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例1已知:如图1,矩形ABC刀,在CD边上任取一点E,使AEZ一AB·A刀,作BF上AE交AE于F.求证:BF一AE.证丫AEZ~AB·A刀, AB,.AEAEA刀.①又.:ABCD是矩形,BF土AE.:。乙AFB~艺D~900.乙1~900一乙3~匕2,:。△ADE〔/,△BFA.┌─┐│介│└─┘BFAD.②图1 一一B一EA一A 。︸由①②可得BFA刀 b CAEA刀.BF一AE。 说明方法. 例2由 召 ‘证线段。一b是用比例证线段相等的常用已知:如图2,△ABC中,匕ACB一900,M是刀C的中点,CN上AM,求证:乙1~艺2. 分析要证乙1~乙2,只需证△ABM。,△B尹订几了. 证.:乙八C五了~900,CN 1 AM, .… 相似文献
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初中《几何》第二册习题二十二的第8题: 命题矩形ABCD中,AB=a,BC=b,M是BC的中点,DE⊥AM,E为垂足.求证:DE=2ab/(4a~2+b~2)~(1/2). 该题的结构严谨,综合性和规律性较强,而且解法多变. 一、解法探讨 1.面积法将结论变形为:DE·(a~2+(b/2)~2)~(1/2)=ab.等式的右边ab恰好是矩形ABCD的面积,由此联想到利用面积来证明该题.连结DM(图1).不难看出S_(△ADM)=1/2S_(矩形ABCD),即 相似文献
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题如图1,正方形八B〔少D形内一点且匕忍月B一连结刀E、CE,求证:△形,乙EBA中,E为一15。,。cE为正三角作CGEG 证法BF土AE于F,土BE于G. 易证艺1一乙2 又丫艺AFB一匕CGB AB一BC冷△AFB里△CGB=> BF一BG又’:艺“一30。斗BF一合BE┌─┐│丫│└─┘图1=,BGCG土BE、11、r.l.二二>EC一BC同理ED一A刀丫AD一DC一_{一““BCJ一EC一DC冷△DCE为正三角形. 证法2正三角形E‘ 丫△E‘ :。匕E‘(同一法)如图艺,在正方形ABCD内以DC为边作:。乙ADE‘:。艺刀AE,,连结刀A、E’B.是正三角形,一600,E‘D一DC一一30气一合… 相似文献
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本文是利用待定系数法解决一类用一般方法难以解决的最值问题. 例IP为△ABC内一点,D、E、F分别是P到三角形各边所引垂线的垂足,求使黑十黑十器为最/Jnd的点尸·(第尸D’尸刀’尸Fr/,形,J’以。;,八二.22届国际数学竞赛题) 解:如图,由面积关系易得BC·PD十C理·尸E十AB·尸尸=封义召为△ABC的面积)。。生_口p一。 13设存在正常数兑,使:乙二Za,则x’ 万3 18a’妻艺a’(x 连万).BCBC·尸刀夕2召丁刀C,即x 4刀(1 18a3 aZ,此式当且仅当x二a,万二b时等于成立,由尸 犷二1得。’一门j一厂一3 几·PE)2犷丁C月,·PF)2创丽一AB,门几八… 相似文献
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题目 已知如下左图,矩形ABCD中,AB=5,AD=20,点M分BC为BM:MC=1:2,DE垂直于AM,E为垂足。求DE的长。 (1993,天津市中考试题) 此题是由《平面几何》第二册P52第8题“已知矩形ABCD中,AB=a,BC=b,M是BC的中点,DE⊥AM,E是垂足(如上右图)。求证:DE=2ab/(4a~2+b~2)~(1/2)”经特殊化、改变条件、推 相似文献
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命题1BC于D,N是线段AD的中点.那么直线ON通过BC的中点. 证明 作00的直径如图,设△ABC的内切圆切边于是j夕C二材刀+Zr l,=万L‘一口少十P一‘ ‘ 1一万a’DE,连接AE.过A作AH上BC于H,过E作El土AH于1.设直线ON交BC于M,易、一----11一-一一何刀口刀证△OM右的△AEI,而有茱未一~气号一.令、~…叹~一~J~二,IIu曰DH Al’嘴BC一a,C八一b,AB~‘,P00的半径为r,则 l,-一万又a弓白口月~‘,, 乙DH~工犯一HC~P一‘一bcosC ~二立二丝全二兰工,AI一AH一2二一多史二一2:2(P一a)r a ___DH·OD故似刀~一一一一几产犷一--‘ 入I 一… 相似文献
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本文给出万能公式的几个让伍,供梦古B‘户l-||一 EJ爪.|L一~义三一划F CD证法一图1如图1,设刀D土 图2AD,CE土AB,EF土AC,AF二1,乙A 易知E为AB 故FD~AF一乙ABC一a/2(a为锐角).的中点,F为AD的中点,,BD一ZEF=Ztan在Rt△EFC中,因为匕CEF一艺A~a2’a/2,所以FCEF丁一‘all一万,所以CD一FD一FC一1一tanZ一AC一J今矛, FC-1一‘a‘,一万咖贯a一Q‘于是,在Rt△BDCa一9曰“al,万中立即得到 1一tanZ5 Ina忿二二COSa=i一‘a“一万1十’a“一万tana-乙,a‘,万i一‘己,,万 证法二如图2,00是等腰△ABC的外接圆,H为△ABC的垂… 相似文献
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三角形的一个内角平分线与另一个内角的外角平分线的交角,等于这个三角形的第三个内角的一丰. 这是从第六届“希望杯”一道初二试题得出的结论,它的证明如下: 已知:如图1,△八刀C中,匕B的平分线与匕C的外角平分线交于E.求证艺E-l二犷乙八.‘证明艺E一/石芯F 1,二一,一二子乙月力七 乙一粤(匕AcF一艺ABc) 乙 l一下~乙八. 乙 这个结论用于解决有关三角形内外角平分线的交角问题,十分有用. 例1在△A刀C中,D是AB上一点,E足AC延长线上一点,连结DE交BC于M,匕八DE与匕八刀C的平分线交于尸,艺ACB与匕DEC的平分线交于Q,证明艺尸一/Q. (… 相似文献
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三角形的面积 :S=底×高 ÷ 2 .应用面积关系图 1求解 ,有时可使解题简章明了 .1 利用面积的不变性解题例 1 如图 1,在Rt△ABC中 ,∠C =90° ,AC =4 ,BC =3,CD ⊥AB于D ,求CD .解析 在Rt△ABC中 ,由勾股定理得 ,AB =5,而S△ABC =12 BC·AC =12 AB·CD ,即BC·AC =AB·CD ,故CD =BC·ACAB =2 .4 .结论 1 直角三角形斜边上的高等于两条直角边的积除以斜边的商 .例 2 (《几何》第二册第 2 4 8页B组第 2题 )如图 2 ,矩形ABCD中 ,AB =a ,BC =b ,M是BC的中点 ,DE ⊥AM ,E是垂足 ,求证DE =2ab4a2 +b2 .解析 根… 相似文献
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王兆华 《中学数学教学参考》1994,(8)
不等式a b/2≥ab~(1/2)(a,b∈R )是中学数学重要不等式之一.其应用广泛,技巧性强,加强这一不等式的教学,对提高学生的分析问题、综合应用知识的证题能力和创造思维能力,以及诱发学生对数学的美感,增长他们创造数学美的能力是大有好处的.本文从不同的角度给出这一不等式的几种证法,以供参考. 定理如果a,b∈R ,那么a b/2≥ab~(1/2)(当且仅当a=b时,取“=”号). 证法一:(用二次根式的性质证) 当a≠b时,(a~(1/2)-b~(1/2))~2>0; 当a=b时,(a~(1/2)-b~(1/2))~2=0. 故(a~(1/2)-b~(1/2))~2≥0. 即a b-2ab(1/2)≥0. 故a b/2≥ab~(1/2). 证法二:(用面积证)如图1所示, 当 a≠b 时,S_(正方形ABCD)>4S_(矩形AB_1C_1D_1); 当a=b时,S_(正方形ABCD)=4S_(矩形AB_1C_1D_1), 故 S_(正方形ABCD)≥4S_(矩形AB_1C_1D_1) (a b)~2≥4aba b/2≥ab~(1/2). 相似文献
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三角形面积的海伦公式其中k是边长为a、b、c的△ABC的面积，s＝（a＋b＋c）／2（如图1）通常证法是代数证法和三角证法．本文给出它的一个简捷几何证法．如图2，三角形ABC的内切圆圆心是I，半径是r，一个旁切圆圆心是r，半径是r’．由△IAB、△IBC和△IAC面积的和得k＝rs（1）AG和AH是过圆I’外A点的圆的两条切线，AG＝AH.同理，BG＝BJ，CH＝CJ．因为AG＋AH＝（AD＋DB＋BG）＋（AF＋FC＋CH）＝（AD＋DB＋BJ）＋（AF＋FC＋CJ）＝（AD＋DB）十（BJ＋CJ）十（AF＋FC）＝c＋a＋b＝2S所以AG＝AH＝s．又因为AD＝… 相似文献
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题:锐角△ABC的外接圆过B、C的切线相交于N,M是BC的中点,求证:艺B摊M二乙CAN。(第26届IMO候选试题中一题的第(i)间) 为方便,设AN交△且BC外接圆于r).匕BAM二日,匕CAM二a。 当锐角△月BC的AB二AC时,八AB刃丝△且CN,从而知AM与AN重合,显然a二。p。以下均假定AB.寺AC。 证法一连结 匕CAM=乙DAB,:.a二日。 证法三作BF土AC于F,连结MF、对N,如图。则 NM_1_BC, /万C五f二厂理.’. Rt△ABF 。〕Rt△CNM 刁B_AF 万凡一乙兀了又B对=C刀 =MF,乙MFC二匕A CB,I曲﹀N\\、N︷NAB 一一BD、CD,如’到。 由托勒米定’里… 相似文献
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有关图形面积的计算或证明是常见的数学问题,通常用“割补法”来解决,但是用“割补法”的计算比较繁琐,因而容易出现差错.学习了“平行线间的距离处处相等”以及“等底等高的三角形面积相等”后,就能运用“等积变换”的方法简捷、巧妙地解决这类问题,下面举例说明.例1如图1,已知,正方形ABCD的边长是a,正方形CEFG的边长为b,且点B、C、E在一条直线上.连结AG、GE、AE,求S△AGE.解方法一:如图2,补△AHG,构成矩形BEFH,得S△AGE=S矩形BEF H-S△ABE-S△EFG-S△AHG=b(a+b)-21a(a+b)-21b2-21a(b-a).=21b2.方法二:如图3,连结DE,… 相似文献
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原题 在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，M为BC的中点，DE⊥AM，E为垂足，求证：DE=2ab/√（4a^2 b^2），（初中几何第二册P247第2题） 相似文献
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西南师大出版社出版的九义六·三制初中几何(高层次)第三册中有两道例题可作如下巧解. 一复习课六中例4(91页) 如图1,△ABC中,艺、1一45“,D是AB上一点,且AB一ZAD.又匕CDB=600 求证:公ABC的△CBD 证明:过点B作B尤土CD于E,连结八E 则乙EBD一3犷,‘.,DB~ZED,又AB~3AD,…AD一DE,…匕EAD一乙EBD~3护,.’.艺C月刃一匕AC无~15a,:.AE~EB~EC,:.乙DCB~45。 ~艺A,故△A刀C的△CBD 此法同样从特殊角入手,充分利用特殊三角形(等腰、直角)的性质及判定,避免了教材中繁杂的计算,使学生接受更显自然、明快.。过A DB 图l一图2 … 相似文献
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线段的定比分点公式,如图1,在梯形ABCD中,EF// BC,AE/五B~几,AD一泛,BC一b,则EF~(a 久b)/(l十幻. S△。忍F 由例1到S△D:: 例2_一一一一卫些止一一一.、一(a b)(占 e)(c a)一△”。。AD的结论,利用基本不等式,很容易得镇奇“△AB二A ED 盆C ‘盏C工一迁A入||犷奖卜必D 谈B如图4,已知AD、BE、CF是△ABC的三条高,垂足分别是D、E、F,则BL M NC~2{eosAeosBeosC). △一△S一S D A-一2 图l图2 根据上述公式,我们可得到面积的定比分点公式,四边形ABCD中,E是AD上任一点,AE/ED~又,则 S△E二一(S△A犷 沼△DBc)/(l十劝.… 相似文献
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