .如果分式ｘ + 3ｘ - 2 无意义 ,那么 ,ｘ =.3.在张江高科技园区的上海超级计算中心内 ,被称为“神威 1”的计算机运算速度为每秒384 0 0 0 0 0 0 0 0 0次 ,这个速度用科学记数法表示为每秒次 .4 .方程 2ｘ2 - 1=ｘ的根是 .5 .抛物线ｙ =ｘ2 - 6ｘ + 3的顶点坐标是.6 .如果ｆ (ｘ) =ｋｘ ,ｆ (2 ) =- 4,那么 ,ｋ = .7.在方程ｘ2 + 1ｘ2 - 3ｘ=3ｘ - 4中 ,如果设ｙ=ｘ2 - 3ｘ ,那么 ,原方程可化为关于ｙ的整式方程是 .8.某出租车公司在“五一”长假期间平均每天的营业额为 5万元 ,由此推… 相似文献
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根据函数奇偶性定义易证 :设 ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的任一函数 ,则Ｆ(ｘ) =ｆ(ｘ) + ｆ(-ｘ)是偶函数 .Ｆ(ｘ) =ｆ(ｘ) - ｆ(-ｘ)是奇函数 .这个结论给出了判断函奇偶性的一种新方法 ,即对于定义域中的任一ｘ ,若函数Ｆ(ｘ)能表示成Ｆ(ｘ) =ｆ(ｘ) + ｆ(-ｘ) ,则Ｆ(ｘ)是偶函数 ;若函数Ｆ(ｘ)能表示成Ｆ(ｘ) =ｆ(ｘ) - ｆ(-ｘ) ,则Ｆ(ｘ)是奇函数 .利用这种方法判断函数的奇偶性 ,关键在于能否将已知函数Ｆ(ｘ)分裂成ｆ(ｘ) ±ｆ(-ｘ)的形式 .这种分裂虽然技巧性较强 ,但对判定一类复合函数却常常较为简便 ,因此这种方法具有一定的实用性 .例 … 相似文献
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第五章 不定积分一、学习要点1 原函数与不定积分概念 积分是导数 (或微分 )的逆运算。Ｆ(ｘ) ( Ｃ)求导积分ｆ(ｘ)〔=Ｆ′(ｘ)〕。积分的概念并不难理解 ,在区间上的函数 ｆ(ｘ)和Ｆ(ｘ) ,只要满足Ｆ′(ｘ) =ｆ(ｘ) ,Ｆ(ｘ)就是ｆ(ｘ)的一个原函数 ,Ｆ(ｘ) Ｃ就是 ｆ(ｘ)的不定积分 ,即∫ｆ(ｘ)ｄｘ =Ｆ(ｘ) Ｃ ,困难之点在于计算不定积分。2 不定积分的计算 求积分就是“倒走” ,而且还要对准走过来的脚印 ,不自如。所以 ,求积分是试探性的 ,“试求”。如同“试商”。例如 ,求∫ｘ2 ｄｘ就需试探 ,哪一个函数 (或哪一类函数 )Ｆ(ｘ)… 相似文献
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我们知道ｇ(ｘ) <ｆ(ｘ) ｆ(ｘ) ≥ 0 ,ｇ(ｘ)≥ 0 ,ｇ(ｘ) <[ｆ(ｘ) ]2 .ｇ(ｘ) >ｆ(ｘ) ｆ(ｘ) ≥ 0 ,ｇ(ｘ) >0 ,ｇ(ｘ) >[ｆ(ｘ) ]2 ;或 ｆ(ｘ) <0 ,ｇ(ｘ) ≥ 0 .将无理不等式转化为等价的代数不等式 (组 )来解 ,往往须考虑符号 ,运算复杂 .下面介绍另一求法 ,其理论根据是一元连续实函数 ｙ =ｆ(ｘ)的根 (存在 )将其定义域分成的各个区间上具有保号性 .此方法步骤如下 :(1)把不等式两边作差构造函数 ｙ=ｆ(ｘ) ;(2 )求ｆ(ｘ)定义域 ;(3)求 ｆ(ｘ)的根 ;(4)在其根依次将定义域分成的各区间内分别取一特殊值代入 ｆ(ｘ)判断其符号 ,从… 相似文献
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我们知道ｘ3- 1=(ｘ- 1) (ｘ2 ｘ 1) ,且对于一元多项式Ｆ(ｘ) =ａ1ｘｎ ａ2 ｘｎ-1 … ａｎｘ ａｎ 1,若Ｆ(1) =0 ,则Ｆ(ｘ)中一定含因式 (ｘ - 1) ,若Ｆ (ｘ)中不含因式 (ｘ - 1) ,又如何寻求 ｆ(ｘ)是否含因式 (ｘ2 ｘ 1) ?事实上 ,若Ｆ(ｘ)含因式(ｘ2 ｘ 1) ,而不含因式 (ｘ - 1)时 ,令ｘ- 1≠ 0 ,则有Ｆ(ｘ) (ｘ - 1) =(ｘ3- 1) ｇ(ｘ) .显然 ,当ｘ3=1时 ,Ｆ(ｘ) (ｘ- 1) =0 ,故有Ｆ(ｘ) =0 ,而ｘ3=1可转化为ｘ3- 1=0即(ｘ - 1) (ｘ2 ｘ 1) .若ｘ≠ 1,则必有ｘ2 ｘ 1=0 .所以 ,把ｘ3=1代入Ｆ (ｘ)中 ,一定有Ｆ (ｘ) =ｋ(ｘ2 … 相似文献
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周期性是函数的重要性质之一 ,也是历年高考试题必定要设置的采分点 .为了把握好迎考复习的广度和深度 .现结合近十多年的高考数学试题 ,归纳出以下几个关于函数周期性的复习要点 ,仅供参考 .一、正确理解周期函数的定义根据周期函数的定义(见课本 ) ,我们必须弄清楚 :1 等式ｆ(ｘ Ｔ) =ｆ(ｘ)中的Ｔ ,只有对于定义域内的一切ｘ值成立 ,而不是对于一个或几个ｘ值成立 ,Ｔ才能称为是函数ｙ =ｆ(ｘ)的一个周期 .2 Ｔ是一个不等于零的常数 ,可以是正数 ,也可以是负数 .只有在定义三角函数的周期时 ,才规定取满足ｆ(ｘ Ｔ) =ｆ(ｘ)的最小正数… 相似文献
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20 0 1年全国高考理工农医类的压轴题是一个典型的函数问题 ,对这一试题的解答没有特别之处 ,但笔者认为 ,发散探究这一试题却妙趣横生 .试题 :设ｆ(ｘ)是在定义Ｒ上的偶函数 ,其图像关于直线ｘ =1对称 ,对任意ｘ1 ,ｘ2 ∈0 ,12 ,都有ｆ(ｘ1 ｘ2 ) =ｆ(ｘ1 ) ·ｆ(ｘ2 ) ,且ｆ(1 ) =ａ>0 .(1 )求ｆ 12 及ｆ 14;(2 )证明ｆ(ｘ)是周期函数 ;(3)记ａｎ =ｆ2ｎ 12ｎ ,求ｌｉｍｎ→∞(ｌｎａｎ) .下面对该题进行发散探究 .一、题设与结论的分析1 .题设分析本题题设包括 :(1 )函数的奇偶性 ;(2 )函数的对称性 ;(3)某区间上的函数模型及确定该函… 相似文献